2022-2023学年高二上学期返校适应性考试数学试题1（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期返校适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为虚数单位，且复数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
5．已知函数在R上满足，且时，对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示的是函数的图像，则函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，，则
C．若非零向量，，，满足，则
D．若，则且
10．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为增函数
B．，对为偶函数
C．，对有最大值
D．，对有最大值
11．对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（ ）
A．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形
B．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为
C．P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的重心
D．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
12．某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为，金属底座是由边长为4的正三角形沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（ ）
A． ，，，四点共面
B．经过，，三点的截面圆的面积为
C．直线与平面所成的角为
D．奖杯整体高度为
三、填空题
13．已知函数和.若对任意的，都有使得，，则实数的取值范围是______.
14．设函数则关于的不等式的解集为______.
15．若，则的取值范围是_________．
16．已知平行四边形中，满足，动点满足，则的最小值为______．
四、解答题
17．已知，复数，当为何值时，
（1）？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
（4）对应的点位于复平面第二象限？
（5）对应的点在直线上？
18．向量，，函数.
(1)求函数的对称中心；
(2)若函数在上有5个零点，求的取值范围；
(3)在中，内角，，的对边分别为，，，的角平分线交于点，且恰好为函数的最大值.若此时，求的最小值.
19．2015年10月，实施了30多年的独生子女政策正式宣告终结，党的十八届五中全会公报宣布在我国全面放开二胎政策.2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持我国人力资源禀赋优势.某镇2021年1月，2月，3月新生儿的人数分别为52，61，68，当年4月初我们选择新生儿人数和月份之间的下列两个函数关系式① ；②（，，，，都是常数），对2021年新生儿人数进行了预测.
(1)请你利用所给的1月，2月，3月份数据，求出这两个函数表达式；
(2)结果该地在4月，5月，6月份的新生儿人数是74，78，83，你认为哪个函数模型更符合实际？并说明理由.（参考数据：，，，，）
20．某校数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分.某考生每道选择题都选出了一个答案，能确定其中有4道题的答案是正确的，而其余4题中，有一道题可以排除两个错误选项，有两道题都能排除一个错误选项，还有一道题因题意理解不清，只能随机猜测.
(1)求该考生得满分40分的概率；
(2)问该考生得多少分的概率最大？
21．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为．
(1)若，，求三棱锥的体积；
(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．
22．设两实数不相等且均不为.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知函数.
（1）求函数在内的“倒域区间”；
（2）若函数在定义域内所有“倒域区间”的图象作为函数的图象，是否存在实数，使得与恰好有2个公共点 若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以；
故选：D
2．B
【解析】
设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径.
【详解】
设圆锥的底面半径为，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为，所以圆锥的表面积为，解得.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【详解】
因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可.
【详解】
如图所示:
连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE,
则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角.
由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得,
则AE=,
∴,
∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为，
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
设，按、分别探讨函数的性质，借助图象关系及已知列出不等式，求解作答.
【详解】
令，当时，，
若，则当时，，当时，，，
函数的图象是由的图象向右平移个单位而得，
显然的图象总在的图象的上方，即恒成立，因此，
若，当时，，因为奇函数，函数在R上的图象，如图，
把的图象向右平移个单位得的图象，要，恒成立，
当且仅当射线经平移后在射线及下方，于是得，则，
综上得，即，而，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】
关键点睛：由一个函数经左右平移得另一函数，两个函数式为不等式的两边的不等式恒成立问题，作出原函数图象，借助图象分析求解是解决问题的关键.
6．A
【解析】
【分析】
根据给定条件利用指数、对数函数的性质直接比较作答.
【详解】
函数在R上单调递增，而，则，又，即，
函数在上单调递增，，则，
所以.
故选：A
7．C
【解析】
【分析】
由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.
【详解】
由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．
若，则，所以函数为偶函数，
与条件矛盾，A错，
若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，
若，则，
当时，，与所给函数图象不一致，D错，
若，则，
当时，，
又， ，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，
故选：C．
8．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及求出的取值范围.
9．ABC
【解析】
【分析】
A选项，当且方向相同，才有，故A错误，D正确；B选项可以举出反例，C选项利用向量的数量积推导出，故C错误.
【详解】
A选项，，但向量方向可能不同，故A错误；
若，则满足，，但可能不平行，故B错误；
若，即，因为，，均为非零向量，所以，故不一定成立，C错误；
若，则且，D正确.
