2 0 2 1 - 2 0 2 2学年高二第二学期期末考试数学 2x 1, x 18．已知函数 f (x) f ( f (x)) 1| ln(x 1) , x 1，则方程 的根的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
第 I卷（选择题） 二、多选题，每题 5 分共 20 分，漏选每题得 2 分，错选 0 分。
一、单选题，每题 5 分，共 40 分。
9．已知m，n， l是三条直线， 是一个平面，下列命题不正确的是（ ）
1．集合 P x Z 0 x 4 ，M x x 2 16 ，则 P M （ ）
A．若m//l， n//l，则m//n B．若m l， n l，则m//n
A． 0,1, 2,3 B． 0,1, 2,3, 4 C． x 0 x 4 D． x 0 x 4 C．若m// ， n// ，则m//n D．若m ， n ，则m//n
2．设复数 z满足 1 i z i， i为虚数单位，则共扼复数 z （ ） 10．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，下列说法中正确的是（ ）
1 1 1 1 1
A．1 i B． i C． i D． i A．若 A B，则 sin A sin B2 2 2 2 2
1 1 B．若 sin 2A sin 2B，则 A B
3．已知 p : ， q : a b 02 2 ，则 p是q的（ ）a b C．若 a2 b2 c2，则 ABC为钝角三角形
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不
D．若bcosC ccosB asin A，则 ABC为直角三角形
必要条件
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
4．记 Sn为等差数列 an 的前 n项和.若 a1 2， a2 a6 2，则 S9 （ ） r r
A．已知 a,b均为非零向量，若 a//b，则存在唯一的实数 ，使得 a = λb
A．-54 B．-18 C．18 D．36
x 3, y 4 B．已知非零向量 a (1,2),b (1,1)，且 a与a λb的夹角为锐角，则实数 的取值范围是5．角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴．终边经过点 ，且 sin ，
5
5 ,
则 tan （ ） 3
4 4 3 3 C．若 a c b c且 c 0，则 a b
A． B． C． D．
3 3 4 4 D．若点G为 ABC的重心，则GA GB GC 0
6．如果 a,b,c,d R，则正确的是（ ） x
12．已知函数 f x lg x2 2x 2 x 1 2 6，g x x 则下列说法正确的是（ ）2 2
1 1
A．若 a>b，则 B．若 a>b，则 ac2 bc2
a b A． f x 是奇函数
C．若 a>b，c>d，则 a+c>b+d D．若 a>b，c>d，则 ac>bd
B． g x 的图象关于点 1，2 对称
7．已知一组数据 4.3，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第 25百分位数是（ ）
C．若函数 F x f x g x 在 x 1 m,1 m 上的最大值、最小值分别为M 、N，
A．5.0 B．4.2 C．6.1 D．4.3
则M N 4
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D．令 F x f x g x ，若 F a F 2a 1 4，则实数 a的取值范围是 1, （1）证明：OA CD；
（2）若 OCD是边长为 1的等边三角形，点 E在棱 AD上，DE 2EA，且二面角
第 II 卷（非选择题）
E BC D的大小为 45 ，求三棱锥 A BCD的体积.
三、填空题，每题 5 分，共 20 分。
12 20．已知数列 an 中， a
23
a 2 * b
13．若命题“ x R使 x a 1 x 1 0 1
， （ n 2， n N ），数列 满足 ”是假命题，则实数 a的取值范围为_____， 25 n a nn 1
1 *
sin(π x) 3 0 x π sin( π x) cos( 2π
b n N ．
14．已知 ，且 ，则 x)
n
的值为___________. a 1
3 4 6 6 3 n
15．若三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上，SA⊥平面 ABC，SA=3，BC 2 2， (1)求数列 bn 的通项公式；
BAC 45 则球 O的表面积____ (2)求 b1 b2 b3 b20 ；
16 2 2．已知正项数列 an 满足 2 n 1 an n 2 an an 1 nan 1 0， a1 4，则数列 (3)求数列 an 中的最大项和最小项，并说明理由．
a
n
n 21．在四边形 ABCD中， AB 2， A 60 ， ABC BCD 90 ，设 CBD ．
n 1 n 2
的前 项和为___________．
四、解答题，第 17 题 10 分，其余各题每题 12 分。
17．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 3a 2csin A．
(1)求角 C的大小；
(2)若 c 7，且 ab 6，求△ABC的周长．
18．已知等差数列 an 满足 a1 1，a7 2a3．
(1)求数列 an 的通项公式；
(1)当 15o时，求线段 AD的长度；
(2) 2n 1求数列 an 的前 n项和Tn． (2)求△BCD面积的最大值．
19．如图，在三棱锥 A BCD中，平面 ABD 平面 BCD，AB AD，O为 BD的中点. 22．中国国家统计局 2019年 9月 30日发布数据显示，2019年 9月中国制造业采购经
理指数 PMI 为 49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车 机器人
增材制造 医疗设备 高铁 电力装备 船舶 无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则
进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得
到生产的产品的质量差服从正态分布 N ( , 2 )，并把质量差在 ( , )内的产品称
为优等品，质量差在 ( , 2 ) 内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，
第 3页 共 6页 ◎ 第 4页 共 6页
其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取 1000件，测得产
品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数
x作为 的近似值，用样本标准差 s作为 的估计值，记质量差 X ~N ( , 2)，求该企
业生产的产品为正品的概率 P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把 2件优等品和 n (n 2，且 n N * )件一等品装在同一个箱
子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该
箱产品记为A，否则该箱产品记为 B .
