2022-2023学年新高一入学考试数学试题3（福建）（Word版含解析）

2022-2023学年新高一入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是方程两个实数根，的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图放置的圆柱，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．9
4．的周长是24，M是的中点，，则的面积是（ ）
A．24 B．20 C．15 D．不确定
5．如图，是矩形内的任意一点，连接 ，得到 ，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上.其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．一只盒子中有个红球，9个白球，个黑球，每个球除颜色外都有相同.已知至少摸出17个球时其中一定有5个红球，至少摸出17个球时其中一定有8个相同颜色的球，则代数式的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．如图，是⊙的直径， 点是⊙上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，.下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
8．某人从上一层到二层需跨10级台阶. 他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步. 从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶. 则他从一层到二层可能的不同过程共有（ ）种.
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
9．已知，则___________.
10．如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则___________.
11．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元公里 0.3元分钟 0.8元公里
注：车费由里程费 时长费 远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里.如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差___________.
12．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为________．
13．如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形 内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为______.
14．如图，在中，，，，，则________.
15．如图，有一个边长不定的正方形，它的两个相对的顶点，分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），则正方形边长的取值范围是___________.
16．已知的图象关于点(2,0)对称，则=____________ .
三、解答题
17．某厂为了评估某种零件生产过程的情况,制定如下规则:若零件的尺寸在,则该零件的质量为优秀,生产过程正常;若零件的尺寸在且不在,则该零件的质量为良好,生产过程正常;若零件的尺寸在且不在,则该零件的质量为合格,生产过程正常;若零件的尺寸不在,则该零件不合格,同时认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,(其中为样本平均数,为样本标准差)下面是检验员从某一天生产的一批零件中随机抽取的20个零件尺寸的茎叶图(单位:cm)经计算得,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
（1）利用该样本数据判断是否需对当天的生产过程进行检查;
（2）利用该样本,从质量良好的零件中任意抽取两个,求抽取的两个零件的尺寸均超过的概率;
（3）剔除该样本中不在的数据,求剩下数据的平均数和标准差(精确到0.01)
参考数据:,,,
18．已知关于的方程有两个实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若满足，求实数的值.
19．如图，已知是的直径，弦与直径相交于点.点在外，作直线，且.
(1)求证：直线是的切线.
(2)若，，，求的长.
20．如图，中，，以点为圆心，为半径作⊙，为⊙上一点，连接、，，平分.
（1）求证：是⊙的切线；
（2）延长、相交于点，若，求的值.
21．已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
(1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式∶
(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.
22．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
首先得到韦达定理对应的结果，然后将改写成韦达定理形式去计算结果.
【详解】
由韦达定理可知：，且，
故选B.
【点睛】
本题考查韦达定理的简单应用，难度较易.常见的变换形式有：，
.
2．C
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义，结合选项可得答案.
【详解】
俯视图为由上向下观察的平面图形，所以俯视图为圆，
故选：C.
【点睛】
本题考查了由直观图判断三视图，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组的解集为，即可得出，找出且中所有的整数，将其相加即可得出结论.
【详解】
解：分式方程的解为且，
关于的分式方程的解为正数，
且，
且.
不等式组整理得，
关于的不等式组的解集为，
.
且.
符合条件的所有整数为 0 1 2 4 5，它们的和为9.
故选：D.
4．A
【解析】
由直角三角形的判定得是直角三角形，再由勾股定理求得两直角边的乘积，从而求得三角形的面积.
【详解】
由已知得，所以，又的周长是24，，
所以，所以，
所以的面积，
故选：A.
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，勾股定理的运用，以及三角形的面积的计算，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
根据三角形面积求法以及矩形性质得出矩形面积，进而判定②正确； 利用当点很接近与点时的面积情况可否定①；当点上下移动时，可任意变化，由此可否定③；先根据面积相等,转化成比例式，可以得到从而，进而得到在对角线上，从而判定④正确.
【详解】
解：如图，过点分别作矩形各边的垂线，垂足分别为，
又∵，，故②正确；
当点很接近与点时，会很接近于0，会很接近于矩形的面积.
故①错误；③若，只能得出,当点上下移动时，可任意变化，故③错误；，∴，又∵，，∴∴,∴在对角线上，故④正确.
综上，只有②④正确，正确的个数为2个，
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
根据“至少摸出17个球时其中一定有5个红球得到方程，求得；根据“至少摸出17个球时一定有8个相同色的球”，最坏的情况，这17个球中一定包含3个黑球，这样其余的14个球只有红球和白球.为了保证这14个球中一定有8个颜色相同的球，于是得到，（8为白球数，若，则会出现，不能保证8个同色），即可得到结论.
【详解】
“至少摸出17个球时其中一定有5个红球”：“一定”包含最坏的情况，即摸完所有的白球和黑球才摸到红球，
，
；
“至少摸出17个球时一定有8个相同颜色的球”：最坏的情况：这17个球中一定包含3个黑球.
这样其余的14个球只有红球和白球.
为了保证这14个球中一定有8个颜色相同的球，
，（8为白球数，若，则会出现，不能保证8个同色），
.
故选：D.
