13.4 课题学习 最短路径问题同步跟踪测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题同步跟踪测试（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-01 18:16:19 | ||
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文档简介
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13.4 课题学习 最短路径问题
一．选择题
1．如图，小明到小丽家有四条路，其中路程最短的是( )
A．① B．② C．③ D．④
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
1题图 2题图
2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( )21教育网
A．4 B．5 C．6 D．7
3．A，B两地在一条河的两岸，现要 ( http: / / www.21cnjy.com )在河上架一座桥MN，若河岸平行，MN与河岸垂直，想要使路径AMNB最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
3题图 4题图
4. 如图，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田(记作点O)，以便对农田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是( )21·cn·jy·com
A．OA B．OB C．OC D．OD
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD ( http: / / www.21cnjy.com )，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( )www.21-cn-jy.com
A．BC B．CE C．AD D．AC
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5题图 6 题图
6．在小河a的同侧有两个村庄，欲在河边建一个泵站分别为两个村庄供水．为了节约资金，泵站的选择点有四个，你认为最合适的一个是( )2·1·c·n·j·y
7．龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出 ( http: / / www.21cnjy.com )发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，下图中的四个图是他们设计的路线，其中路程最短的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．∠AOB的边OA上有两点M，N，在∠AOB的平分线OC上找一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是( )21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
9. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )2-1-c-n-j-y
A．50° B．60° C．70° D．80°
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9题图 10题图
10. 如图，正△ABC的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．3 C．2 D．无解
二．填空题
11．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，AD＝6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM＋CM的最小值为______．www-2-1-cnjy-com
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11题图 12题图 13题图 14题图
12．如图，已知正方形ABCD的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为10 cm，△ABE为等边三角形(点E在正方形内)，若P是AC上的一个动点，当PD＋PE最小时，这个最小值是____cm.21*cnjy*com
13．如图，点A在直线a外，点B在直线a上，在直线a上找出一点P，使PA＋PB最小的点有____个，它的位置是________．【来源：21cnj*y.co*m】
14．如图，在等边三角形ABC中，E是AB的中点，三角形的高AD＝4 cm，在AD上找出一点M，则MB＋ME的最小值为________．【出处：21教育名师】
15．如图，已知正六边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
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15题图 16题图
16. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP ( http: / / www.21cnjy.com )＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm.则∠AOB的度数是________．【版权所有：21教育】
三．解答题
17．如图，已知E，F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，在BC上找一点M，使△EFM的周长最小．(不写作法)
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，已知点A是锐角∠MON内的 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，试分别在OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作图的主要步骤，并标明你所确定的点．(要求画出草图，保留作图痕迹)
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会， ( http: / / www.21cnjy.com )桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河 ( http: / / www.21cnjy.com )宽均为5 m，A，B到外河岸的距离都为5 m，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)．设护城河及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使路程最短？
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22．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；21世纪教育网版权所有
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．
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23．如图，四边形ABCD中，∠BAD ( http: / / www.21cnjy.com )＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．21教育名师原创作品
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参考答案：
1-5BADBB 6-10CCDDD 11. 6 12. 10 13. 1，点B处 14. 4cm
15．60° 16. 30°
17. 解：作点E关于BC的对称点E′，连接FE′，交BC于点M，
则△EFM就是所求的三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / )
18. 解：如图所示，分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″，连接A′A″，分别交OM，ON于点B，C，则点B，C即为所求21·世纪*教育网
19. 解：如图所示．
作法：(1)作C点关于OA的对称点C1，D点关于OB的对称点D1；
(2)连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短． ( http: / / www.21cnjy.com / )21*cnjy*com
20. 解：(1)连接AB作AB的中垂线交EF于点M，点M即为所求 (2)作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点C，点C即为所求 ( http: / / www.21cnjy.com / )
21. 解：如图所示．分 ( http: / / www.21cnjy.com )别由A，B向外河岸作垂线，垂足分别为F，G.连接GF，与内河岸相交于点E′，D′.分别由E′，D′向外河岸引垂线段E′E，D′D，连接AD，BE，则DD′，EE′即为桥．
沿A→D→D′→E′→E→B的路线行走路程最短． ( http: / / www.21cnjy.com / )
22. 解：(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.
②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．
(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°.∴∠C＋∠EPF＝180°.
∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.
∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN＋∠DPM＝52°.
