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数的认识
小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
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数的认识涉及知识点
1.数的认识、分类
2.数位顺序，计数单位
3.数的读写，比较
4.小数认识
5、数的改写、近似数
（知识点）
一、数的分类
1
整数
整数
负整数
0
自然数
（1,2,3,4，……）
（-1,-2,-3,-4，……）
正
小数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
（0.25,3.4,46.05,-0.3，……）
（0.33……,-0.3636……）
（π，0.101001000……）
分数
真分数
假分数
分子=分母
分子>分母
(化成带分数或整数)
(化成整数)
分子<分母
1
数
正数
负数
正小数
0
负小数
正整数
负整数
正分数
负分数
正整数和正数一样吗？
（1,2,3,4，……）
（-1,-2,-3,-4，……）
（0.25,3.4,46.05,0.33……）
（-0.3,-0.3636……）
（1/2,2/5,……）
（-1/2,-2/5,……）
（不一样）
（知识点）
1
（知识点）
数轴
－ 2
0
1
2
－ 3
－ 1
0.5
1.3
在直线下面的 里填整数或小数。
（0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。）
正数
负数
13
10
5
2
－ 2..5
正小数、正分数
负小数、负分数
正整数
负整数
1.自然数都是整数………………( )
2.整数就是自然数………………( )
3.负数比0小 ……………………( )
4.整数分为正整数和负整数……( )
在9、0、-19、32、4.6、-2.8、0.65、 、 中，
（ ）是自然数，（ ）是小数，
（ ）是整数，（ ）是正数，
（ ）是负数。
一、判断
√
×
√
×
（整数还包含负整数，如-1）
（整数还包含0）
2
3
9
5
二、填空
9、0、32
4.6、-2.8、0.65
9、0、-19、32
9、32、4.6、0.65、
2
3
-19、-2.8、
9
5
（负数还包含负分数、负小数）
例
2
（知识点）
二、数位顺序表
十
位
百
位
一
(个)
十
百
计数
单位
数
位
整数
个级
万级
亿级
千
位
万
位
十
万
位
百
万
位
千
万
位
亿
位
十
亿
位
百
亿
位
千
亿
位
个
位
千
万
十
万
百
万
千
万
亿
十
亿
百
亿
千
亿
小数部分
小
数
点
.
十
分
位
百
分
位
千
分
位
…
…
十
分
之
一
百
分
之
一
千
分
之
一
…
…
…
…
…
…
（四位一级）
（相邻计数单位之间的进率10）
（1）（ ）个一千是一万；
（2）一亿里面有（ ）个千万；
（3）320000是由（ ）个万组成；
（4）4500861200是由（ ）个亿、（ ）个万和( ) 个一组成的。
（ 5）184007002是一个（ ）位数，其中“1”在（ ）位上，表示（ ），“4”在（ ）位上，表示（ ），“7”在( )位上，表示( )。
（6）在数位顺序表中，从右边起第六位是（ ）位，百万位在第（ ）位，相邻的两个计数单位的进率是（ ）。
（7）小数点左边第一位是（ ）位，小数点右边第一位是（ ）位。
（8）3.406是（ ）位小数，6表示（ ）。
相邻计数单位之间的进率（10）
10
10
32
45
86
1200
九
亿
1个亿
百万
4个百万
千
7个千
十万
七
10
个
十分
三
6个千分之一
例
3
（知识点）
三、数的读写、比较
读法
（1）四位一级分级后，从高位读起，一级一级往下读。
（2）读亿级或万级的数先按照个级的读法读。再在后面加上一个“亿” 字或“万” 字。
（3）数中间有一个0或连续有几个0，都只读一个零。每级末尾的0都不读。
从高位起一级一级的往下写，哪个数位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0。
写法
位数不同，位数多的数就大；位数相同；左起第一位上的数大的那个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数，直到比较出大小为止。
大小比较
整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
整数
小数
322000 读作：
6000400 读作：
149600000000 读作：
350508409 读作：
326.006 读作：
24508.09 读作：
三十二万二千
六百万零四百
一千四百九十六亿
三亿五千零五十万八千四百零九
三百二十六点零零六
二万四千五百零八点零九
1.读出下面各数：
380000260700
5689006.006
三亿四千五百万零二十 写作：
三十万零七十点零零八 写作：
三千八百亿零二十六万零七百 写作：
345000020
五百六十八万九千零六点零零六 写作：
300070.008
2.写出下面各数：
提示
2——二
0——零
例
120056○99987
78650○78560
＞
＞
125.6○99.86
130.3○130.198
26.7○26.700
＞
＞
=
3.下面各数中的“2”各表示多少？
245 2492 0.27 4.332 243500
2个百 2个一 2个0.1 2个0.001 2个十万
4.比较大小
七百三十六点四二 写作：
一万四千八百点零七三 写作：
736.42
14800.73
例
4
（知识点）
四、小数认识
1.小数的意义
2.小数的性质
小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
3.小数点位置移动引起小数大小的变化的规律
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……
一个小数乘或除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右（或向左）移动一位、两位、三位……
1.分数改为小数
3
10
9
100
17
1000
129
10000
=
=
=
=
0.3
0.09
0.017
0.0129
2.先填一填，再比一比
0.3 = 0. = 0.
3
10
( )
100
( )
1000
=
=
30
300
30
300
3.口算
0.3×10＝ 0.25×100＝ 1.5×1000＝
3.56÷10＝ 12.5÷100＝ 36.8÷1000＝
3
1500
0.125
25
0.356
0.0368
4.填空：
3厘米=（ ）米 0.5平方米=（ ）平方分米
2.6升=（ ）毫升 1200平方米=（ ）公顷
0.03
50
2600
0.12
例
5
（知识点）
五、改写和近似数
（1）改写
把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，改写后的数是原数的准确数，不改变原数的大小。
例：1088630
=108.863
万
例：154800000
=1.548
亿
（2）求近似数（精确到某一位；保留到某一位；省略某一位后面的尾数）
③去尾法 例： 3396307766
①四舍五入法 例： 2686306627
②进一法 例：1082630
≈27亿
≈109万
≈33亿
（3）“改写”与“求近似数”的异同
相同点：都是改变原数的计数单位，根据要求用“亿”或“万”作单位。
不同点：“改写”只改变数的单位，不改变数的大小，用“=”表示。
“求近似数”是用“四舍五入法”“进一法”或“去尾法”，既改变了数的单位，又改变了数的大小，用“≈”表示。
1.把下列各数写成用“万”作单位的数。
103600
143307
16650000
128403600
73809600
90695200
19051901
2668301
=10.36万
=14.3307万
=1665万
=12840.36万
≈7381万
2．写出下面各数的近似数（精确到万位）
≈9070万
≈1905万
≈267万
基本练习
3．把下面各数省略亿后面的尾数。
32586740000
47632674801
3259620000
9982370601
≈326亿
≈476亿
≈33亿
≈100亿
4．把下面各数保留到亿位。
例
（1） 大于0的数是正数，小于0的数是负数 ………………………………（ ）
（2）一个七位数，它的最高位是百万位……………………………………（ ）
（3）负数都是整数……………………………………………………………（ ）
（4）所有的自然数都是整数，整数也都是自然数…………………………（ ）
（5）0.565656是循环小数……………………………………………………（ ）
（6）去掉小数点后面的零，小数的大小不变 ……………………………（ ）
（7）9和9．0的大小相等，但计数单位不同 ………………………………（ ）
（8）0．2时=20分 ……………………………………………………………（ ）
（9）一个小数的小数点先向左移动两位，再向右移动一位，这个小数缩小了10倍 ………………………………………………………………………………（ ）
1.判断
√
×
√
×
×
×
×
×
√
（1）
