2022-2023学年高二上学期返校适应性考试数学试题3（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期返校适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（，i为虚数单位），满足，则（ ）
A． B．3 C． D．5
2．圆锥的表面积为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．对于任意事件A和B，都有
B．若A，B为互斥事件，则
C．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的
D．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
4．已知圆柱的底面半径和母线长均为1， 分别为圆 圆上的点，若异面直线，所成的角为，则（ ）
A． B． C．2或 D．2或
5．已知函数，则其图像可能是（ ）
A． B． C． D．
6．函数满足且，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，在中，，，为底边上的动点，，，沿折痕把折成直二面角，则的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是单位向量，且，则（ ）
A．
B．与垂直
C．与的夹角为
D．
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于点对称
C．有唯一一个零点 D．不等式的解集为
11．下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．若，则三角形为等腰三角形
D．在锐角三角形中，
12．如图， 在梯形中， 为线段 的两个三等分点， 将和分别沿着向上翻折， 使得点分别至 (在的左侧)， 且平面分别为的中点， 在翻折过程中， 下列说法中正确的是（ ）
A．四点共面
B．当 时， 平面 平面
C．存在某个位置使得
D．存在某个位置使得平面 平面
三、填空题
13．集合，则m＝___．
14．已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为___________.
15．已知，则的最大值为________．
16．已知平行四边形中，满足，动点满足，则的最小值为______．
四、解答题
17．已知复数，i是虚数单位）．
(1)若是纯虚数，求m的值和；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
18．如图，在四边形中，.
(1)求的长；
(2)若，求的面积.
19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
(1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；
(2)当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
20．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
21．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)若棱的中点为，求的长；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
22．设函数,其中.
（1）若在上有最小值, 求实数的取值范围；
（2）当,时, 记,若对任意,总存在,使得,求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据可求的值，从而可求.
【详解】
，而，故，
故，
故选：A
2．A
【解析】
设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，
因为圆锥的表面积为，母线长为，
所以，
即 ，
解得 或 （舍去）
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据事件的定义逐一分析即可.
【详解】
对于A，成立的前提为事件和事件为互斥事件，故A错误；
对于B，事件和事件为互斥事件，则，故B错误；
对于C，在一次试验中，其基本事件的发生不一定为等可能的，故C错误；
对于D，频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律，在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
设过的母线为，连接，则或,再分类讨论求解.
【详解】
设过的母线为，连接，
则,,
∴ 四边形为平行四边形，
∴,
∴异面直线，所成的角或其补角，
∴ 或，
当时，，此时；
当时，由余弦定理得，
此时，
所以或2.
故选：.
5．A
【解析】
【分析】
通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.
【详解】
的定义域为,
所以为奇函数，则排除
若,且，
则
若,且，
则
，，
，.
故选：A
【点睛】
判断图像类问题，主要考虑以下几点：
函数的定义域；
函数的奇偶性；
函数的单调性；
图像中的特殊值.
并且通常用到排除法.
6．D
【解析】
【分析】
结合所给函数性质逐一验证，只有D项符合
【详解】
对A，若，则由可得，无法判断大小，故A错；
对B，若，则由可得，无法判断大小，故B错；
对C，若，则由可得，得到，无法判断大小，故C错；
对D，若，则有可得，则，又为增函数，故，故D正确.
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
根据题意，设,则，其中，进而根据三余弦公式求解即可
【详解】
解：法一：设,则，其中，
因为二面角为直二面角，
所以，由三余弦公式得：
所以.
故选：C.
法二：特殊图形，极端原理
在正中，当位于点时，，
当位于中点时，.
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及求出的取值范围.
9．BC
【解析】
【分析】
利用向量的模运算和数量积运算求解即可，难点在于计算和理解
【详解】
，故A错误；
因为是单位向量，且，得，与垂直，故B正确；
，，故D错误；
，所以与的夹角为，故C正确．
故选：BC
10．BCD
【解析】
【分析】
求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A错误；根据解析式验证可知，则知B正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在定理可说明在有且仅有一个零点，知C正确；结合C的结论可说明时，时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.
【详解】
对于A，由得：，即定义域为，不关于原点对称，
为非奇非偶函数，A错误；
对于B，，，
，图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递减；
由知：图象关于对称，在上单调递减；
当时，，，，在上无零点；
当时，，，
，使得，则在上有唯一零点；
综上所述：有唯一一个零点，C正确；
对于D，由C知：在和上单调递减，
又时，；时，；
①当，即时，由得：，解得：（舍）或；
②当时，不等式组无解，不合题意；
③当，即时，，，满足题意；
④当，即时，，，不合题意；
综上所述：的解集为：，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；利用单调性解不等式的关键是能够确定函数的单调性，并根据单调性将函数值大小关系的比较转化为自变量大小关系的比较问题.
