人教A版2019必修第一册5.5.2 简单的三角恒等变换 学案（Word版含答案）

5.5　三角恒等变换
5.5.2　简单的三角恒等变换
【考点梳理】
考点一　半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考点二　辅助角公式
辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
【题型归纳】
题型一：降幂公式的化简求值问题
1．（2021·全国·高一课时练习）化简：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
2．（2021·全国·高一课时练习）利用倍角公式求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）.
3．（2020·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一期中（文））求值：
（1）若，求的值.（2）求的值.
题型二：辅助角公式的应用
4．（2021·河北迁安·高一期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）当时，画出函数的图象.
5．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域.
6．（2021·上海·高一课时练习）化简并求值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
题型三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题
7．（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
8．（2021·四川·成都外国语学校高一月考）已知函数，函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高一课时练习）（1）求的值；
（2）已知均为锐角，且，求的值.
题型四：三角恒等式变换中证明、化简问题
10．（2021·全国·高一课时练习）证明：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
11．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值：
（1）已知，求的值；
（2）求的值；
12．（2021·河南驻马店·高一期末（理））化简，求值：
（Ⅰ）已知，求；
（Ⅱ）
13．（2021·四川·仁寿一中高一开学考试）已知，.
（1）求；
（2）已知，.求.
【双基达标】
一、单选题
14．（2021·全国·高一课时练习）若，是第三象限的角，则＝（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
15．（2021·河南·高一期末）下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021·全国·高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·河南商丘·高一月考）若函数的最大值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·湖北武汉·高一期中）已知，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
20．（2021·江苏省前黄高级中学高一月考）若，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
21．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知，，，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
23．（2021·全国·高一课时练习）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
24．（2021·北京·101中学高一期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·上海·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·福建·莆田锦江中学高一期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一月考（理））若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·江苏·扬州大学附属中学高一月考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·全国·高一专题练习）函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C．，0 D．
30．（2021·浙江·高一期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
31．（2018·四川资阳·高一期末）已知，，则的值为
A． B． C． D．
32．（2021·全国·高一课时练习）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
33．（2021·海南·琼中中学高一期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
34．（2020·全国·高一课时练习）设函数，则
A．是偶函数 B．在单调递减
C．最大值为2 D．其图像关于直线对称
35．（2021·江苏·常熟市中学高一月考）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
36．（2021·山东枣庄·高一期末）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
37．（2021·江苏·仪征市第二中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2021·江苏·南京市秦淮中学高一月考）下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
39．（2020·全国·高一课时练习）函数的最大值为__________.
40．（2021·河北·藁城新冀明中学高一月考）已知 =，则的值是____.
41．（2020·四川·棠湖中学高一月考）__________.
42．（2021·广东·金山中学高一期中）已知，则______.
43．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值为______．
44．（2020·福建省南平市高级中学高一期中）若都是锐角，，，则 .
45．（2021·安徽舒城·高一期末）若，则__________.
46．（2021·山东滨州·高一期末）函数在区间上的最大值为____________.
47．（2019·河南驻马店·高一期末（文））已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．
四、解答题
48．（2021·全国·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
49．（2021·全国·高一课时练习）证明：
（1）；
（2）．
50．（2021·全国·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）.
51．（2021·全国·高一课时练习）解答：
（1）化简：；
（2）求值：；
（3）求函数的最大值.
52．（2021·北京·大峪中学高一期中）已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
53．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求．
【答案详解】
．1．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
因为，所以，所以，
因此原式.
2．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3．
（1）
由，
等式左边分子、分母同除得，，解得，
则.
（2）
.
4．（1）；（2）；（2）详见解析.
【详解】
（1），
，
，
所以函数的周期为；
（2）令，
解得，
所以函数的单调减区间是；
（3）由列表如下：
0
x
y 0 -2 0 2 0
则函数的图象如下：
.
5．（1）；（2）.
【详解】
（1）由，
所以函数的最小正周期为．
（2）时，，
，
∴的值域为．
6．（1）；（2）；（3）；（4）32.
【详解】
（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
7．
（1）
，最大值为1，最小值为；
（2）
，最大值为，最小值为；
（3）
，最大值为2，最小值为；
（4）
，最大值为2，最小值为.
8．B
【详解】
所以的最小正周期为，
故选：B
9．（1）；（2）.
【详解】
（1）原式
（2）因为均为锐角，，
所以，，由
根据函数在上为增函数，所以
所以.