直线上A点表示的数是（ ），B点表示的数写成小数是（ ） ，C点表示的数写成分数是（ ）。
（2）在0、8、－15、10、3.15、－3.7、0.43中（ ）是自然数，（ ）是小数，（ ）是整数，（ ）是正数，（ ）是负数。
（3）今年“春节”期间，某市共接待游客355800人次，实现旅游收入一亿六千四百万元，355800是（ ）位数，改写成用“万”作单位的数是（ ）万，四舍五入到万位约是（ ），一亿六千四百万写作（ ），其中6在（ ）位上，表示6个（ ），保留到亿位约是（ ）。
（4）不改变0.9的值，将其改写成以千分之一为计数单位的数是（ ）。
2.填空
-2
0.5
1
2
5
0、8、10
3.15、-3.7、0.43
-15、-3.7
0、8、-15、10
8、10、3.15、0.43
六
35.58
164000000
36万
千万
千万
2亿
0.900
（5）一个三位小数用四舍五入法取近似数是5.20，这个数原来最大是
（ ），最小是（ ）。
（6）某镇的人口总数四舍五入到万位是12万人。这个镇至少有（ ）人。
（7）在 、3.3、33.3%、0.3中，最大的数是( )，最小的数是( )。
（8）如果向东走20米，记作+20米，那么向西走35米，应该记作（ ）。
（9）10个0.001是（ ），10个0.01是（ ），10个0.1是（ ），10个1是（ ），10个10是（ ）。
（10）由4个10、7个0.01和4个0.001组成的数是（ ）。
（11）一个数的十万位、十位和十分位上都是3，其余各位上都是0，这个数是（ ）。
（12）一个数的小数点向左移动一位后，得到的数比原数小3.06，原数是（ ）。
1
3
5.204
5.195
115000
3.3
0.3
-35米
0.01
0.1
1
10
100
40.074
300030.3
3.4
仅限个人使用，请勿商用！违者责任自负！
声明(共19张PPT)
因数和倍数
小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
全篇预览图
因数和倍数涉及知识点
1.因数和倍数的意义。
2.质数、合数、质因数等的意义。
3.公因数、公倍数的意义。
4.2、5、3倍数的特征。
非0自然数
因数
倍数
公因数
最大公因数
质因数
质数
合数
1
公倍数
最小公倍数
2、5、3的倍数特征
奇数
偶数
（按因数个数)
（是否是2的倍数）
（知识点）
1
纲目图
意义
性质
（知识点）
（本单元讨论范围在非0自然数内）
2
2.一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。
1.一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。
整数a除以整数b(b≠0) 的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，a是b的倍数。
因数（约数）、倍数
例：
12÷4=3,4是12的因数，3也是12的因数，4和3都是12的因数；
12是4的倍数，12也是3 的倍数。
例：
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
12的最小的因数是1，最大的因数是12，12有6个因数。
例：
6的因数有：6、12、18、24、30……。6的最小的倍数是6，没有最大的倍数。6的倍数有无限个。
3
（知识点）
质数：
例：5的因数只有1和5，5是质数。
1的因数只有1，1既不是素数，也不是合数。
一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数
只有1和它本身两个因数的数叫做质数（或素数）。
例：9的因数有1和9，还有3,9是合数。
合数：
1：
非0自然数
质数
合数
1
（按因数个数分)
（2个因数）
（3个或以上因数）
（只有1个因数）
质数
合数
1
非0自然数
质数和合数
4
（知识点）
质因数
2, 3，5, 7，11, 13, 17, 19。（共8个。）
20以内（含20）的质数有：
20以内（含20）的合数有：
4, 6, 8, 9 , 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20。（共11个。）
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内质数表
分解质因数：
把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。
质因数：
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。
例：15=3×5。3和5都是15的质因数。
1.几个数的公因数数量是有限的，而公倍数是无限的。
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。公倍数中最小的数就叫作最小公倍数。
几个数公有的因数，就是这几个数的公因数。公有因数中最大的数字就是最大公因数。
2.如果两个数是倍数关系，那较小数就是这两个数最大公因数，较大数就是这两个数最小公倍数。
3.如果两个数是互质数，那这两个数最大公因数是1，最小公倍数就是它们的乘积。
（例：12和8公因数有1、2、4。其中4是它们的最大公因数。）
（例：4和6的公倍数有12、24、36、48……。其中12是它们的最小公倍数。）
（例：6和12，它们的最大公因数就是6。最小公倍数就是12。）
公因数：
公倍数：
（例：相邻自然数8和9，它们的最大公因数是1，最小公倍数是72。）
特征：
5
（知识点）
公因数和公倍数
6
（知识点）
2、5、3倍数特征
2的倍数特征：个位上的数是2、4、6、8或0。
3的倍数特征：各位上数的和一定是3的倍数。
5的倍数特征：个位上的数是5或0。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数和偶数：
奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
奇数+偶数=奇数 奇数-奇数=偶数
运算性质：
偶数-偶数=偶数 奇数-偶数=奇数
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数
偶数×偶数=偶数
奇数
偶数
自然数
1.写出下面每组数的最小公倍数。
6和9 11和5 16和12 18和1 15和25 14和28
2.写出下面每组数的最大公因数。
4和6 14和42 17和11 40和32 15和25 45和60
［6,9］＝18
（4,6）＝2
［11,5］＝55
［16,12］＝48
［15,25］＝75
［18,1］＝18
［14,28］＝28
（14,42）＝14
（17,11）＝1
（40,32）＝8
（15,25）＝5
（45,60）＝15
巩固
应用
一、写一写
1.任何一个自然数至少有2个因数 …………………………………………（ ）
2.个位上是0的自然数一定是2和5的公倍数 ………………………………（ ）
3.所有的奇数都是素数，所有的偶数都是合数 …………………………（ ）
4.两个不同自然数的积一定是合数 ………………………………………（ ）
5.任何自然数的最大因数和最小倍数都是它本身…………………………（ ）
二、判断
×
√
×
×
√
6.因为8÷4=2，所以4是因数，8是倍数……………………………………（ ）
7.763的个位上是3，所以743是3的倍数……………………………………（ ）
8.相邻两个自然数的最大因数是1……………………………………………( )
9.一个数不是素数就是合数………………………………………………… ( )
10. 奇数加奇数等于奇数，偶数加偶数等于偶数 …………………………( )
×
×
×
√
×
巩固
应用
1.下面的数，因数个数最多的是（ ）。
①18 ②36 ③71
2.两个奇数的和是( )，两个素数的和是（ ）。
①偶数 ②奇数 ③奇数或偶数
3.如果甲÷乙= 3 (甲、乙是非0自然数)，那么甲、乙的最大公因数是（ ）。
①3 ②甲数 ③乙数
4.一筐苹果，2个、3个或5个一拿都正好拿完，这筐苹果最少应有（ ）。
①90个 ②30个 ③60个
5.六(1)班进行排队，每行12人或16人都正好整行，这个班可能有（ ）人。
① 4 ②48 ③96
三、选择
②
①
②
③
③
②
巩固
应用
1.一个数既是2的倍数，又是8的倍数，这个数最小是( )。
2.20以内2和3的公倍数有( )，最小公倍数是( )。
3.5和7的公倍数中，最大的两位奇数是( )，最大的两位偶数( )。
4.一个数被4和5除都余1，这个数最小是( )。
5.一个数在20和30之间，它既是3倍数，又是4的倍数，这个数最小是( )。
6.自然数a是自然数b的3倍（a、b都不为0），则a和b的最小公倍数是( )。
7.两个不同数的最小公倍数是8，这两个数可能是( )和( )或( )和( )或( )和( ) 。
8.两个连续自然数的和是13，这两个自然数的最小公倍数是( )。
9.12的因数有( )，18的因数有( )，
12和18的公因数有( )，12和18的最大公因数是( )。
8
6、12、18
6
35
70
21
12
b
8
4
8
2
8
1
42
1、2、3、4、6、12
1、2、3、6、9、18
1、2、3、6
6
巩固
应用
四、填空
10.连续两个自然数a和b，它们的最小公倍数是( )。