7．C
【解析】
【分析】
连接，结合切线的性质得，进而根据平行线的性质判断①；根据几何关系证明，再根据得判断②；连接，根据几何关系证明是等边三角形，进而计算阴影部分面积判断③；由得，再设，则，根据解得，进而可判断④；
【详解】
解：对于①，连接，，，
∵是圆的切线，，∴，∴，
∴，即平分，故①正确；
对于②，∵是直径，∴，，
又，，
又，，
，，
∵是公共角，，，
，即，故②正确；
对于③，连接，∵，∴，∴，
又∵是直径，∴，∴，∴，
∵是切线，∴，∵，∴是的中线，
∴，即是等边三角形，∴，
∴，
∴ 阴影部分面积为，故③错误；
对于④，，∴，，
设，则，，，解得，
，，故④正确.
故选：C
8．C
【解析】
【详解】
按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步. 因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.
为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步. 每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.
下面分三种情形讨论.
（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧. 此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球. 所以，此种情况共有4种可能的不同排列.
（2）第1球不是白球.
（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；
（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种不同排列.
（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.
总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程.
9．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值.
【详解】
解：原式
，
当时，原式.
故答案为：.
10．##
【解析】
【分析】
在中，， 设，则有，,即可求得,因为,所以求解即可.
【详解】
解：在中，因为，
所以设，则有，.
所以,
又因为，所以,
所以=.
故答案为:.
11．19分钟
【解析】
【分析】
设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差.
【详解】
设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，依题可得：
，
，
，
.
故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟.
故答案是：19分钟.
12．
【解析】
可知表示直线上的点与点连线的斜率，即可求出.
【详解】
实数，满足方程，当时，
表示直线上的点与点连线的斜率，
设、为直线上的两个点，且，
的斜率为，的斜率为 ，
故的范围为，
故答案为：．
13．
【解析】
【分析】
连接，由正方形的对称性可知，所以，求出的长可知答案
【详解】
连接，
因为正方形的面积为12，
所以，
因为是等边三角形，
所以，
因为为正方形对角线上一点，
所以，
所以，当共线时取等号
所以的最小值为，
故答案为：
14．70°
【解析】
由，可得，再结合等腰三角形及内角和为的条件可得解.
【详解】
,
,
又，，
,
,
,
,
故答案为：70°
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键.
15．
【解析】
【分析】
当正方形的顶点 在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论.
【详解】
①当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长的值最小，是正方形的对角线，
，
，
②当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线，
建立下图直角坐标系，设时，正方形的边长最大，
，
，
设直线的解析式为，，，
，
，
直线的解析式为，
将代入得，
此时，取最大值，
，
正方形边长的取值范围是：，
故答案为：.
16．4
【解析】
【详解】
解法一：由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知为奇函数.
所以，解得.
所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4
解法二：由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知对任意x∈R，.
于是，对任意x∈R，
，
即恒成立.
所以，解得.
所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4
解法三：依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2).
利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5.
于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f（1）=-1-(-5)=4.
故答案为：4．
17．（1）是；（2）；（3）平均数和标准差
【解析】
（1）根据所给数据求得,根据,可得,即可求得答案;
（2）因为,,可得质量良好的零件有5个,其中大于的有3个,设为,小于的有2个,结合条件,即可求得答案;
（3）剔除样本中不在的数据24.81,则剩下数据的,根据求得,即可求得答案.
【详解】
（1）根据所给数据求得,
,
,
而,
需对当天的生产过程进行检查.
（2）,
质量良好的零件有5个,其中大于的有3个,设为,小于的有2个,
设为,
所有的可能性有共10种,其中两个零件的尺寸均超过的有,共种,
从质量良好的零件中任意抽取个,其尺寸均超过的概率为；
（3）剔除样本中不在的数据24.81,
则剩下数据的,
剩下的数据的
剩下的数据的平均数和标准差
【点睛】
本题主要考查了求数据的平均值和标准差,解题关键是掌握平均数和标准差的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，利用得到，然后解方程后利用的范围确定的值.
（1）关于的方程有两个实数根，，解得.
（2）关于的方程有两个实数根，，，，，整理得，解得，，，的值为.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据切线的判定即可得直线是的切线.
（2）根据直径所对圆周角是直角可得，根据，，即可求的长.
（1）证明：连接，是的直径，，即，，，，即，直线是的切线；
（2）过点作边的垂线交于点.，，，，，，在中，.
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）证明，可得出，即可证得结论成立；
（2）由（1）可得，根据已知条件得出，，由可得出，由此可计算得出的值.
【详解】
（1）因为，，，所以，，
所以，，即，
又因为为⊙上一点，所以，是⊙的切线；
（2）由（1）可知，，，
因为，则，，
，
因为，则，
，则，
所以，，，
在中，，故.
21．(1)
(2)32万件，6104万元
【解析】
【分析】
（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论
(1)
解：利用利润等于收入减去成本，可得
当时，；
当时，.
；
(2)
解：当时，，
时，；
当时，，
当且仅当，即时，，
，
时，的最大值为6104万元，
即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；
（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解；
（3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，
又由最小值为1，可设，
又，即，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）函数的对称轴为，
要使在区间上不单调，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，
可得在区间上恒成立，
化简得在区间上恒成立，
设函数，
则在区间上单调递减
∴在区间上的最小值为，
∴.
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页