内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里远方高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案）

2021-2022下学期满洲里远方中学期末考试
高二数学（文）
一、单选题
1．设命题，，则为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
3．下列求导运算正确的（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数，则正确的是（　　）
A．的实部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．的虚部为 D．的共轭复数为
7．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入，输出，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
9．在极坐标系下，，两点间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．若曲线的极坐标方程为，则它的直角坐标方程为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知点的极坐标为，则点的直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．若复数z的实部为1，虚部与的虚部相等，则复数__________．
14．椭圆的两焦点为、，为上的一点，则________．
15．若，则______．
16．若复数z满足，则z的虚部为______．
三、简答题（17-18每题8分共16分,19-22每题10分共40分）
17．求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2)；
(3y＝3x；
(4)y＝log5x.
18．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程：
(1)；
(2)
19．已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的极值.
20．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，营造党的二十大胜利召开的良好社会氛围，某校开展了党史知识答题活动.为调查学生的成绩是否为高分与性别的关联性，随机抽取了该校60名学生，他们的成绩统计如下表.已知满分60分，36分及以上称为“及格”，48分及以上称为“高分”，54分及以上称为“优秀”.
男生（人） 2 8 10 8 2
女生（人） 2 3 10 11 4
(1)完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；
高分 不是高分 合计
男生
女生
合计
(2)从样本中成绩优秀的学生中随机抽取2人，求抽到一名男生和一名女生的概率.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附：，其中.
21．在直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，为曲线C上的点．
(1)求a的值，并求曲线C的直角坐标方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个动点，且，求面积的最大值．
抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程．
参考答案：
1．C
【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】解：命题，为特称量词命题，其否定为，；
故选：C
2．A【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求得的值.
【详解】由于抛物线的焦点为，所以.
故选：A
3．B【解析】【分析】根据基本函数求导公式和导数的运算法则进行判断.
【详解】
，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误.
故选：B
4．A【解析】【分析】对求导，令 解 的取值范围即为的单调递减区间
【详解】
，
令 ，即 ，解得
的单调递减区间为
故选：A
5．A【解析】【分析】先求出，即可得到共轭复数.
【详解】因为，所以复数的共轭复数是.
故选：A
6．D【解析】【分析】根据复数除法运算可求得，由复数实部和虚部、共轭复数定义和复数对应点的坐标，依次判断各个选项即可.
【详解】
，的实部为，虚部为，AC错误；
对应的点为，位于第四象限，B错误；
的共轭复数，D正确.
故选：D.
7．B【解析】【分析】由题意整理得，利用复数的除法运算可得，再根据共轭复数的概念理解判断．
【详解】由题意可得：
∴z的共轭复数为
故选：B．
8．B【解析】【分析】
根据框图计算可得时，则，此时跳出循环输出结果．
【详解】
根据框图可得：
开始 循环1 循环2 循环3 循环4 循环5
x 2 3 5 9 17 33
k 1 2 3 4 5 6
输出，则，此时跳出循环
故选：B．
9．C【解析】【分析】
将极坐标化为直角坐标，再根据两点间的距离公式计算可得；
【详解】
解：根据，
对于，则，所以的直角坐标为；
同理可得的直角坐标为，
.
故选：C.
10．B【解析】【分析】
利用直角坐标和极坐标的互化公式，即可求得.
【详解】
由直角坐标和极坐标的互化公式，，
可化为：，
整理得．
故选：B
11．A【解析】【分析】直接由极坐标和直角坐标的转化求解即可.
【详解】由，可得点的直角坐标为.
故选：A.
12．B【解析】【分析】
根据题意可知直线经过抛物线的焦点和圆的圆心，有两点坐标即可求解直线方程.
【详解】
抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，
所以可得直线经过点和，故斜率，
由斜截式可得方程为：，
故选：B
13．【解析】【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.
【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
14．
【解析】【分析】求出的表达式，再求函数值即可作答.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
15．2【解析】【分析】由双曲线的虚轴长的定义可得.
【详解】双曲线方程为，所以，所以虚轴长为.
故答案为：2.
16．【解析】【分析】
先求得，再依据导数的几何意义去求函数在处的切线方程．
【详解】，则，又，
则切点坐标，切线斜率
则所求切线方程为，即
故答案为：
17．(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)
18．(1)详见解析；(2)详见解析.
【解析】【分析】利用双曲线的性质即求.
(1)由，可得，
∴，即，
∴双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率为，
焦点为，顶点坐标为，渐近线方程为；
(2)由，可得，
∴，即，
∴双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率为，
焦点为，顶点坐标为，渐近线方程为.
抛物线的标准方程为：；椭圆的标准方程为：.
19．(1)
(2)的极小值为，无极大值.【解析】【分析】
（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.
(1)，令，解得：，
故函数的单调递减区间是
(2)令得：
故在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值，，
所以的极小值为，无极大值.
20．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；
(2)【解析】【分析】
（1）先完善列联表，计算，和临界值比较，作出判断即可；
（2）先列举出随机抽取2人的基本事件，再找出抽到一名男生和一名女生的基本事件，计算概率即可.
(1)2×2列联表如下：
高分 不是高分 合计
男生 10 20 30
女生 15 15 30
合计 25 35 60
则，故没有95%的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；
(2)记成绩优秀的两名男生为，四名女生为，则随机抽取2人的基本事件为，
，，，共15个，其中抽到一名男生和一名女生的基本事件有8个，
则抽到一名男生和一名女生的概率为.
21．(1)2，
(2)【解析】【分析】
（1）由点M坐标可得a值，利用极坐标与直角坐标间的转化公式可得曲线C的直角坐标方程；
（2）不妨设，，利用面积公式和辅助角公式以及余弦函数的最值可得答案.
(1)为曲线C上的点，将代入，得．
曲线C的极坐标方程变形为，
即曲线C的直角坐标方程为．
(2)因为，所以不妨设，．
因为
，
所以当且仅当，，即，时，
取得最大值，且最大值为．
22．【解析】【分析】
设出抛物线的标准方程,利用可求出抛物线方程,利用椭圆与抛物线共一个焦点得到,再根据可求出椭圆方程.
【详解】设抛物线的标准方程为：，
因为在抛物线上，所以，得，
所以抛物线的标准方程为：.
因为抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，所以，所以，
又在椭圆上，所以，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为：