11.自然数a除以自然数11，商是b，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
12.所有自然的公因数是( )。
13.在括号里填上一个数，使它与括号前面的数的最大公因数是1。
2和( ) 12和( ) 7和( )
14.26和21除以同一个数都余1，这个数最大是( )。
15.一个数减去5后，是10的倍数，也是8的倍数，这个数最小是( )。
16.如果27和39分别除以x，结果都余3，则x最大等于( )。
17.49是一个数的倍数，35也是这个数的倍数，这个数最大是( )。
18.五个连续奇数的和是65，求这五个数最小的是( )。
ab
b
a
1
1
1
1
5
45
4
7
11
巩固
应用
（1）用 1、2、3、5 三张数字卡片能摆出多少个不同的两 位数？请写出来。
共12种。
（ 2） 在 2、 3、 5 和由它们组成的两位数中：
① 质数和合数各有哪些？奇数和偶数呢？
奇数有：3、5,13,15,21,23,25,31,35,51, 53；
偶数有： 2，12, 32, 52。
② 哪些数有公因数 2？ 哪些数有公因数 3 或 5？
有公因数2：2， 12， 32， 52
有公因数3：3, 12, 15，21, 51
有公因数5：5，15, 25, 35
五、摆一摆
③ 2 和 3 的公倍数是几？3 和 5 的公倍数呢？
2和3的公倍数是12；
3和5的公倍数是15。
12、13、15、
21、23、25、
31、32、35、
51、52、53，
质数有： 2， 3， 5， 13， 23， 31，53；
合数有：12, 15, 21，25, 32, 35，51, 52；
巩固
应用
1.两根小棒分别长45厘米、30厘米，把它们都截成同样长的小棒，且没有剩余，每根小棒最长多少厘米？一共可以截成多少根？
(45，30)=15
45÷15=3（根）
30÷15=2（根）
3+2=5（根）
答：每根小棒最长15厘米，一共可以截成5根。
2.用长8厘米、宽6厘米的长方形去拼一个正方形，至少需要多少个这样的长方形？拼成的正方形面积是多少？
［8，6］=24
24÷8=3（列）
24÷6=4（行）
3×4=12（个）
答：至少需要12个这样的长方形。面积是576平方厘米。
24×24=576（平方厘米）
24
24
巩固
应用
六、解决问题
3.小明、小乐和小军去游泳馆学游泳，小明每隔一天去一次，小乐每隔二天去一次，小军每隔三天去一次， 8月1日三人同时去了游泳馆，几月几日他们又再次相遇？
4.六(1)班学生进行队列表演，如果每行12人就多1人，如果每行10人就少1人，已知该班的人数在40人和60人之间，你知道这个班可能有多少人吗？
答：这个班可能有49人。
12的倍数有;12、24、36、48、60……
10的倍数有;10、20、30、40、50……
48+1=50-1=49(人)
隔一天，就是日期加2；隔二天，就是日期加3；
隔三天，就是日期加4；
[2,3,4]=12
1+12=13
答：8月13日他们又再次相遇。
巩固
应用
六、解决问题
5.公路的一侧有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离都是30米，现在要把相邻两根电线杆之间的距离都改为45米，如果第一根电线杆不移动，那么下一根不必移动的电线杆是第几根？（提示：画图来考虑）
[30,45]=90
6.把48块奶糖和36块水果糖分别包装成小袋装的什锦糖。如果每袋中的奶糖与水果糖的块数相同，每个袋中最多有几块糖，一共分成了几小袋？
（48,36）=12
48÷12=4（块）
36÷12=3（块）
4+3=7（块）
答：每个袋中最多有7块糖，一共分成了12小袋。
90÷30=3（根）
30
30
30
30
45
45
45
答：下一根不必移动的电线杆是第3根。
巩固
应用
六、解决问题
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※
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分数和百分数
全篇预览图
分数和百分数涉及知识点
1.分数、百分数的意义和区别
2.分数与除法的关系、分数的分类
5.百分数的应用
4.分数、小数、百分数的互化
3.分数、小数、除法的基本性质
（知识点）
1
分数：把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫作分数。
分数和百分数
百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。
联系 区别
分 数
百分数
百分数是一种特殊的分数，它只表示一个数是另一个数的百分之几的数。
既可以表示一个量是另一个量的几分之几，又可以表示具体的数量。
百分数是表示两个数量之间的倍比关系，不能表示具体的数量，所以百分数后面不能带上单位名称。
其他区别
百 分 数 分 数
意义
分子
分母
读法
写法
可以表示一个具体数量；可以说一个数是另一个数的几分之几
一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数或百分率。
百分数是一种特殊的分数，它只表示两个数量之的倍数关系，百分数后面通常不带单位名称。分数可以表示一个具体的数量，在表示具体数量时后面可以带单位名称。
小数、整数均可以
100
百分之几
a%
一般是整数
任意的非0自然数
几分之几
（知识点）
1
分数和除法
2
（知识点）
比
前项
后项
比号
比值
除法
分数
被除数
除号
除数
商
分子
分数线
分母
分数值
两数关系
一个数
一种运算
两个数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b= （b≠0）
分数
真分数
假分数
分子=分母
分子>分母
(化成带分数或整数)
(化成整数)
分子<分母
两个数相除又可以叫做两个数的比。
比的前项除以后项所得的商叫作比值。
3
（知识点）
基本性质
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
比的基本性质
被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
商不变规律
小数的末尾添上0或去掉0 ，小数的大小不变。
小数的性质
12÷（ ）＝ ＝16：（ ）＝（ ）%=（ ）（小数）
4
5
15
20
0.8
80
小数点向右移动两位,添上%。
先用分数表示,再约分
分子除以分母
先化成小数,再化成百分数
先写成分数,再约分
去掉%,小数点向左移动两位。
小数、分数、百分数互相改写
（0.3=30%）
（45%=0.45）
百分数
小数
分数
70
100
=
70%=
7
10
（ ）
0.6=
=
6
10
2
5
（ ）
=1÷5=0.2
1
5
（ ）
1
2
=0.5=50%
（ ）
4
（知识点）
百分数的应用
5
（知识点）
收入× 税率＝应纳税额
折扣：
利息=本金×利率×时间
原价×折数 = 现价，现价÷原价=折数
纳税：
利息：
出勤率表示实际出勤人数占应出勤人数的百分之几
百分率：
求一个数A比另一个数B多( 少）百分之几
应用题：
少：(B-A)÷B
多：(A-B)÷B
1-A÷B
A÷B-1
（1）达标率 （2）及格率
（3）合格率 （4）成活率
（5）发芽率 （6）命中率
（命中次数÷总次数）
(达标人数÷总人数)
（及格人数÷总人数）
（合格个数÷总个数）
（成活棵数÷总棵数）
（发芽的粒数÷总粒数）
米表示:
把1米平均分成3份,其中的2份是 米。
还表示把2米平均分成3份,每份是2米的 ,每份是 米。
吨既可以表示1吨的 ，也可以表示3吨的 。
( )
( )
画图表示
1吨
3吨
①
②
2
3
3
4
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
3
1
3
2
4
3
4
1
巩固
应用
一节活动课的时间是 小时。
这儿的分数是把（ ）看作单位“1”， 平均分成了（ ）份， 一节课的时间是这样的（ ）份， 是（ ）分钟。
2
3
分数单位是 的最大真分数是（ ），最小的假分数是（ ），最小的带分数是（ ）。
1
7
一根长a米的绳子，用去 米，还剩下（ ）米；如果用去它的 ，还剩下（ ）米。
把 5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的（ ），2段长（ ）米。
③
④
⑤
⑥
3
5
3
5
⑦
甲数是乙数的 ，乙数是甲数的（ ）%。
4
5
一小时
3
2
40
6
7
7
7
1
7
1
3
5
a-
2
5
a
1
6
5
3
125
巩固
应用
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常见的量
小学数学六年级毕业复习
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常见的量涉及知识点
长度
面积
体积（容积）
质量
时间
人民币（元、角、分）
温度
1元=10角
1角=10分
摄氏度 °C
华氏度 °F
（知识点）
1
长度单位
面积单位
体积单位
容积单位
质量单位
时间单位
立方米 立方分米(升) 立方厘米（毫升）
1000 1000
吨 千克 克
1000 1000
世纪 年 月 日 时 分 秒
100 12 24 60 60