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为 B的概率 p；
②设抽检 5箱产品恰有 3箱被记为 B的概率为 f ( p)，求当 n为何值时， f ( p)取得最大
值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量 服从正态分布 N ( , 2 )，则： P( ) 0.6827，
P( 2 2 ) 0.9545， P( 3 3 ) 0.9973 .
第 5页 共 6页 ◎ 第 6页 共 6页大名县中学2021-2022学年高二下学期期末考试
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
，，
因此，.
故选：A.
2．D
【解析】
【分析】
根据虚数单位的性质结合复数的除法运算，可求出，即可求得.
【详解】
，.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】
当时，，则，即，
取，满足，而有，即有pq，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
根据题意求出公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解.
【详解】
解：设公差为，
则，解得，
所以，
所以.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后根据解得，最后通过即可得出结果.
【详解】
因为，终边经过点，
所以终边位于第四象限，
联立，解得，
则，
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】
对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
把给定数据由小到大排列，再利用第p百分位数意义，计算判断作答.
【详解】
原数据由小到大排列为：4.2，4.3，5.0，5.3，5.5，6.1，而，
所以该组数据的第25百分位数是4.3.
故选：D
8．A
【解析】
【分析】
令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.
【详解】
令，先解方程.
（1）当时，则，得；
（2）当时，则，即，解得，.
如下图所示：
直线，，与函数的交点个数为、、，
所以，方程的根的个数为，故选A.
【点睛】
本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．
9．BC
【解析】
根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，根据直线平行的传递性，故A正确；
对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；
对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.
故选：BC
10．ACD
【解析】
根据正弦定理与余弦定理，可判断AC选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B选项；根据三角恒等变换和正弦定理，可判断D选项.
【详解】
A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得；故A正确；
B选项，在中，若，则或，所以或；故B错；
C选项，若，则，所以角为钝角，即为钝角三角形；故C正确；
D选项，若，则，所以，则，又为三角形内角，所以，则.
故选：ACD.
11．AD
【解析】
【分析】
由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.
【详解】
对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；
对于选项B：，若与的夹角为锐角，则
解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；
对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，
故选项C不正确；
对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.
故选：AD
【点睛】
易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.
12．BCD
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.
【详解】
由题意函数，
因为恒成立，即函数的定义域为，
又因为，所以不是奇函数，所以错误；
将的图象向下平移两个单位得到，
再向左平移一个单位得到，
此时，所以图象关于点对称，
所以的图象关于对称，所以B正确；
将函数的图象向左平移一个单位得，
因为，
即，所以函数为奇函数，
所以函数关于点对称，
所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，
则，所以C正确；
由，可得，
由，
设，，
可得，所以为减函数，
可得函数为减函数，
所以函数为单调递减函数，
又由为减函数，所以为减函数，
因为关于点对称，
所以，即，
即，解得，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；
②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
13．
【解析】
【分析】
原命题等价于命题“，”是真命题
【详解】
由题意得若命题“”是假命题，
则命题“，”是真命题，
则需,故本题正确答案为．
【点睛】
本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
利用换元法令，则结合诱导公式可得，
求的值注意符号的判断．
【详解】
令，则
∵，则
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
由正弦定理求出外接圆半径，再根据球的截面圆的性质求解.
【详解】
如图所示，
三棱锥的所有顶点都在球的表面上，
，
所以所在平面截所得的圆的半径为,
因为平面，，
所以由球的对称性知，球心到平面的距离，
所以球的半径为，
所以的表面积为.
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，利用裂项相消求和得解.
【详解】
由已知得
所以又因为
所以
所以
所以
；
累乘得
所以
所以=
所以
累加求和得
故答案为
【点睛】
本题关键将已知表达式因式分解得递推式，再运用累乘和裂项相消求和的方法求解，属于难题.
17．(1)(2)【解析】【分析】
（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.
(1)
由及正弦定理得
因为，故．
又∵ 为锐角三角形，所以．
(2)
由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周长为．
18．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的基本量法求得后可得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
(1)
设的公差为d，则：，
解得：，所以的通项公式为，；
(2)
由（1）知，得：，
所以①，
②，
由①－②得： ，
所以．
191．(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】
（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】
20．(1)
(2)
(3)，，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）求出和，可知数列是为首项，1为公差的等差数列，即可求出的通项公式.
（2）由可知，时，，时，，由此去绝对值可求出答案.
（3）由（1）中的通项公式代入可求出的通项公式，令，再判断得单调性，即可求出答案.
(1)
证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
(2)由，得，即时，；时，，
∴
.
(3)
由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
21．(1)
(2)【解析】【分析】（1）在中，直接利用正弦定理可求得的长度；
（2）利用正弦定理可求得，进而求得、，利用三角形的面积公式、弦化切以及基本不等式可求得面积的最大值．
(1)
解：当时，在中，，，，
由正弦定理，得．
(2)解：在中，，，
由正弦定理，
在中，，
，
此时
，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．
22．（1）；（2）①；②时，最大值为.
【解析】
（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数，再算出标准差，可得出和，得出，结合正品的条件，即可求出该企业生产的产品为正品的概率的结果；
（2）由题意，结合组合的定义可知，从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，通过古典概型的概率求法，利用反面求法即可求出箱产品抽检被记为B的概率为，最后利用排列数的运算即可得出结果；
（3）根据二项分布的概率求法求出，化简得出关于的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当时，取得最大值，从而可求出时，最大值为.
【详解】
解：（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：.
（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查估计频率分布直方图的平均数，以及排列数的运算，考查利用正态分布、二项分布求概率等知识，解题的关键在于导数的实际应用，利用导数研究函数的单调性和最值，从而求出的最大值，考查逻辑分析能力和运算能力.
