人教A版2019必修第一册4.1 指数 学案（Word版含答案）

第四章指数函数与对数函数
4.1指数
【考点梳理】
重难点考点　n次方根与分数指数幂
考点一　n次方根、n次根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
考点二　根式的性质
1.＝0(n∈N*，且n>1)．
2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．
3.＝a(n为大于1的奇数)．
4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
考点三　分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
考点四　有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
重难点考点　　无理数指数幂及其运算性质
考点五　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
考点六二实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
【题型归纳】
题型一：利用根式的性质化简或求值
1．（2020·江苏南京市第二十九中学）回答下列问题.
（1）正数，满足，求的值.
（2）若，求的值.
2．（2021·上海高一专题练习）已知，求的值.
3．（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
题型二：根式与分数指数幂的互化
4．（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：
（1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）.
5．（2020·上海高一专题练习）把下列根式化成分数指数幂：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
6．（2021·全国高一）化简
（1） （2）
题型三：运用指数幂运算公式化简求值
7．（2021·全国高一课时练习（理））计算下列各式：
（1）；` （2）．
8．（2019·长沙市南雅中学高一月考）计算：
（1）；
（2）.
9．（2021·昭通市昭阳区第二中学）化简求值：
（1）；
题型四：分数指数幂运算的综合应用
10．（2021·江西高安中学高一月考）计算：
（1）； （2）已知：，求的值．
11．（2021·全国高一课时练习（理））对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．
12．（2021·全国高一课时练习（理））（1）设a＞0，化简：；
（2）若x＋x＝，求的值．
【双基达标】
一、单选题
13．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高一月考）已知，则下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知，，化简得（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·上海市第三女子中学高一期中）设，下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国高三专题练习（文））下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·安徽省安庆九一六学校高二月考（文））设，都是正整数，且，若，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·全国高一课时练习）设a>0，b>0，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．-3a
19．（2021·全国高一单元测试）若，，则的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．34
20．（2021·全国）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0）
C．xy＝ （x＞0，y＞0） D．x＝－ （x≠0）
21．（2021·全国）下列式子中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
22．（2021·全国高一课时练习）若代数式有意义，则（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·江苏南京·高一月考）设是非零实数，已知，则（ ）
A． B． C．2 D．3
24．（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·全国高三专题练习（文））已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·全国高三专题练习）已知，则（ ）
A．120 B．210 C．336 D．504
27．（2021·江苏）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，亿 兆 京 垓 秭 壤 沟 涧 正 载.三等者，谓上 中 下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍.下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用.故其传业，唯以中数耳.”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即万，亿，兆，京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是（ ）
A．21 B．20 C．25 D．24
28．（2022·浙江高三专题练习）化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·全国）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国）下列等式中，不可能成立的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
31．（2021·全国高一课时练习）若，，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2021·全国高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2020·江苏金沙中学高一月考）下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
34．（2022·江苏高三专题练习）（多选题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．已知，则
三、填空题
35．（2021·上海高一单元测试）__________．
36．（2020·上海市进才中学高一期中）若，，化简=________.
37．（2021·全国高三专题练习）已知则的值为__________．
38．（2021·全国高一课时练习（理））计算：________.
39．（2021·全国高一课时练习（理））若a＝2，b＞0，则的值为________．
40．（2021·全国高一专题练习）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)
41．（2021·上海高一专题练习）下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.
①②③④
四、解答题
42．（2021·全国）（1）计算×+80.25×
（2）已知＝3，求的值．
43．（2020·江西鹰潭一中高一月考）（1）计算：；
（2）化简：.
44．（2020·江苏高一月考）
（1）计算：；
（2）已知，求．
45．（2020·广东省黄冈中学广州学校高一月考）已知，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）.
46．（2020·广西崇左高中高一月考）(1)计算：；
(2)化简(，).
47．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）（1）计算：；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
48．（2020·南京外国语学校高一月考）（1）化简：（a＞0，b＞0）；
（2）先化简，再求值．已知，，求的值．
【答案详解】
1．（1）；（2）.
【详解】
（1）由可得，
即，则或，
由，为正数，可得，则.
（2）
.
2．
【详解】
解:
因为，所以，
所以原式 .
3．（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）.
解：（1）=-2；
（2）；
（3）=|3-π|=π-3；
（4）原式=，
当x≥y时，原式=x-y+y-x=0；
当x所以原式=
4．（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）原式====.
（2）原式======.
（3）原式===.
5．（1）；（2）；（3）；（4）.
【详解】
（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=.