故选：ABC
10．BCD
【解析】
【分析】
，
对于A:利用单调性的定义，要使为增函数，进行运算，产生矛盾，即可判断；
对于B:利用偶函数的定义进行判断；
对于C、D: 用判别式法求值域即可判断；
【详解】
，
对于A:设,且，则令，
所以因为，所以.
要使为增函数，只需恒成立，
所以，
即
而，所以矛盾，故A错误；
对于B:要使对为偶函数，按偶函数的定义，只需，即
，解得：b=0.
即，对为偶函数.故B正确；
对于CD: 定义域为R，
所以关于x的方程有解，
当时，有有解，
当时，只需，
即，
而，
所以关于y的一元二次不等式有解，故CD正确；
故选：BCD.
【点睛】
（1）证明函数的单调性的方法：①定义法；②导数法；
（2）求二次分式型函数的值域可以用判别式法.
11．ABD
【解析】
【分析】
把余弦改为正弦，用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可得角的大小，得三角形形状，从而判断A；由余弦定理求得后，再由三角形面积计算面积，判断B；根据三角形重心性质判断C；由正弦值相等得出角的关系判断D．
【详解】
解：对于A：sin2A+sin2B+cos2C＜1，整理得：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，即sin2A+sin2B﹣sin2C＜0，
根据正弦定理：a2+b2﹣c2＜0，故，则△ABC为钝角三角形．故A错误；
对于B：若AB＝，AC＝1，B＝30°，
设BC＝x，则利用余弦定理：，解得x＝1或2，
即BC＝1或2，
当BC＝1时，，
当BC＝2时，，故B错误；
对于C：P在△ABC所在平面内，若，
如图，取中点，连接，易，
又，所以，
所以，所以三点共线，且，所以 是△ABC的重心，故C正确；
对于D：若sin2A＝sin2B，所以：2A＝2B，或2A＝π﹣2B，整理得A＝B，或A+B＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误．
故选：ABD．
12．ACD
【解析】
【分析】
对A，由两条平行线唯一确定一个平面，即可判断；对B，作的射影，根据是边长为的正三角形，即可求出其外接圆半径，即可求解；对C，根据线面角的定义，找到直线与平面所成的角，即可求解；对D，在中求出,，再根据球的体积公式求出球的半径。利用勾股定理求出球心到面的距离，即可求出奖杯的高度.
【详解】
解：对A，如图所示：点三点在底面上的射影分别是三边中点，连接，
由题意可知：且，
故四边形是平行四边形，
故，
又，
，
由两条平行线唯一确定一个平面知：，，，四点共面，故A正确；
对B，由点三点在底面上的射影分别是三边中点，
与全等且所在的面平行，
故的截面圆与的截面圆相等，
由题意知：的边长为，
其外接圆半径为：，
故截面圆面积为：，故B错误；
对C，平面平面，
故点在平面内的射影在上，
故即直线与平面所成的角，
又为等边三角形，
即直线与平面所成的角为，故C正确；
对D，由上图可知：，
设球的半径为，
则，
的外接圆半径，
解得：，
故球心到面的距离为：，
故奖杯整体高度为，故D正确.
故选：ACD.
13．
【解析】
根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解.
【详解】
由题意得， ,并且对于值域中的每一个数，都有至少两个不同数和，使得成立.
①当时， 在上单调递减，显然，此种情况不成立.
②当，在上的值域为，由的函数图象可知，只要使得，则解得.
③当时，在上的值域为，由的函数图象可知，要满足即可，得，综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围的问题，结合函数图象可更好的理解题意，属于能力提升题.
14．
【解析】
【分析】
由函数解析式可知，函数为奇函数，则等价转换为，解不等式即可.
【详解】
因为
当时，，则，；
同理当时，，，
又，综上所述为奇函数，
则，即，当时，，
解得；当时，，解得，因为，所以.
故的解集为
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由基本不等式可得，可得，可得，即有，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．
【详解】
解：，，，
可得，当且仅当时取等号；
可得，
，
可得，
即有，
则
，
可令，
由在，递减，可得
，
则的取值范围是，
故答案为：．
16．
【解析】
【分析】
首先利用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和，根据向量的数量积定义和余弦定理以及所证的定理可得，即得结果.