又均为锐角，则，所以
10．
（1）
左边==右边，原式成立.
（2）
左边 =右边，原式成立.
（3）
左边 =右边，原式成立.
（4）
左边 =右边，原式成立.
（5）
左边 =右边，原式成立.
（6）
左边
=右边，原式成立.
11．（1）； ；（2） ．
【详解】
（1），
．
（2）原式．
12．（Ⅰ）；（Ⅱ）16.
解：（Ⅰ）由，所以，解得，
所以
（Ⅱ）
13．（1）；（2）.
解：（1），，
（2）
，
14．C
【详解】
由且是第三象限的角，可得，
又由，即.
故选：C.
15．D
【详解】
由选项A得，
所以该函数为偶函数，且最小正周期为，选项A错误；
对于选项B，，该函数为偶函数，且最小正周期为，选项B错误；
对于选项C，.该函数为偶函数.且最小正周期为，选项C错误；
对于选项D，，该函数是奇函数且最小正周期为,D选项正确.
故选：D
16．C
【详解】
故选：C.
17．A
解：，，，
所以，，，
，
．
故选：A．
18．B
【详解】
依题意， ，
设锐角满足，则.
当时，函数的最大值为因此.
当时，函数的最大值为解得.
综上，实数的值为.
故选：B.
19．D
【详解】
，
，
，
，
故选：D
20．C
【详解】
.
故选：C
21．B
【详解】
，即，
，，
则
，
故选：B.
22．C
解：因为
若，则，即，
，则，所以，，即
又，所以.
故选：C
23．D
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
24．C
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
25．A
【详解】
且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
26．C
【详解】
由题意，故
故
又，
故
，
则
故选：C
27．C
【详解】
，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则．
故选：C
28．D
【详解】
因为
，
所以，
故选：D
29．D
【详解】
设，则，则
，
由，得，所以，
所以当，即时，；当，即时，.
故选：D.
30．B
【详解】
由得，
故.
所以.
故选：B
31．A
详解：∵，，
∴，
∴，
．
∴．
故选A．
32．C
因为是顶角为的等腰三角形，所以，，
则，，
而，所以，.
故选：C.
33．AC
【详解】
∵，，且
解得：
∴，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
∵，∴.
∵，∴，故D错误.
故选：AC
34．ABD
【详解】
.
选项A：，它是偶函数，本说法正确；
选项B：，所以，因此是单调递减，本说法正确；
选项C：的最大值为，本说法不正确；
选项D：当时，，因此当时，函数有最小值，因此函数图象关于对称，本说法正确.
故选：ABD
35．BC
【详解】
①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选：BC
36．ABD
【详解】
对于选项A：，
故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：
，故选项C不正确；
对于选项D：
，
故选项D正确；
故选：ABD.
37．AB
【详解】
对于A，
，故A正确；
对于B，由两角和的正弦公式，
，故B正确.
对于C，，故C错误.
对于D，，故D错误.
故选：AB
38．ACD
【详解】
选项A. 由,则成立，故A 正确.
选项B. 由
当 时，，
则此时，所以B不正确.
选项C.
,故C正确.
选项D.
所以成立，故D正确
故选：ACD
39．
解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：．
故答案为．
40．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
41．1
【解析】
，
.
42．1
【详解】
因为，
所以.
故答案为：.
43．
【详解】
因为，，
所以，，
所以．
故答案为：．
44．
【解析】
①
因为，所以 ，又因为，所以 ， ，代入①得，故填：
45．
【详解】
由可以得到，
所以，设，则
则，
所以.
故答案为.
46．
，
因为，所以，
所以，
所以，
可得，
所以函数在区间上的最大值为，
故答案为：.
47．3
【详解】
，其中，
当时，函数取得最大值，则，，
所以，，
解得，故答案为．
48．
（1）
（2）
（3）
49．
（1）
证明：左边
右边，
所以；
（2）
证明：左边
右边，
所以．
50．
（1）
原式=
===1
故答案：1
（2）
原式====1
故答案：1
51．
解：原式.
（2）
解：原式
.
（3）
解：，故.
52．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为，，
所以.
所以.
（2）因为，，
所以.
所以.
53．(1)；(2).
【详解】
(1)因，，则，，
所以；
(2)因，则，由得，解得，(舍去)，
所以，.
试卷第1页，共3页