常见计量单位换算总表
千米 百米 十米 米 分米 厘米 毫米
10 10 10 10 10 10
千米 百米 十米 米 分米 厘米 毫米
100 100 100 100 100 100
（公顷）
（公亩）
（相邻进率）
10
100
1000
1000
1.一支铅笔长15（ ），一张课桌宽5（ ）。
2.一间教室的占地面积是35（ ），一个火柴盒的体积是24（ ），一种保温瓶的容量是1.2（ ）。
3..一只小鸟重 40（ ），一头奶牛重 250（ ），一头大象重4（ ）。
4. 一袋面粉重20（ ），50袋这样的面粉重1（ ）。
5.乐乐从家到学校用了18（ ），一列火车从广州开到上海用了16（ ）。
在括号里填合适的单位
厘米
克
千克
吨
千克
吨
分钟
小时
例
分米
平方米
平方厘米
升
长度面积体积单位间的关系
2
1厘米
1平方厘米
1立方厘米
线
面
体
点
无大小
面与面相交成一线
点动成线
面动成体
线动成面
线与线相交成一点。
（知识点）
单位换算
3
低级
单位
高级
单位
高级单位的数×进率
低级单位的数÷进率
8厘米
单名数：
复名数：
1吨50千克
1350毫升=（ ）立方分米=（ ）升 （ ）毫升
9.87立方分米=（ ）立方厘米
3.05立方米=（ ）立方米（ ）立方分米
（9.87×1000）
（0.05×1000）
（1350÷1000）
9870
3
50
1.35
1
350
（知识点）
例
3千克50克＝（ ）克 ＝（ ）千克
3050米＝（ ）千米（ ）米＝（ ）千米
2.4时＝（ ）时（ ）分 ＝（ ）分
2时40分＝（ ）时 2元4分＝（ ）元
1.6平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米
85000毫升＝（ ）升＝（ ）立方米
（ ）平方米＝750平方分米＝（ ）平方厘米
2
160
85
0.085
7.5
75000
5 角 8 分 =（ ）元 1.05 千克 =（ ）克
20 秒 =（ ）分 0.45 时 =（ ）分
0.58
3050
3.05
2.04
1050
27
单位换算
3
50
3.05
2
24
144
1600000
4
（知识点）
时间单位间的进率
世纪 年 月 日 时 分 秒
100
12
大月31天
小月30天
二月特殊
24
60
60
平年：365天
闰年：366天
常见的时间单位：世纪、年、季度、月、旬、星期、日、时、分、秒、等。
3600
7个大月；：1、3、5、7、8、10、12
4个小月：4、6、9、11
2月：平年28天，闰年29天。
5
（知识点）
平年和闰年
1.年：平年365天；闰年366天。
两者差在2月，平年的二月有28天，闰年的2月有29天。
例如：1949÷4=487……1，平年；
2008÷4=502，闰年
1600 ÷400=4 ，闰年；
1700 ÷400=4......100 ，平年。
2.判断平年和闰年的方法
平常年份÷4
整百年份÷400
关于公历闰年是这样规定的：地球绕太阳公转一周叫做一回归年，一回归年长365日5时48分46秒。因此，公历规定有平年和闰年，平年一年有365日，比回归年短0.2422日，四年共短0.9688日，故每四年增加一日，这一年有366日，就是闰年。但四年增加一日比四个回归年又多0.0312日,400年后将多3.12日,故在400年中少设3个闰年,也就是在400年中只设97个闰年，这样公历年的平均长度与回归年就相近似了。由此规定：年份是整百数的必须400的倍数才是闰年，例如1900年、2100年就不是闰年。
闰年的来历
6
（知识点）
季度、旬、星期
一年可以分为四个季度，
第一季度：1、2、3月，平年90天，闰年91天
第二季度：4、5、6月共91天，
第三季度：7、8、9月共92天，
第四季度：10、11、12共92天。
每月可以分为：
上旬：（1—10日）；
中旬：（11—20日）；
下旬（21—月底）。
1年=52个星期余
平年余1天，
闰年余2天。
7
（知识点）
普通记时法
1︰00
2︰00
3︰00
4︰00
5︰00
6︰00
7︰00
8︰00
9︰00
10︰00
11︰00
12︰00
13︰00
14︰00
15︰00
16︰00
17︰00
18︰00
19︰00
20︰00
21︰00
22︰00
23︰00
24︰00（0︰00）
凌晨 1︰00
凌晨 2︰00
凌晨 3︰00
凌晨 4︰00
早上 5︰00
早上 6︰00
早上 7︰00
上午 8︰00
上午 9︰00
上午 10︰00
上午 11︰00
中午 12︰00
下午 1︰00
下午 2︰00
下午 3︰00
下午 4︰00
下午 5︰00
下午 6︰00
晚上 7︰00
晚上 8︰00
晚上 9︰00
晚上 10︰00
夜里 11︰00
夜里 12︰00
加时间词
减12
加时间词
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
24时记时法
记时法
用24时记时法表示下面的时刻。
下午6时 （ ）
晚上12时 （ ）
上午8时 （ ）
晚上9：30（ ）
18：00
24：00或0：00
8：00
21：30
用普通记时法表示下面的时刻。
6时 （ ）
12时 （ ）
20时45分（ ）
早上6：00
中午12：00
晚上8：45
典型例题巩固应用
（1）一年有（ ）个季度，每个季度有（ ）个月，其中第（ ）季度和第（ ）季度都有 92 天。
（2）2003年的第一季度有( ) 天，2008年的二月有( ) 天。
（3）一月的下旬有（ ）天，闰年2月的下旬有（ ）天，四月的下旬有（ ）天。
（4）14 时是（ ）午（ ）时；晚上8时是（ ）时；夜里12时是（ ）时，也是第二天（ ）时。
（5）一个月分成（ ）旬、（ ）旬、（ ）旬。二月的上旬是（ ） 天，平年二月的下旬是（ ）天。
（6）采用24时计时法，下午1时就是（ ）时。
一根圆柱形木料，如果按图1所示切成完全相同的4块，表面积会增加600平方厘米；如果按图2所示切成完全相同的3块，表面积会增加314平方厘米。求这根木料的体积。
巩固
应用
上
四
3
三
四
下
2
20
24
0
一、填空
巩固
应用
中
下
10
8
90
13
29
11
9
10
巩固
应用
（5）王老师每天上午7时30分到校，下午5时30分离校，午间休息1时。王老师每天在校工作（ ）小时。
（6）一个正方体的体积是1dm3，它的棱长是（ ），它的每个面的面积是（ ）。
（7）用体积是1cm3的小正方体木块，堆成一个体积是1m3的大正方体，需要（ ）个小正方体木块。如果把这些小正方体一个挨一个的排成一行，长（ ）千米。
（8）李老师每天从16：40－17：20锻炼身体，他一周锻炼身体的时间是（ ）。李老师计划每周至少锻炼4小时，他能完成计划吗？( )
1dm
1dm2
1000000
10
280分
能 280分=4时40分
9
（1）半径为2cm的圆周长和面积相等（ ）
（2）一千克铁的质量比一千克棉花重（ ）
（3）钟表上分针转动的速度是时针的60倍（ ）
（4）小强的生日是2005年2月29日（ ）
（5）一年中有六个大月六个小月（ ）
（6）边长100m的正方形，它的面积是100公顷。（ ）
（7）1900年有366天。 （ ）
（8）晚上10时采用24时计时法是22时。（ ）
（9）1立方厘米比1平方厘米大。（ ）
（10）2008年第一季度有91天。（ ）
×
×
×
×
√
二、判断
巩固
应用
×
√
×
×
√
1.分针在钟面上走一圈经过的时间是（ ）。
A.1天 B.1小时 C.1秒 D.1分
2.在下面四个年份中，（ ）是闰年。
A.2004年 B.2100年 C.868年 D.1994年
3.今天下午4时到明天早上7时，经过（ ）时。
A.12 B.8 C.15 D.14
4.一昼夜，分针在钟面上走（ ）。
A.1圈 B.12圈 C.24圈 D.23圈
5.下面的年份中（ ）有365天
A.1999 B.2000 C.1996 D.2004
三、选择
巩固
应用
B
A
C
C
A
常见的题型：
1.填上合适单位，你能想到几种填法？试一试。
8（ ） ＞8（ ） ＞8（ ）
5（ ）＝500（ ）＝0.05（ ）
2.小明是六年级的学生了，明年他才过第三个生日。你知道他今年是几岁？他是几月几日出生的呢？
四、开放题说理题
（开放题）
巩固
应用
吨
千克
克
平方厘米
平方分米
平方米
（答案不唯一）
闰年2月29日生，3×4=12（岁）
2月29日 晴
学生日记
五、实际问题
今天是2007年2月29日，早上从睡梦中醒来已经七点钟了，我立刻从床上爬起来，马上穿衣、洗脸、刷牙，不知不觉中已经过了20小时。该吃饭了，我端起一杯牛奶一饮而尽，又吃了200千克面包，一个煎鸡蛋。吃过早餐，我从抽屉里拿了9角钱冲出了家门，因为今天是爸爸生日，要买生日礼物呢！
（找错误）
巩固
应用
一根圆柱形木料，如果按图1所示切成完全相同的4块，表面积会增加600平方厘米；如果按图2所示切成完全相同的3块，表面积会增加314平方厘米。求这根木料的体积。
易错题
(时间推算)
今年和明年都是平年，都是365天。
1.今天是六一儿童节，再过多少天后就到了国庆节了。
6月1日
6月：30天
7月：31天
8月：31天
9月：30天
类型
（三）
2.今天是六一儿童节是星期三，明年的儿童节是星期几呢？
一共：30+31+31+30+1=123（天）
7月1日
8月1日
9月1日
10月1日
再过30天
再过31天
再过31天
