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勾股定理
【八上 第十七章 特殊的三角形】
精品课程
EIGHT GRADE MATHEMATICS COURSEWARE VOLUME II
情景引入
01
石家庄科技馆
情景引入
01
你发现了什么现象？
情景引入
01
你得到什么结论？
a
b
c
c2
a2
b2
a2+b2=c2
猜想
02
对于任意一个直角三角形，直角边和斜边之间有什么样的关系？“两直角边的平方和等于斜边的平方”这个结论仍然成立吗？
？
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
A
B
C
a
b
c
猜想
02
B
A
C
A
B
C
面积 A B C
左图
右图
16
9
8
4
25
SA+SB=SC
a
c
b
a
b
a=2, b=2 , c=
a=3, b=4, c=5
4
a2+b2=c2
c
证明
03
∴ a2+b2=c2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形形
赵爽弦图
b-a
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
即，c2=4· ab+(b-a)2
c2=2ab+a2-2ab+b2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
国际数学家大会会徽
证明
03
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
∵S大正方形 =S小正方形 +4SRt△
∴(a+b)2=c2+4 × ab
即
a2+b2=c2
构造法和等面积法
邹元治证明法
证明
03
∵S梯形=S等腰Rt △ +2SRt△
∴ (a+b)2= c2+2× ab
即
a2+b2=c2
总统证法
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
A
B
C
a
b
c
结论
04
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理：
勾
股
（又称“毕达哥拉斯定理”）
弦
勾
股
几何语言：
∴a2+b2=c2
∵在Rt△ABC中，∠C=900
勾股定理的简单应用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,则a=___，b=___.0，则a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，则斜边c上的高h= .
8
∵在Rt△ABC中，
a2+b2=c2
解得，b=8或-8
∴62+b2=102
（舍）
∴b=8
A
B
C
a
b
c
勾股定理的简单应用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,则a=___，b=___.0，则a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，则斜边c上的高h= .
8
8
6
∵在Rt△ABC中，
a2+b2=c2
设，a=3x,b=4x
解得，x=2或-2（舍）
∴x=2
∴a=3x=6,b=4x=8
∴(3x)2+(4x)2=(10)2
A
B
C
a
b
c
勾股定理的简单应用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,则a=___，b=___.0，则a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，则斜边c上的高h= .
8
8
6
∵在Rt△ABC中，
a2+b2=c2
解得，c=13或-13（舍)
∴(12)2+52=c2
∴h=
∵ SRt △ABC = ab= ch
∴c=13
A
B
C
a
b
c
h
勾股定理的简单应用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,则a=___，b=___.0，则a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，则斜边c上的高h= .
8
8
6
方程
二次根式
等面积法
A
B
C
a
b
c
PART 03
课后回顾
勾股定理的证明
01
勾股定理的内容
02
勾股定理的简单应用
03
勾股定理的应用
【下节预告】
第十七中学 高红帆
EIGHT GRADE MATHEMATICS COURSEWARE VOLUME II微说明
选择勾股定理这一课题的原因有二，一方面勾股定理是初中数学八年级上册
第17章第三节的内容，它揭示了直角三角形当中三条边之间的数量关系，能够
将数与形密切地联系起来。另一方面学好勾股定理，对后面学习勾股定理的逆定
理，解直角三角形奠定了基础。
本节微课的具体学习任务：通过构造法和等面积法验证勾股定理并体会其中
数形结合的思想：应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并
逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础。为
此本节课的教学目标是：
1、学生能够掌握勾股定理的内容，初步学会用它来进行简单计算和证明。
2、学生通过观察、归纳、猜想验证勾股定理，体验从特殊到一般的探索解
决问题的方法以及数形结合的思想。
3、学生通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
其中，探索和证明勾股定理是本节课的重点，利用构造法和等面积法来证明
勾股定理是本节课的难点。
另外，要特别说明的是：由于微课视频的限制，中间未能留出充足的思考及
交流时间，实际上，视频停顿处或有具体要求处需暂停视频做以思考。中小学教育资源及组卷应用平台
勾股微习题
一、基础夯实
在△ABC中,∠C=90°，∠A ∠B ∠C 的对边分别为a、b、c,则
⑴若a=3，b=4，则c=＿＿⑵若a=5,c=13,则b=＿＿⑶若b=8，c=17，则a=＿＿
若一个直角三角形的两直角边分别为3、4，则面积是＿＿,周长是____,斜边上的高是____.
已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，∠C=90°，c=10，b=8，则=________．
二、能力提升
如图，在和中，，点在上．若，，，则__________．
如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______．
第1题图 第2题图
3．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理．
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一、基础夯实
1．在△ABC 中,∠C=90°，∠A ∠B ∠C 的对边分别为 a、b、c,则
⑴若 a=3，b=4，则 c=＿＿⑵若 a=5,c=13,则 b=＿＿⑶若 b=8，c=17，则
a=＿＿
2．若一个直角三角形的两直角边分别为3、4，则面积是＿＿,周长是____,
斜边上的高是____.