【详解】
，可得四边形是矩形，
如图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设为任意点，矩形四个顶点为，
则有，
.
∴，
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形是对角线长为2的长方形，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
如图所示：
，
当且仅当三点共线时取等号．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的应用，余弦定理的应用，结合平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和是解题的关键，属于难题.
17．（1）(2)（3）或（4）（5）或
【解析】
【详解】
试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即且，解得.（2）要复数为纯虚数，则实部，虚部，解得.（3）复数对应的点在第二象限，则实部，虚部，解得.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得.
试题解析：
（1）由，且，得，
故当时，；
（2）由
解得或，
故当或时，为纯虚数；
（3）由
解得，
故当时，复数对应的点位于复平面的第二象限；
（4）由，
解得或，
故当或时，复数对应的点在直线上.
18．(1)（Z）
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量的坐标运算，以及三角恒等变换先求出，再令，即可解出；
（2）由题可知在上有5个根，当时，，所以它的5个根分别是的解，即可由得出的取值范围；
（3）由恰好为函数的最大值可求得，，在和中，根据正弦定理可求出，再在中，利用正弦定理求出，从而得到的表达式，最后利用基本不等式可求出最小值．
(1)
∵，，∴，
∴.
令得，∴的对称中心为（Z）.
(2)
当时，，又在上有5个零点，
∴，∴的取值范围为.
(3)
由恰好为函数的最大值可得，
即，∵，则可解，则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
∴，
在中，，
则可得，，
则
，
∵，，
∴，
当且仅当等号成立，故的最小值为.
19．(1)，
(2)函数② 更符合实际，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三组数据代入求解即可；
（2）分别代入（1）问求出的解析式中，检验与实际的差异，即可判断模型更符合实际.
(1)
解：（1）由1~3月的新生儿人数，可得对于函数①：
得到
代入函数②：
得到，继而得到，
∴
(2)
（2）当时，代入函数① ，分别得.
当时代入函数② ，分别得
可见函数② 更符合实际.
20．(1)；
(2)该考生得25分的概率最大.
【解析】
【分析】
（1）利用独立事件的乘法公式求其余4题全对的概率，即可得结果.
（2）由考生总得分X的取值有20、25、30、35、40，再应用独立事件乘法公式及互斥事件加法公式求各对应得分的概率并比较大小，即可得答案.
(1)
由题设知，在其余4道题中，有一道题答对的概率为，有两道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，
所以该考生单项选择题得40分的概率为.
(2)
设该考生总得分为X，则X的取值有：20，25，30，35，40.
依题意，.
，
同理：，，，
所以该考生得25分的概率最大.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面积和高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出，结合第一问结论求出，从而求出答案.
(1)
取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，，所以△DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积；
(2)
设，则，，由（1）知：，，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知：
，
则
其中，且，，故，
由第一问可知，又是的中点，所以，所以，
因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为.
【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案.
22．（1） （2）存在,
【解析】
【分析】
（1）根据倒域区间的定义,结合函数的单调性,解方程即可求得的值,可得函数在内的“倒域区间”.
（2）结合倒域区间的定义,先求得函数的解析式.根据两个函数有两个交点,即可得关于的方程,分离参数得的表达式,根据打勾函数的图像及性质即可求得的取值范围.
【详解】
（1）
由二次函数性质可知, 在时单调递减
设,则其值域为
所以,化简可得
因式分解可得
解得,
因为
所以
即倒域区间为
（2）两实数不相等且均不为.且满足时,函数值的取值区间恰为
则,所以与符号相同,即同为正数或同为负数
因为定义域为
所以存在两种可能:与
当时,由二次函数的图像可知
所以满足,即
所以.由（1）可知其倒域区间为
当时,由二次函数的图像可知
所以满足,即
所以,根据倒域区间的定义,同理可求得其倒域区间为
综上可知,
因为
当时,
令
则
画出与的图像
可知没有交点.
若两个函数恰有2个公共点,则两个函数图像在有2个交点.
即在上有两个不同交点.
化简可得,即为打钩函数.
画出函数图像如下图所示.
则当,即时取得最小值,最小值为
当时,,
当时,
因为
所以为有两个交点,则的取值范围为
【点睛】
本题考查了函数性质的综合应用,新定义内容的理解和应用,函数图像的综合用法,利用分离参数法求参数的取值范围,综合性较强,属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页