再过30天
365÷7=52（周）……1（天）
星期三+1=星期四
五、实际问题
（找错误）
巩固
应用
一列火车上午10：00以每小时60千米的速度从徐州出发，下午2：30到达南京。徐州到南京的路程有多远？
14时30分－10时＝4小时30分
4小时30分 ＝4.5小时
60×4.5 ＝270（千米）
答：徐州到南京的路程是270千米。
五、实际问题
（解决问题）
巩固
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数的运算
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在数的运算中，加法和减法叫做第一级运算。乘法和除法叫做第二级运算。
一个算式里，如果只有同一级运算，要按从左往右的顺序 计算。
一个算式里，如果有两级运算，要先算乘除法，后算加减法。
一个算式里，如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
（知识点）
1
四则混合运算顺序
③
①
②
+、-
×、÷
第一级运算
第二级运算
四则运算的意义
加法 减法 乘法 除法
整数 把两个数合并成一个数的运算。 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 求几个相同加数的和的简便运算。 已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
小数
分数
（知识点）
2
一个数乘以分数（小数），表示求这个数的几分之几是多少。
一个数除以分数（小数），表示这个数里面有几个这样的分数（小数）。
意义扩展：
四则运算的方法
（知识点）
3
加法 减法 乘法 除法
整数 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来。 1.从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；2.除到被除数的哪一位，就在哪一位上面写上商；3.每次除后余下的数必须比除数小。
小数 1.计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），
2.再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。
（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。） 1.按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。 2.得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉，进行化简。 1.除数是整数的，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
2.除数是小数的，先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足。
3.然后按照除数是整数的小数除法来除。
分数 1.分母相同时，只把分子相加、减，分母不变；
2.分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。 把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母相乘起来作为分母，能约分的先约分。 甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的倒数。
计算法则 相同点 不同点
整数加减法 相同数位对齐（相同的计数单位的数才能相加） 个位对齐
小数加减法 小数点对齐
分数加减法 分数的分母相同
整数、小数、分数加减法计算法则的异同点:
（知识点）
4
四则运算之间的关系：
加法可用减法验算，
减法可用加法或减法验算。
乘法可用除法验算，
除法可用乘法或除法验算。
加法
减法
乘法
除法
逆运算
简便运算
逆运算
和＝加数＋加数
加数＝和－另一个加数
因数x因数=积
积÷因数=另一个因数
商=被除数÷除数
除数=被除数÷商
被除数=商×除数
差＝被减数－减数
减数＝被减数－差
被减数＝减数＋差
加法各部分之间的关系：
减法各部分之间的关系：
乘法各部分之间的关系：
除法各部分之间的关系：
四则运算各部分间的关系
（知识点）
5
在有余数的除法里：
被除数=商×除数＋余数
除数=（被除数-余数）÷商
平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a，简写成a 。
整数、小数、分数四则混合运算
1
2
=0.5
1
4
=0.25
3
4
=0.75
1
5
=0.2
2
5
=0.4
3
5
=0.6
4
5
=0.8
1
8
=0.125
3
8
=0.375
5
8
=0.625
7
8
=0.875
1
16
=0.0625
1
20
=0.05
1
25
=0.04
1
50
=0.02
1
3
≈0.333
2
3
≈0.667
1
6
≈0.167
1
7
≈0.143
1
9
≈0.111
（1）直接约分 （2）统一化分数 （3）统一化小数
常用分数小数互化数据：
方法：
有限小数
无限小数
（知识点）
6
例：98×103≈
估算
①推算最大值（估大） ②推算最小值（估小） ③推算大约多少（估中间）
（知识点）
7
三种情况：
估小
98×103≈100×103=10300
98×103≈98×110=10780
98×103≈100×110=11000
98×103≈98×100=9800
98×103≈90×103=9270
98×103≈90×100=9000
估大
估中间
98×103≈100×100=10000
在数学上，估算要根据具体条件和问题对事物的数量或算式选用合适的算法对结果作出的大概推断或估计，是计算能力的重要组成部分。
计算器计算
（知识点）
8
（在计算一些复杂的或大数时可以使用计算器。）
M+键:记忆加。将当前显示的数字放入到储存器，中断当前数字的输入状态。
M-键：记忆减。将储存器中内容减去当前显示的内容，也是可以中断当前数字的输入。
MR键：当存储器中存的有数据时，按下MR键，就可以把存储器中的数据显示在屏幕上
C键：回到初始状态的0。CE键是在输入数字后，按住CE键即可恢复到0，但是对前面的运算和输入是没有关联和影响的。
MC键：清除存储器中存的数据，把其中的数归零。
（1） 18 + 123 = 20－1.8 = 2.7 ÷ 3 =
76－18 = 1.5 × 0.2= 0.25 ÷ 0.5 =
3.53 + 0.7 = 0.4 × 0.3 = 9 ÷ 100 =
5+ 7.8= 34×1.5= 840÷24=
8.52-4.8= 4×2.5= 24÷0.06=
0.3 = 602-298≈ 98×51≈
1. 直接写出得数
141
18.2
0.9
58
0.3
0.5
4.23
0.12
0.09
巩固
应用
（2）
3
12.8
51
3.5
3.72
10
400
0.09
300
5000
7.5 × 2.6 = 5.1 ÷ 0.75 =
计算并验算
137 + 385 = 62.3 － 2.48 =
522
59.82
验算：
验算：
巩固
应用
19.5
6.8
验算：
验算：
1 3 7
+ 3 8 5
5 2 2
5 2 2
- 1 3 7
3 8 5
6 2. 3
- 2. 4 8
5 9. 8 2
5 9. 8 2
+ 2 .4 8
6 2. 3 0
7. 5
× 2. 6
4 5 0
1 5 0
1 9. 5 0
2 . 6
7 . 5) 1 9 . 5
1 5 0
4 5 0
4 5 0
0
6 .8
0. 75) 5 . 1 0
4 5 0
6 0 0
6 0 0
0
6. 8
× 0 . 7 5
3 4 0
4 7 6
5. 1 0 0
(1)7.2÷2.5，商是（ ），余数是（ ）。
(2)66÷9的商是7，余数是3，如果被除数和除数同时乘10，那么商是（ ），余数是（ ）。
(3)在一道除法算式里，除数和商都是9，余数最大是( )，这时被除数是（ ）
(4)某商场，一张电脑桌497元，一把电脑椅199元，张阿姨带了600元想把这两件物品带回家一估，够吗？（ ）
(5)小明在计算4.73加上一个一位小数时，误把末位对齐，算得的结果是5.1，这个一位小数是（ ），这道题的正确答案是（ ）。
(6) 甲数是6.42，乙数比甲数少1.2，甲乙两数的和是（ ）。
巩固
应用
2
2.2
7
30
8
89
够
3.7
8.43
11.64
（7）把一个小数的小数点向右移动两位，得到一个新数，与原数相差33.66，原数是（ ）。
（8）请根据27×32=864，写出下面各题的得数。
27×0.032=（ ） 0.27×3.2=（ ）
86.4÷3.2=（ ） 864÷0.27=（ ）
（9）已知a÷12=4……7，那么a=（ ）。
（10）有一个整数除法算式： ※ ÷ △ =7……8，当△最小为（ ）时，※=（ ）
（11）已知两个数的积是1.32，如果把其中一个因数扩大100倍，要使积为13.2，另一个因数的小数点应向（ ）移动（ ）位。
0.34
0.864
0.864
27
3200
55
9
71
左
一
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声明(共12张PPT)