∴∠MPN＝128°－52°＝76°. ( http: / / www.21cnjy.com / )
23. 作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″
＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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13.4 课题学习 最短路径问题
一．选择题
1．如图，小明到小丽家有四条路，其中路程最短的是( )
A．① B．② C．③ D．④
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1题图 2题图
2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( )21教育网
A．4 B．5 C．6 D．7
3．A，B两地在一条河的两岸，现要 ( http: / / www.21cnjy.com )在河上架一座桥MN，若河岸平行，MN与河岸垂直，想要使路径AMNB最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是( )
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3题图 4题图
4. 如图，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田(记作点O)，以便对农田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是( )21·cn·jy·com
A．OA B．OB C．OC D．OD
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD ( http: / / www.21cnjy.com )，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( )www.21-cn-jy.com
A．BC B．CE C．AD D．AC
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5题图 6 题图
6．在小河a的同侧有两个村庄，欲在河边建一个泵站分别为两个村庄供水．为了节约资金，泵站的选择点有四个，你认为最合适的一个是( )2·1·c·n·j·y
7．龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出 ( http: / / www.21cnjy.com )发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，下图中的四个图是他们设计的路线，其中路程最短的是( )
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8．∠AOB的边OA上有两点M，N，在∠AOB的平分线OC上找一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是( )21cnjy.com
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9. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )2-1-c-n-j-y
A．50° B．60° C．70° D．80°
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9题图 10题图
10. 如图，正△ABC的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．3 C．2 D．无解
二．填空题
11．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，AD＝6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM＋CM的最小值为______．www-2-1-cnjy-com
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11题图 12题图 13题图 14题图
12．如图，已知正方形ABCD的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为10 cm，△ABE为等边三角形(点E在正方形内)，若P是AC上的一个动点，当PD＋PE最小时，这个最小值是____cm.21*cnjy*com
13．如图，点A在直线a外，点B在直线a上，在直线a上找出一点P，使PA＋PB最小的点有____个，它的位置是________．【来源：21cnj*y.co*m】
14．如图，在等边三角形ABC中，E是AB的中点，三角形的高AD＝4 cm，在AD上找出一点M，则MB＋ME的最小值为________．【出处：21教育名师】
15．如图，已知正六边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
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15题图 16题图
16. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP ( http: / / www.21cnjy.com )＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm.则∠AOB的度数是________．【版权所有：21教育】
三．解答题
17．如图，已知E，F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，在BC上找一点M，使△EFM的周长最小．(不写作法)
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18．如图，已知点A是锐角∠MON内的 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，试分别在OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作图的主要步骤，并标明你所确定的点．(要求画出草图，保留作图痕迹)
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19．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会， ( http: / / www.21cnjy.com )桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
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20．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？
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21．如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河 ( http: / / www.21cnjy.com )宽均为5 m，A，B到外河岸的距离都为5 m，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)．设护城河及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使路程最短？
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22．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；21世纪教育网版权所有
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．
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23．如图，四边形ABCD中，∠BAD ( http: / / www.21cnjy.com )＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．21教育名师原创作品
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参考答案：
1-5BADBB 6-10CCDDD 11. 6 12. 10 13. 1，点B处 14. 4cm
15．60° 16. 30°
17. 解：作点E关于BC的对称点E′，连接FE′，交BC于点M，
则△EFM就是所求的三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / )
18. 解：如图所示，分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″，连接A′A″，分别交OM，ON于点B，C，则点B，C即为所求21·世纪*教育网
19. 解：如图所示．
作法：(1)作C点关于OA的对称点C1，D点关于OB的对称点D1；
(2)连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短． ( http: / / www.21cnjy.com / )21*cnjy*com
20. 解：(1)连接AB作AB的中垂线交EF于点M，点M即为所求 (2)作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点C，点C即为所求 ( http: / / www.21cnjy.com / )
21. 解：如图所示．分 ( http: / / www.21cnjy.com )别由A，B向外河岸作垂线，垂足分别为F，G.连接GF，与内河岸相交于点E′，D′.分别由E′，D′向外河岸引垂线段E′E，D′D，连接AD，BE，则DD′，EE′即为桥．
沿A→D→D′→E′→E→B的路线行走路程最短． ( http: / / www.21cnjy.com / )
22. 解：(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.
②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．
(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°.∴∠C＋∠EPF＝180°.
∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.
∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN＋∠DPM＝52°.
∴∠MPN＝128°－52°＝76°. ( http: / / www.21cnjy.com / )
23. 作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″
＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.
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