3．已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所对的边为 a，b，c，∠C=90°，
c=10，b=8，则a=________．
二、能力提升
1. 如图，在 ABC和△EDB 中， C EBD 90 ，点 E 在 AB 上．若
△ABC △EDB， AC 12， AB 13，则DB __________．
2. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知
S1 4， S2 8， S3 9， S4 25，则 S _______．
第 1题图 第 2题图
3．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，
这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所
形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为 a、b，斜边长为
c，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理．
试卷第 1页，共 2页
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科 目 数学 年 级 八年级 章节 第十七章
课题 17.3.1 勾股定理
教学目标 1、学生能够掌握勾股定理的内容，初步学会用它来进行简单计算和证明。2、学生通过观察、归纳、猜想验证勾股定理，体验从特殊到一般的探索解决问题的方法以及数形结合的思想。3学生通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
教材分析 勾股定理是初中数学八年级上册第17章第三节的内容，它揭示了直角三角形当中三条边之间的数量关系，将数与形密切地联系起来。本节课是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上来学习的，学好本节课，对后面学习勾股定理的逆定理，解直角三角形奠定了基础，在实际生活和生产中有着广泛的应用。
教学重难点 1、重点：探索和证明勾股定理。2、难点：利用构造法和等面积法来证明勾股定理。
教学方法 1、教学方法：引导—探究—发现法．2、学习方法：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流、自主整理的研讨式学习方式
教学过程设计（师生活动） 备 注
一、创设情境通过观看石家庄科技馆内展品的动态演示，从“两个小正方形内的液体刚好能注满大正方形容器”的发现得到“这个直角三角形的两直角边的平方加起来等于斜边的平方。”这个结论，并引出“对于任意一个直角三角形的两直角边和斜边之间是否都具有这样的关系呢？”这个课题。二、猜想任意一个直角三角形两直角边和斜边之间的关系举两个例子，作两个边长分别为2、2、和3、4、5的直角三角形，分别以三角形的三条边为边长作正方形分别记为ABC，画出以1为单位的网格图，求正方形的面积，学生填表。通过发现三个正方形的面积的关系，得到的结论，以此来猜想：对于任意一个直角三角形，其两直角边的平方加起来等于斜边的平方。师：为了保证严谨性，我们对此做进一步的证明。面积ABC左图右图三、证明猜想（1）证明一（赵爽弦图）老师通过拼凑四个全等的直角三角形，可得以C为边的大正方形。里面包含四个全等的直角三角形和小正方形，让同学们来表示大正方形的面积。老师总结“此时由大正方形的表示方法就找到了等量关系”，学生列式化简。老师再总结“得到，即，原直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”，得证。这里对学生介绍赵爽弦图以此培养热爱祖国悠久文化的思想并激励学生发奋学习。随后，引导学生“受这个方法的启发想一想是否有其他的拼凑方式使得这四个三角形拼成不同的正方形？”（2）证明二（邹元治证明法）学生活动1：动手做一做使得四个全等的三角形拼成不同的正方形，做完后以小组为单位相互交流。让小组把验证方法展示给全体学生。老师总结：以上两种方法都是通过构造正方形，并利用不同方法表示大正方形的面积来证明代数式之间的关系，从而得到结论。也就是构造法和等面积法的应用。随后，对学生提出更高的要求：如果是两个全等的直角三角形可以如何拼凑构造图形并加以证明呢？（3）证明三：（总统证法）学生活动2：动手操作用两个两个全等的直角三角形拼凑构造几何图形并加以证明，把过程写在练习本上投影小组的验证方法。老师总结“以上三种证明方法都是通过构造几何图形，并利用等面积法来证明代数式之间的关系”并得出结论。四、得出结论勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为ａ、ｂ，斜边长为ｃ，那么： 几何语言：五、勾股定理的简单应用六、课后总结1.勾股定理的证明：运用构造法和等面积法2.勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方3.勾股定理的应用：在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。 视频引入，吸引学生眼球初步形成从“特殊到一般”的探索思想师生行为：(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系。(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系。这里让学生表示出大正方形的面积，并化简计算。以体会数形结合的思想。对于小组活动1、2，教师要留给学生充分的思考和互助时间，然后让学生交流合作，得出结论。在学生展示环节，尽可能多的让学生多来叙述讲解。这里对勾股定理命名的来源稍作介绍。
七、作业必做题：课后习题A组1题、2题，选做题：B组1题组长做拓展题：探寻更多的证明勾股定理的方法。
八、板书 17.3.1 勾股定理1、基本思路：面积关系——三边关系勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 几何语言： 3、勾股定理证明（构造法——等面积法）
九、微反思通过这种短时间内的视频教学，能有效地观察自己教学时的状态，语言、表现及其他。在反复的录制的过程中，发现了自己很多问题，例如的语言较急促，语调不合适、某部分讲解不够详细、引入部分不够吸引眼球等问题，随着不断地观察改进，稍有进步。从中对于自己的教学有了较为清晰的认识，在教学方面仍需学习和努力。
A
B
C
B
A
C
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