简便运算
小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
全篇预览图
名称 用字母表示 举例
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
减法的性质
除法的性质
a+b=b+a
（a+b）+c= a+(b+c)
a×b=b×a
（a×b）×c=a×(b×c)
(a+b)×c=a×c+b×c
a-b-c= a-(b+c)
a÷b÷c=a÷(b×c)
5＋27＝27＋5
15＋27+3＝15＋(27+3）
15＋27+3＝15＋(27+3）
3×134＝134×3
（15＋17)×2＝15×2＋17×2
95-28-2＝95-(28+2）
90÷3÷5＝90÷(3×5）
运算律和性质
（知识点）
1
运算律和性质的扩展
（a－b）×c = a×c－b×c
a-b-c = a-c-b
a+b-c = a+(b-c)
a-b+c = a-(b-c)
a÷b÷c = a÷c÷b
（加法交换律扩展）
（加法结合律扩展）
（减法性质扩展）
（乘法分配律扩展）
（除法性质扩展）
商不变规律
积的变化规律
a×b=（a×c）×（b÷c）（c≠0）
a÷b=（a×c）÷(b×c) （c≠0）
乘、除法的转化:
a÷0.25=a×4
a×0.25=a÷4
a÷0.125=a×8
a×0.125=a÷8
a÷0.2=a×5
a×0.2=a÷5
a÷0.5=a×2
a×0.5=a÷2
（知识点）
2
乘法分配律扩展例谈
13
8
7
1
7
13
6
÷
×
－
5
2
11
6
11
5
0.4
×
×
+
12
7
12
7
7
6
×
－
50
9
87
×
×
+
50
9
50
9
12
+
①
13
8
7
1
13
6
×
－
×
7
1
=
除法改成乘倒数
②
③
④
=
=
=
5
2
11
6
11
5
×
×
+
5
2
12
7
12
7
7
6
×
－
×
1
50
9
87
×
×
+
50
9
50
9
12
+
×
1
小数统一成分数
写成“1×几”
3组数同时用运算律
=
50
9
87
（ ）
+
12
+
1
×
（知识点）
3
5
1
×
+
4
7
5
3
4
1
×
64
7
65
×
×
+
3
2
6
1
4
3
36
-
( )
9
1
-
×
12
1
4
( )
9
×
乘法分配律扩展例谈
⑤
⑥
⑦
⑧
=
分子互换位置
5
7
×
+
4
1
5
3
4
1
×
=
9
1
-
×
12
1
4
( )
9
×
=
9
1
-
×
12
1
4
9
×
=
×
4
9
×
4×9看成一个整体
=
×
+
3
2
6
1
4
3
36
-
( )
×
36
×
36
36是3、6、4的公倍数，一次性乘开。
64
7
64
×
+
1
=
64
7
64
×
+
1
64
7
×
65写成64+1，再用运算律
（知识点）
3
( )
8
5
-
÷
4
1
8
5
乘法分配律扩展例谈
⑩
⑨
( )
8
5
-
×
4
1
5
8
=
8
5
×
5
8
=
×
4
1
5
8
-
除法改写成乘法后再用运算律。
( )
8
5
-
÷
4
1
8
5
=
=
5
8
-
×
4
8
5
8
5
×
( )
8
5
-
÷
4
1
8
5
( )
8
5
-
÷
8
2
8
5
=
8
3
÷
8
5
=
5
3
=
5
2
-
=
1
3
5
除法没有分配律。
×
√
（知识点）
3
交换、结合、性质扩展例谈
11.2－3.77＋9.8－6.23
（ ）
8
5
8
7
3
8
5
1
-
-
=
8
5
8
7
3
8
5
1
-
+
=
7
3
7
+
=
7
4
7
10.15－6.87＋2.37－3.5
=11.2＋9.8－3.77－6.23
=(11.2＋9.8)－(3.77+6.23)
=20－10
=10.15－(6.87-2.37)－3.5
=10.15－4.5－3.5
=10.15－(4.5+3.5)
=10.15－8
①
②
③
减号改加号
带上符号交换位置
减法性质
加号改减号
a-b+c = a-(b-c)
去括号要变号
括号前面是减号
（知识点）
4
易错辨析
阴影部分可以看成是个各个阴影部分的和，也可以看成是大正方形减去最小的空白正方形的和。
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
+
+
+
+
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
用1-1/32=31/32,即可。
31
32
=
=
1
32
-
1
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
+
+
+
+
=
=
1
6
-
1
1
1
1
2
-
1
2
1
3
-
1
3
1
4
-
1
4
1
5
-
1
5
1
6
-
+
+
+
+
=
5
6
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
分母2=1×2， 6=2×3， 12=3×4， 20=4×5， 30=5×6， 每个分数都可以拆成两个分数的差。
分母是2倍的关系
分子都是1
（知识点）
5
（ ）
（ ）
易错辨析
1
5
×
1
5
1
5
1
5
×
÷
=
1
5
×
1
5
1
5
1
5
×
÷
（ ）
1
25
1
25
÷
=
=
1
1
5
×
1
5
5
1
5
×
=
×
1
25
=
2
5
＋
3
5
1
7
×
=
2
5
＋
3
5
1
7
×
=
1
7
×
1
=
1
7
=
2
5
＋
3
35
=
17
35
×
√
×
√
除法改写成乘法
同级运算，从左往右算
先算乘法，再算加法。
（知识点）
5
8×0.48×12.5
11.5-(1.48-8.5)
0.25×0.32×1.25
( + - ) ×60
5
6
1
4
1
12
9.7×0.99
3
5
4
7
3
14
2
5
× + ×
11
7
3
4
1
8
3
8
-(
- ) -
2.4×47+5.3×24
13.8×0.25+6.2÷4
17
23
( + )×23×17
2
4
巩固
应用
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
分数乘除法应用题
全篇预览图
1.一个数是另一个数的几分之几。
和谁比，谁就是单位“1”，“比” 后面。
谁的几分之几，谁就是单位“1”，“的” 前面。
（知识点）
1
2.求一个数的几分之几是多少。
3.已知一个数的的几分之几是多少，求这个数。
分数乘除法应用题涉及知识点
例：红花的朵数比黄花多 。黄花的朵数就是单位“1”
例：红花的 是黄花的朵数。红花的朵数就是单位“1”
4
3
4
3
1.一个数是另一个数的几分之几。
1
（知识点）
例：六（1）班有50人，其中男生占 ，男生有多少人？
5
3
例：六（1）班男生有30人，占全班人数的 ，全班人数是多少人？
5
3
例：六（1）班有50人，其中男生有30人 ，男生占全班人数的几分之几？
A÷B=
B
A
2.求一个数的几分之几是多少。
3.已知一个数的的几分之几是多少，求这个数。
（A、B已知，求几分之几 ）
（单位“1”B已知，几分之几已知，求A ）
（A已知，几分之几已知，求单位“1”B ）
基本题概述
1.一个数是另一个数的几分之几。
2
A÷B=
( )
( )
（A、B已知，求几分之几，用除法，用A÷B ）
基本题一
①
②
③
④
鸡窝里有公鸡3只，母鸡11只，公鸡的只数是母鸡的 。
米是 米的 。
5
3
8
3
（ ）
（ ）
把5米长的绳子平均分成7份，每份是全长的 ，每份是1米的 ，每份是 米。
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
六（1）班有50人，其中男生有30人 ，男生占全班人数的 。
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
8
3
5
3
÷
5
8
3÷11
30÷50
11
3
5
3
7
1
7
5
7
5
1÷7
5÷7
5÷7
（知识点）
六（1）班有50人，其中男生占 ，男生有( )人。
一台脱粒机每小时脱粒 吨，这台脱粒机 小时可以脱粒（ ）吨。
3
基本题二
①
⑤
4
3
20米的 是（ ）米。
5
3
8
3
5
3
×
12
（知识点）
2.求一个数的几分之几是多少。
（单位“1”B已知，几分之几已知，求A 。用乘法，用单位“1”B ×几分之几）
B× =A
B
A
20
②
③
④
食堂运来大米480千克，一周后用去了 ，用去了（ ）千克。
180
8
3
×
480
5
3
30
5
3
×
50
王老师买来红花42朵，买来的黄花的朵数比红花少 ，黄花比红花少（ ）朵。
7
2
12
7
2
×
42
3
2
2
1
3
2
×
4
3
4
基本题三
①
（ ）的 是15米。
5
3
5
3
÷
25
（知识点）
A÷ =B
B
A
15
六（1）班男生有30人，占全班人数的 ，全班人数是( )人。
3.已知一个数的的几分之几是多少，求这个数。
（A已知，几分之几已知，求单位“1”B。用方程或除法，用A÷几分之几，或几分之几×X=A）
X× =A
B
A
5
3
或 X=15
是（ ）的
8
5
4
1
8
5
÷
8
5
或 X=
4
1
4
1
5
2
乐乐有36张邮票，是欢欢的邮票张数的 ，欢欢有（ ）张邮票。