6．（1）；（2）4
【详解】
（1）由题知，原式；
（2）原式
7．（1）6y；（2）x2y.
解：（1） ；
（2）.
8．（1）100；（2）.
【详解】
（1）
（2）
9．（1）；（2）
（1）
.
10．（1）；（2）．
【详解】
（1），
.
（2）由，平方得，
即，
平方得，
即，
所以原式=．
11．a＝2，b＝5，c＝7.
解：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴.
同理，可得．.
∴，，
即，
又＝＋＋，a，b，c为正整数，
∴abc＝70＝2×5×7.
∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.
12．（1）；（2）.
解：（1）原式＝＝a.
（2）若x＋x＝，
则x＋x－1＝4，x2＋x－2＝14，
故＝＝.
13．B
解：A选项：，
∴，
又，
∴，
∴，
故A错误；
B选项：，
∴，故B正确；
C选项：，，，
，
，故C错误；
D选项：，
故D错误，
故选：B.
14．B
由题意：，
故选：B
15．D
【详解】
解：，A错；
，B错；
，C错；
，D正确.
故选：D.
16．D
【详解】
对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；
对于B，当时，，而无意义，故B错误；
对于C，，故C错误．
对于D，．故D正确．
故选：D.
17．C
【详解】
因为，都是正整数，且，若，则：
A. ，故正确；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. 任意非零数的0次幂都是1，故正确.
故选：C
18．D
【详解】
因为，，所以.
故选：D.
19．C
【详解】
因为，，所以，
故选：C
20．C
【详解】
对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝ （x＞0，y＞0），故C正确；对于D，x＝ （x≠0），故D错误.
故选：C
21．C
【详解】
对于A，原式，A正确；
对于B，原式，B正确；
对于C，原式, C错误；
对于D，原式，D正确.
故选：C.
22．B
【详解】
由有意义，得解得．
所以
所以．
故选：B．
23．A
因为，
所以，
所以 ，，
所以，
，
，
故选：A
24．B
【详解】
因为，所以，所以.
故选:B.
25．C
【详解】
，所以，，
因为、均为正数，所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
26．C
【详解】
，得，解得：，
所以.
故选：C
27．C
由题意相邻记数单位后面的比前面的多4位．
1兆＝，13位数，因此1京是17位 1垓是21位 1秭是25位，5.965秭也是25位数．
故选：C．
28．B
【详解】
故选：B
29．C
【详解】
由分数指数幂的运算法则可得：
原式.
故选:C.
30．D
【详解】
对于A：左边，右边，左边右边，故A正确；
对于B：左边，右边，左边右边，故B正确；
对于C：左边，右边，左边右边，故C正确；
对于D：若，则左边，右边,故D错误.
故选：D
31．AC
【详解】
A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；
B选项中，，无意义；
C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；
D选项中，当时，式子无意义．
故选：AC．
32．CD
【详解】
对于A：，故A错；
对于B：，故B错；
对于C： ；故C正确，
对于D： ，故D正确.
故选：CD.
33．ABD
【详解】
对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：ABD
34．BC
【详解】
A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，所以，则，故错误；
故选：BC
35．2
【详解】
，
故答案为：2
36．
【详解】
因为，，
所以
.
故答案为：.
37．
【详解】
因为
所以，∴，
∴，
故答案为：．
38．
【详解】
原式
答案：.
39．
【详解】
原式，
故答案为：.
40．③
【详解】
①中，(－2)2n>0，∴有意义；
②中，根指数为5，∴有意义；
③中，(－3)2n＋1<0，∴没有意义；
④中，根指数为9，∴有意义.
故答案为：③
41．③
【详解】
对于①，，故①错误；
对于②，当y<0时，，故②错误；
对于③，，故③正确；
对于④，，故④错误.
故答案为：③.
42．（1）；（2）．
【详解】
（1）×+80.25×
（2）∵＝3，
∴，
故．
43．（1）； (2)
（1）
（2）
.
44．（1）；（2）.
解：（1）原式=．
（2）∵，∴，
∴，
又，
∴原式．
45．（1）；（2）；（3）；（4）.
（1）将两边平方，得，即；
（2）将两边平方，有，；
（3），
；
（4），又，所以，原式.
46．(1)；(2).
【详解】
(1)原式.
(2).
47．（1）41；（2）；（3）.
【详解】
（1）原式；
（2）∵，，
∴
；
（3）∵，，
∴
48．（1）a；（2）；.
（1）
；
（2），
因为，则，
则原式=
，
因为，所以原式=.
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