11．ABD
【解析】
【分析】
由正弦定理检验选项；由余弦定理检验选项；由诱导公式检验选项，由正弦函数的性质检验选项．
【详解】
解：三角形中，若，则，，即，正确；
由为锐角可得，，即恒成立，正确；
若，则或，三角形为等腰三角形或直角三角形，错误；
锐角三角形中，，
所以，
所以，同理，
所以，正确．
故选：．
12．BCD
【解析】
【分析】
对于A选项，直线MN与直线CD为异面关系，所以A错误；
对于B选项，当 时，其长度恰好等于底面梯形中位线的长度，易知M,N两点在底面的投影恰好落在DE和CF上，可得平面平面；
对于C选项，可找出NF的平行线，将垂直的判断转化为异面直线所成角；
对于D选项，从翻折的过程看二面角的变化趋势可得.
【详解】
对于A选项：如图，分别取EF,CF的中点Q，S，连接AP，BP，DQ，
易知均是边长为2的正三角形，
所以在翻折过程中M，N两点在底面的射影分别落在直线PA和PB上，如图2，易知，
设M，N两点到底面的距离分别为，则，
因为平面，所以，又，所以，
易得，则，则易知共面，共面,
易知异面，所以不在同一平面内，则A错误；
对于B选项:当 时，恰有，则MNSO为平行四边形，由对称性知此时，M，N两点在底面的射影即为O,S两点，所以,得平面平面，则B正确；
对于C选项:过M点作交EF于T，即为DM与FN所成角，易知在翻折过程中，
又因为，则当时，，即,所以C正确；
当，由B选项知，平面平面，平面平面，
此时DE与CF的夹角即为平面与平面的夹角，易知此时的夹角为，
而与在翻折的极限位置为,即两平面的夹角的最大值为
，所以在连续变化过程中必存在某个位置使得平面平面 ，所以
D正确.
故选：BCD.
13．
【解析】
【分析】
根据B A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．
【详解】
∵集合，
∴，解得．
故答案为：±2．
14．
【解析】
【分析】
根据已知条件将向量代入整理可得关于x、y的二元二次方程，然后通过换元，利用方程有解可得.
【详解】
又，是单位向量且
上式
令，代入上式整理得：
关于x的方程有实数解
整理得：，解得
故答案为：.
15．##
【解析】
【分析】
根据题意得，设，所以，所以，求出的范围，所以，分析求最值即可.
【详解】
，所以，设，
代入，则有，看成关于的一元二次方程，
若方存在，则关于的一元二次方程必须有解，
所以判别式或，
所以或
又函数在上单调递增，
所以
当且仅当时取得等号，此时，.
故答案为：．
【点睛】
求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
16．
【解析】
【分析】
首先利用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和，根据向量的数量积定义和余弦定理以及所证的定理可得，即得结果.
【详解】
，可得四边形是矩形，
如图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设为任意点，矩形四个顶点为，
则有，
.
∴，
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形是对角线长为2的长方形，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
如图所示：
，
当且仅当三点共线时取等号．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的应用，余弦定理的应用，结合平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和是解题的关键，属于难题.
17．(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的实部为，虚部不为求出的值，进而求出复数的模；
（2）首先根据第（1）问求出，然后根据复平面上对应点在第二象限，则实部小于，虚部大于，解不等式组求出的取值范围.
(1)
依题意得，
，
若是纯虚数，则，解得，
，.
(2)
由（1）知，，
，，
复数在复平面上对应的点位于第二象限，
，解得，即.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式求解的余弦值，利用余弦定理即可求解的长；
（2）利用正弦定理求得的长，利用三角形内角和为求解的正弦值，最后利用三角形面积公式即可求解.
(1)
解：因为，
所以
由余弦定理得：，
所以.
(2)
由正弦定理得，
所以，
故，，
则为锐角，，
所以
，
所以的面积为.
19．(1)，，
(2)当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元
【解析】
【分析】
(1)根据题意得，代入化简即可；
(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.
(1)
由题意得
，
即，，.
(2)
由，得，
因，当且仅当时取等号，所以.
故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.
20．（1），；（2）.
【解析】
（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】
解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
21．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值
(1)
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
(2)
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.
(3)
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为的平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC的法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为
【点睛】
求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.
22．(1)；(2) .
【解析】
【分析】
(1)借助题设条件运用二次函数的知识求解；(2)借助题设运用分类讨论的方法及取得最值为条件建立不等式探求.
【详解】
（1）在上有最小值,,
故,实数的取值范围为.
（2）由已知,
当时,,
故,当时,
；当时,, 即,即,
故,从而；
当时,, 即,即,故,从而；
综上所述,的取值范围为
【点睛】
易错点晴：二次函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以与二次函数有关的解析式为背景,考查的是二次函数的图象和性质及不等式的性质有关知识的综合运用以及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,第一问中先将中的,求出函数的解析式,再运用已知求出实数的取值范围为.第二问则运用分类整合的数学思想及不等式的性质进行推理论证,从而使得问题获解.
答案第1页，共2页
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