7
6
42
7
6
÷
36
7
6
或 X=36
5
3
÷
30
或 X=30
5
3
5
3
50
某水果店运进苹果30筐,__________,梨有多少筐
是梨的
6
1
÷
60
或 X=60
6
1
6
1
（补充条件，组成除法应用题）
②
③
④
扩展：归一问题
①
一辆汽车行驶12千米，用去汽油 升 ，平均每千米用去汽油多少升？平均每升汽油行驶多少千米？
一辆汽车 小时行驶60千米，每小时行驶多少千米？行驶1千米需要多少小时？
把一根 米长的木料锯成长度相等的几段，一共锯了三次，平均每段长多少？
8
5
3
4
4
3
②
③
（锯了三次，分成了四段）
5
8
÷
4
=
5
2
(米)
1小时
4
3
÷
60
=
(千米)
80
4
3
÷
60
=
(小时)
80
1
60千米
3
4
÷
12
=
(千米)
9
3
4
÷
12
=
(升)
9
1
类型
（一）
10个鸡蛋重 千克，平均每个鸡蛋重多少千克？照这样计算，15个鸡蛋重多少千克？
1
2
千克
千克
扩展：归一问题
一瓶酱油 ，6天用完，平均每天用几分之几？
平均每天用多少千克？
1千克酱油可以用多少天？
千克
⑤
④
1
2
2
5
2
1
÷
10
=
(千克)
6
20
1
20
1
2
3
×
15
=
(千克)
2
5
千克
每天用几分之几？
÷
1
=
(天)
6
1
5
2
÷
6
=
(千克)
15
1
÷
1
=
15
1
15
类型
（一）
6个 千克
扩展：连乘应用题
①
3
2
×
单位“1”不同
240
4
1
×
②
王老师买来6个苹果，每个重 千克，买的梨的重量是苹果的 ，买来的梨有多重？
4
1
3
2
三、四五年级的同学们参加植树活动，五年级去了240人，四年级去的人数是五年级的 ，三年级去的人数是四年级的 ，三年级去了多少人？
8
7
3
2
五年级人数× =四年级人数：
8
7
四年级人数× =三年级人数：
3
2
8
7
210（人）
=
×
210
3
2
140（人）
=
×
240
8
7
×
3
2
140（人）
=
苹果的重量× =梨的重量：
3
2
6
4
1
×
×
1（千克）
=
类型
（二）
一辆汽车 小时行驶120千米。照这样计算，这辆汽车 小时能行驶多少千米？
扩展：乘除混合应用题
①
3
7
②
一个三角形铁片，它的底是 米，面积是 平方米，它的高是多少米？
8
5
16
3
底×高÷2=三角形面积
×
2
16
3
÷
8
5
（米）
=
先求出1小时行驶的千米数。
120
4
5
÷
×
224（千米）
=
底×高=三角形面积×2
高=三角形面积×2÷底
5
3
8
5
或 X÷2=
16
3
4
5
3
7
3
7
120
5
4
×
×
=
120
4
5
÷
类型
（三）
一辆小汽车行 千米用汽油 升。行 千米用汽油多少升？ 升汽油可行多少千米？
7
3
5
12
5
24
7
10
扩展：乘除混合应用题
3
7
÷
24
5
12
5
10
7
=
56
5
(升/千米)
3
7
÷
24
5
=
5
56
(千米/升)
56
5
×
=
16
1
(升)
5
56
10
7
÷
=
16
1
(升)
5
56
×
=
3
14
(千米)
12
5
56
5
÷
=
3
14
(千米)
先求出每千米需要多少升汽油，再乘以千米数就是需要的汽油升数。
先求出每升汽油可以行驶多少千米，再乘以汽油升数就是行驶的千米数。
答：行 千米用汽油 升。 升汽油可行 千米。
10
7
16
1
12
5
3
14
方法二：
方法一：
③
类型
（三）
扩展：按比例分配应用题
一根长90厘米的铁丝，做成一个长方体框架，长宽高的比是5︰3︰1，它的长宽高分别是多少厘米？
①
②
5+3+1=8（份）
160÷4=40（厘米）
40÷8×5=25（厘米）
40÷8×3=15（厘米）
40÷8×1=5（厘米）
12条棱中长宽高各有4条。所以先要除以4，得到一组长宽高的数值再分配。
一种药水是用药粉和水按3︰50配成的。有水150千克，需要药粉多少千克？用9千克的药粉，需要多少千克的水？
150÷50×3=9（千克）
9÷3×50=150（千克）
先求出150里有几个50，则药粉就有几个3。
答：需要药粉9千克，水150千克。
150
3
50
÷
150
50
3
×
或
或
先求出水是药粉的
3
50
先求出药粉是水的
50
3
类型
（四）
×（ ）
扩展：稍复杂的分数乘法实际问题
修一条长24千米的公路，已经修了 ，还剩下多少千米？
3
8
8
3
×
=
(米)
24
24
-
8
3
×（ ）
=
8
3
(米)
1
24
-
15
15
或
24千米
已经修了
花店运来红花56朵，运来的黄花比红花朵 ，运来的黄花有多少朵？
2
7
7
2
×
=
(朵)
56
56
+
7
2
=
(朵)
1
56
+
72
72
或
先求出黄花比红花多的朵数，再和56朵相加。
先求出黄花占红花的几分之几，再求56朵的几分之几是多少。
①
②
类型
（五）
仅限个人使用，请勿商用！违者责任自负！
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
百分数应用题
全篇预览图
百分数应用题涉及知识点
1.百分数的意义
2.一个数是另一个数的百分之几
3.求一个数比另一个数多（少）百分之几
4.百分率问题
5.纳税问题
6.利息问题
7.折扣问题
8稍复杂的百分数除法问题
百分数的意义
一根铁丝长10米，剪下3米。
(1)剪下的占全长的 ，也就是（ ）%。
(2)剩下的占全长的 ，也就是（ ）%。
（ ）
（ ）
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。
苹果树的棵树相当于梨树的（ ）%；
桃树的棵树相当于梨树的（ ）%。
(百分数是一种特殊的分数，它只表示两个数量之的倍数关系，百分数后面通常不带单位名称。）
①
②
（ ）
（ ）
苹果树
梨树
桃树
比梨树多15%
比梨树少15%
单位“1”
（知识点）
1
3
10
7
10
30
70
115
85
（1+15%）
（1-15%）
（3÷10）
（7÷10）
如果遇到除不尽或小数位数特别多时，一般保留三位小数，也就是百分号前保留一位小数。
一个数是另一个数的百分之几
求一个数A是另一个数B的百分之几的实际问题,用“一个数A÷另一个数B ” 。
（求一个数是另一个数的百分之几与求一个数是另一个数的几分之几的解题思路相同，都要找准单位“1”，用一个量除以单位“1”的量，结果用百分数表示。）
六（1）班有男生26人，女生24人。男生人数占女生的( )%。女生人数占男生的( )%,女生人数占总人数的( )%。
学校田径队原有学生38名，其中女生有16名，新学期又新加入4名女生，现在女生人数占田径队总人数的百分之几？
欢欢的妈妈在某商场购买了一台空气炸锅，花了460元，现价比原价便宜了40元，现价是原价的百分之几？
①
②
（知识点）
2
108.3
（26÷24，24÷26，24÷50）
92.3
48
460÷（460+40）
92%
（16+4）÷（38+4）
47.6%
③
求一个数比另一个数多（少）百分之几
乙比甲少百分之几：(A-B)÷A
甲比乙多百分之几：(A-B)÷B
或：1-B÷A
或：A÷B-1
（ 5-4 ）÷4=25%
或：5÷4-100%
（ 5-4 ）÷5=20%
或：100%-4÷5
先求出相差量，再用它去除以单位1。或者直接求出这个数是另一个数的百分之几。用得到的百分数和单位“1”去比较，与单位“1”的差即是比另一个数多(少)百分之几。)
“求一个数比另一个数多（少）百分之几”就是找准单位“1”，弄清求谁占谁的百分之几。用“相差量÷单位1”，即：用除法，用多（少）的数量除以另一个数。
例：甲是A，乙是B。
5比4多百分之几？
4比5少百分之几？
①
（知识点）
3
（知识点）
3
求一个数比另一个数多（少）百分之几
②
王奶奶家养了60只白兔，养的灰兔的只数比白兔少15只。王奶奶家养的灰兔只数比白兔少百分之几？养的白兔只数比灰兔多百分之几？
有两个正方体，大正方体的棱长4分米，小正方体的棱长3分米。
（1）大正方体棱长比小正方体棱长长（ ）%。
（2）小正方体表面积比大正方体表面积小（ ）%。
（3）大正方体的体积比小正方体的体积大（ ）%。
实验小学的学生数比华阳小学多20%，实验小学的学生数是华阳小学的百分之几？
农场葡萄园的面积是苹果园面积的4/5,葡萄园的面积比苹果园少百分之几？
③
④
⑤
120%
（1+20%）÷1
20%
（5-4）÷5
25%
(15÷60)
33.3%
15÷(60-15)
33.3
(4-3) ÷3
(4×4×6-3×3×6) ÷（4×4×6）
43.8
(4×4×4-3×3×3) ÷（3×3×3）
137.0
（知识点）
百分率问题
4
出勤率表示实际出勤人数占应出勤人数的百分之几
百分率：
（命中率=命中次数÷总次数）
(达标率=达标人数÷总人数)
（及格率=及格人数÷总人数）
（合格率=合格个数÷总个数）
（成活率=成活棵数÷总棵数）
（发芽率=发芽的粒数÷总粒数）
王师傅加工了200个零件，其中有 3个不合格，合格率是（ ）。
在一次数学测试中，六（1）班有49人及格，1人不及格，这次数学测试的及格率是多少？。
一杯糖水300克，其中糖有30克，又往杯中加入糖10克，现在这杯糖水的含糖率为（ ）。
①
②
③
49÷（49+1）
98%
（200-3)÷200
98.5%
（30+10)÷（300+10）
12.9%
（知识点）
纳税问题
5
