人教A版2019必修第一册5.7 三角函数的应用 学案（Word版含答案）

5.7　三角函数的应用
【考点梳理】
考点一：三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
考点二：　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
【题型归纳】
题型一：三角函数在物理中的应用
1．（2020·北京·临川学校高一月考）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系是s＝Asin(ω t＋φ)，0<φ<，根据图象，求：
（1）函数解析式；
（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
（3）单摆来回摆动一次需要多长时间？
2．（2019·广西壮族自治区柳江中学高一期末）在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：，
（1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相；
（2）当，，，，（单位：）时，求电流.
题型二：三角函数在生活中的应用
3．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
4．（2021·全国·高一）如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m，最高点距地面135m，运行一周大约30min，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min时他距地面大约为（ ）
A．95m B．100m C．105m D．110m
提醒三：几何中的三角函数模型
5．（2021·江苏沭阳·高一期中）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
6．（2021·四川乐山·高一期末）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点.
（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；
（2）求的面积的最大值.
【双基达标】
一、单选题
7．（2021·全国·高一单元测试）已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2021·全国·高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
9．（2021·全国·高一专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·广东蓬江·高一期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
11．（2021·湖北·麻城市实验高级中学高一月考）一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要
B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C．点距离水面的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【高分突破】
一：单选题
12．（2021·全国·高一课时练习）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·浙江·高一单元测试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为1，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·福建福清·高一期末）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·江苏·扬州大学附属中学高一月考）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么（ ）．
A． B． C． D．
16．（2021·安徽定远·高一期末）如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．（2021·全国·高一课时练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
18．（2021·全国·高一单元测试）如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为
19．（2021·全国·高一专题练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0
3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5
6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0
若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
20．（2021·江苏镇江·高一期末）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是（ ）
A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为
B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米
C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米
21．（2020·浙江·温州中学高一月考）如图，正方形的长为2，为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域(阴影部分)的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上为增函数
C． D．图像的对称轴是
三、填空题
22．（2021·全国·高一课时练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注：）．
23．（2021·山西·运城市新康国际实验学校高一开学考试）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________．
24．（2021·全国·高一专题练习）在直角坐标系中，横 纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①；②；③；④
25．（2020·全国·高一课时练习）已知某海浴场的海浪高度是时间（其中，单位：时）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，曲线可近似地看成是函数的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．
26．（2021·全国·高一课时练习）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式，则函数关系式为________.
四、解答题
27．（2021·江苏·高一课时练习）心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.设某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），t为时间（单位：min），试回答下列问题：
（1）求函数的周期；
（2）此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较.
28．（2021·河北·沧州市一中高一开学考试）如图，某公园摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.
（1）已知在时刻时点距离地面的高度，求时点距离地面的高度；
（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？
29．（2021·北京延庆·高一期中）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于.
（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；
（2）求四边形的面积的最大值.
30．（2021·全国·高一）为应对“新八国联军”在南海的挑衅，海军某部在一海滨区域进行实战演练，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时刻而周期性变化，为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
（1）从函数和函数中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；
（2）如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段（一般认为早上七点到晚上七点之间为白天）.
31．（2021·山东潍坊·高一期中）潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．
下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
水深（米） 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6 6 6.6 8 10 12 13
（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；
（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）
32．（2021·全国·高一课时练习）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为a．
（1）求h与t的函数解析式；
（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；
（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解折式．
（参考数据：）
【答案详解】
1．（1）s＝6sin；（2）6cm；（3）1s.
【详解】
（1）由图象知，＝－＝，
所以T＝1，所以ω＝＝2π.
又因为当t＝时取得最大值，所以令＋φ＝＋2kπ，，
所以
因为，所以φ＝.
又因为当t＝0时，s＝3，
所以3＝Asin，所以A＝6，
所以函数解析式为s＝6sin；
（2）因为A＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm；
（3）因为T＝1，所以单摆来回摆动一次需要1s.
2．
【详解】
（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，.
3．
解：（1）根据数据，可得，
，，
，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，，1，
，或，；
所以，该船在至或至能安全进港．
4．C
【详解】
设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间（分钟）的函数关系为，
由题意可知，，，所以，
即.
又因为，
解得，故，
所以，
所以.
故选：C
5．【详解】
（1）在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，则.
（2）在中，，．
在中，，
所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，
则，
，
由，得，
所以当，即时．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
6．（1）；（2）.
解：（1）由定义得：，
，
依题意可知，，因为，
所以，
所以点的横坐标为.
（2）因为，，
，
所以
.
又，所以，
所以当，
则时，取得最大值，
所以的最大值为.
7．C
【详解】
由题意可知，A＝，32＋2＝52，
则T＝8，ω＝＝，
y＝sin.
由sin φ＝，得sin φ＝.
∵|φ|＜，
∴φ＝.
因此频率是，初相为.
故选：C
8．A
【详解】
由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．
，则．故选:A
9．A
【详解】
设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为，
周期为120s，，
最高点的纵坐标为，
最低点的纵坐标为，
所以，
当t=0时，H=0，，
所以.
故选：A.
10．（1）；（2）秒．
解：（1）如图所示，标出点M与点N，设，
根据题意可知，，所以，
根据函数的物理意义可知：
，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以可得：．
（2）根据题意可知，，即，
当水轮转动一圈时，，可得：，
所以此时，
解得：，
又因为（秒），即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点P距水面的高度超过2米．
11．D
【详解】
显然点距离水面的高度(米)与(秒)的关系成周期性，符合正弦型函数关系，设其解析式为，
依题意，，，由，解得，即，
当时，，得，，，
于是得所求的函数关系式是，
所以点距离水面的距离(单位：)与时间(单位：)的函数解析式为
，C错误；
由得：，即，解得，
点第一次到达最高点要时间，A错误；
由，
即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，B错误；
时，，D正确.
故选：D
12．C
【详解】
∵秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，
∴，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，
∴.
故选：C
13．D
【详解】
已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为1，周期为，初相为，可得
所以噪音的声波曲线为，
所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为，
故选：D.
14．A
【详解】
由题意可得，解得，
所以，函数解析式为，
在函数解析式中，令，可得.
因此，月份的月均温为.
故选：A.
15．B
【详解】
由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.
由图形可知，,
故 ,
因为为锐角,故 .
故
故选：B.
16．A
【详解】
如图，记，在中，，，
在中，，
所以，
设矩形的面积为，
由，所以当，即时，取最大值，为,
故选：A.
17．BD
【详解】
由题，，，，故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD
18．AC
解：摩天轮转一圈，
在内转过的角度为，
建立平面直角坐标系，如图，
设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，
以轴正半轴为始边，为终边的角为，
即点的纵坐标为，
又由题知，点起始位置在最高点处，
点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：
即
当时，，故A正确；
若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第点距安地面的高度为
第点距离地面的高度为
第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，
即，
即，，
得，
或，
解得或，
共，故D错误．
故选：AC．
19．BCD
依据表格中数据知，可设函数为，
由已知数据求得，，周期，所以﹐
所以有，选项A错误；选项B正确；
由于船进港水深至少要6.25，所以，得，
又，则有或，
从而有或，选项C，D都正确.
故选：BCD
20．ACD
解：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
依题意，设函数解析式为，因为半径为，所以，距水面的距离为，所以，每6分钟转一圈，所以，所以，所以，当时，，所以，即，所以，所以
所以分钟时，以射线为始边，为终边的角为，故A正确，B错误；
当时，；当时，；故C正确；
令，即，在一个周期内，解得，有分钟，
1个小时，有10个周期，所以有分钟，故D正确；
故选：ACD
21．ABC
【详解】
解：当时，，即，正确；
根据图像知：时，单调递增，故正确，错误；
正方形的面积为，根据对称性得到，正确；
故选：ABC.
22．27℃
【详解】
由题图，可知，，
所以，．
设该函数的最小正周期为T，
因为，所以，于是，
所以．
因为该图象经过点，
所以，
所以，所以，
所以，
又，
所以，
所以．
当时，（℃）．
故答案为：27℃
23．20. 5
解：据题意得，
解得，
所以
令得
故答案为：20. 5
24．①②③
【详解】
当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意；
函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，，不符合题意．
故答案为：①②③．
25．
【详解】
解：由题意得，，，
∴，．
又，∴．
从而．
故答案为：
26．
【详解】
解：水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，.
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
，.
顺时针旋转时，，
，
，.
，
故答案为：.
27．
.
（1）由于,代入周期公式,所以函数 的周期为min；
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率 (次)；
（3）列表：
t 0
115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数的简图如图所示：
（4）由图可知此人的收缩压为140,舒张压为90，收缩压和舒张压均高于标准值.
28．
解：（1）依题意，，，，
∴；
又，∴；
∴；
∴，
即第时点所在位置的高度为；
（2）由（1）知，；
依题意：，
∴，∴，
解得，，
即，；
∵，
∴转一圈中有时间可以看到公园全貌.
29．
解：（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
，圆的半径为，
点坐标为，
点的坐标为，
坐标为.
（2）四边形的面积
，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为.
30．
（1）有表格数据可得y关于t的变化的图象，如下：
由图知：，，，则，
∴
由时，，得，，
∴，，又，即，
∴.
（2）由，得，
∴，，得，，
∴或或，故在白天11时~19时进行训练较为恰当.
31．
解：（1）可选择以下6个点：，，，，，，其图像如下：
选法一：设选取的函数解析式为：（，，），
由题意得：，所以，，
又因为，
解得，，
所以，
由，得，
所以，，
又，所以当时，，
所以，；
选法二：设选取的函数解析式为：（，，），求解过程同上，可得，．
（2）根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，
由，
解得：，
即
所以，，
故，
又因为，所以，
所以可安排货轮在0时到5时之间进港．
货轮安全离港的水深要求至少达到12米，
根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．
综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
32．
（1）由题意设，则，，则，
由题意，是锐角，所以，
，，，
所以；
（2）河水上涨米，在中，，．
（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，即，，
所以．
试卷第1页，共3页