收入× 税率＝应纳税额
纳税：
（取之于民，用之于民）
某饭店去年的年营业额是300万元，要按5%的税率缴纳营业税，那么去年全年应该缴纳营业税多少万元？按规定，还要按营业税的7%缴纳城市维护建设税，缴纳的城市维护建设税是多少万元？
（求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少，也就是把应该纳税部分的总收入乘税率。）
乐乐的爸爸编写的《淘气的乐乐》出版后取得稿费3800元，按规定稿费超过800元的部分要缴纳20%的个人所得税，乐乐的爸爸缴纳个税后实得稿费多少元？
①
②
3800元
800元
3000元
3000×20%=600(元)
(不交税)
(交税)
300×5%
15万元
15×7%
1.05万元
城市维护建设税的单位“1”是营业税
直接交给个人
税款交给国家
剩余部分再交给个人
3800-800=3000(元)
3800-600=3200(元)
3200元
利息问题
6
利息=本金×利率×时间
利息：
525÷3÷5000
（利息占本金的百分比叫做利率，按年计算的叫做年率，按月计算的叫做月率。）
(计算利息，就是求“一个数(本金)的百分之几(利率)是多少”，用乘法计算。)
欢欢把5000元存入银行,定期三年。如果到期后得到的利息是525元,那么当年的年利率是百分之几？
（知识点）
利息=本金×月利率×月数
乐乐把5000元存入银行，存期半年，月利率是0.3%，到期后可得利息多少元 到期一共可取回本息多少元？
①
②
5000×0.03%×6
90元
5000×0.03%×6+5000
5090元
3.5%
3.百分数成数改写：80%=（ ） 78%=（ ） 一成五=（ ）
2.折数改写百分数：七折=（ ）% 九八折=（ ）% 对折=（ ）%
(商店有时要把商品按原价的百分之几出售，通常称为打折出售。“八折”就是原价的80％，“八五折”就是原价的85％。)
（知识点）
折扣问题
7
折扣：
原价×折数 = 现价，现价÷原价=折数
1.百分数改写折数：90%=（ ） 70%=（ ） 65%=（ ）
九折
七折
六五折
50
70
八成
98
一台电饭锅的原价是480元，现在的售价是432元。这台电饭锅是打几折出售的？
商场里衣服一律打八折，乐乐的妈妈在商场里花了360元买来一件衣服，你知道这件衣服的原价是多少元吗？
七成八
15%
432÷480
打九折
360÷80%
450元
①
②
（知识点）
折扣问题
7
某商店九折促销手机，王叔叔买了一部手机，比原价便宜了230元，这部手机原价多少元？
一套西服原价680元，现在打七五折销售，现价比原价便宜了多少元？
一件连衣裙原价800元，现打八五折出售。如果有vip卡，还可以再打九折，欢欢妈买这件连衣裙最少花多少元？
③
④
⑤
680-680×75%
170元
230÷（1-90%）
2300元
800×85%×90%
612元
全班人数-男生人数=女生人数
（知识点）
稍复杂的百分数除法问题一
8
六（1）班的男生人数占全班人数的40%，女生有30人，六（1）全班有多少人？
全班人数
人
男生占40%
女生有30人
解：设全班人数是x人。
x-40%x=30
x=50
30÷（1-40%）=50（人）
方法一：
方法二：
先算出女生占全班人数的60%，再用30人去除以对应的分率，即为单位“1” 量
单位“1”的量×分率=对应数量
求一个数的百分之几是多少？
对应数量÷分率=单位“1”的量
已知一个数的百分之几是多少，求这个数？
①
（知识点）
稍复杂的百分数除法问题一
8
乐乐的妈妈买来一件衬衫和一条长裤，长裤的价格比衬衫贵20%，已知长裤的价格是270元，衬衫的价格是多少元？
②
长裤
衬衫
比衬衫贵20%
单位“1”
270元
？元
衬衫价格+比衬衫贵的20%=长裤价格
解：设一件衬衫是x元。
X+20%x=270
x=225
270÷（1+20%）=225（人）
方法一：
方法二：
先算出长裤价格是衬衫价格的的120%，再用270元去除以对应的分率，即为单位“1” 量。
补上所缺条件，使得算式和题目对应。
学校体育室里有足球50个， 。学校有排球多少个？
（知识点）
稍复杂的百分数除法问题二
8
排球的个数比足球少20%
解：设学校有排球x个。
（1）50＋50×10%
（4）x＋10%x＝50
（3）x－10%x＝60
（2）50－50×10%
比排球多20%
比排球少20%
排球的个数比足球多20%
(1)(2)算式是用50×10%，说明单位“1”是已知的，是50个。即题目中的50个足球。条件编为“比足球多10%”和“比足球少10%”。
(3)(4)算式是10%x，说明单位“1”是未知的。即题目中求的排球个数是不知道的，设为x个。则条件编为“比排球多10%”和“比排球少10%”。
学校图书馆文化类书籍的本数是种历史类的75%。
（1）文化类和历史类书籍一共有5460本，文化类和历史类书籍各有多少本？
（2）历史类书籍比文化类多780本，文化类和历史类书籍各有多少本？
（知识点）
稍复杂的百分数除法问题二
8
（1）
（2）
75%的单位“1”是历史类书籍本数，5460本是一共的本数。即：一共的本数里含有单位“1”的量历史类书籍，还含有文化类书籍。我们可以把一共的本数按比例分配。
已知两个数量的和
已知两个数量的差
历史类是“1”，文化类是75%，多的780本对应的分率是（1-75%），可以先求出单位“1”的量，再求另外一个量。
5460÷（1+75%）=3120（本）
3120×75%=2340（本）
780÷（1-75%）=3120（本）
3120×75%=2340（本）
答：文化类2340本，历史类书籍3120本。
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
解决问题的策略
全篇预览图
1
（知识点）
从条件想起
从问题想起
画图
列表
转化
假设
一一列举
解决问题的策略
假设调整
假设替换
解决问题常见的策略：
对于同一个问题，可以选用不同的策略思考、解答
根据具体的问题灵活选用最合适的策略解决问题
解决问题的一般步骤：
1.读题，理解题意，画出关键词。
2.分析数量关系，确定解题策略。
3.根据思路，列式解答。
4.反思解题思路，检验结果是否正确。
2
（知识点）
策略讲解——画图
乐乐和欢欢一共有邮票180张，乐乐比欢欢多16张。两人原来各有邮票多少张？
乐乐
欢欢
比欢欢多16张
共180张
？张
？张
乐乐和欢欢一共有邮票180张，如果乐乐给欢欢8张后，两人就同样多了，两人原来各有邮票多少张？
乐乐
欢欢
给欢欢8张
共180张
？张
？张
欢欢：
（180-16）÷2=82（张）
乐乐：
82+16=98（张）
欢欢： 180÷2-8=82（张）
乐乐： 82+16=98（张）
①
②
乐乐和欢欢一共有邮票180张，乐乐给欢欢6张后，还比欢欢多4张，两人原来各有邮票多少张？
2
（知识点）
乐乐
欢欢
给欢欢6张
共180张
？张
？张
还多4张
欢欢：
（180-4）÷2-6=82（张）
乐乐：
82+16=98（张）
乐乐和欢欢一共有邮票180张，乐乐拿出 给欢欢后，就比欢欢少12张，两人原来各有邮票多少张？
1
7
乐乐
欢欢
拿
共180张
？张
？张
还少12张
1
7
给欢欢
解：设乐乐原来有x张邮票。
2x- ×2x+12=180
1
7
x=98
180-98=82（张）
答：原来乐乐有98张，欢欢有82张邮票。
③
④
策略讲解——画图
乐乐用28根1分米长的小棒摆长方形，有多少不同的摆法？面积最大是多少？
第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 第6种 第7种
长/dm
宽/dm
面积/dm
答：共有7种不同的摆法，面积最大是49平方分米。
13
28÷2=14（分米）
1
12
2
11
3
10
4
9
5
8
6
7
7
13
24
33
40
45
48
49
长方形有两条长和两条宽。28分米是周长，因此，要把28分米分成2分，每份中有一条长和一条宽。然后宽从1分米开始一一列举。
14=1+13
14=2+12
3
（知识点）
策略讲解——一一列举
①
欢欢用36个1平方分米的正方形拼成一个大长方形，一共有多少种拼法，周长最短多少分米？
第1种 第2种 第3种 第4种 第5种
长/dm
宽/dm
周长/dm
36
1
18
2
12
3
9
4
6
6
74
40
30
26
24
先把36个小正方体排成一排，宽就是1分米。
再把36个小正方体排成两排，宽就是2分米。
再把36个小正方体排成三排，宽就是3分米。排成四排，宽就是4分米。六排，宽就是6分米。
答：一共有5种拼法，周长最短24分米。
3
（知识点）
策略讲解——一一列举
②
学校会议室里新买来了8张会议条桌和12把椅子，一共用去4320元。每把椅子的价钱是每张条桌的 ，椅子和条桌的单价分别为多少元？
1
3
如果把12把椅子全假设成条桌的话，按照3倍缩小就是12÷3=4张条桌。条桌数变成4+8=12张。
假设全买的是椅子。
我们发现，每张条桌和椅子的价格有3倍的关系在里面。也就是说把一张条桌的价钱可以买3张椅子，把8张条桌可以假设成24张椅子，这样总价格不变。
12+8×3=36（把）
椅子：4320÷36=120（元）
条桌：120×3=360（元）
假设全买的是条桌。
8-12÷3=12（元）
条桌：4320÷12=360（元）
椅子：360÷3=120（元）
条桌和椅子的单价是倍数关系
假设前后，总价格没有变，都是4320元，变的是数量，假设成全是椅子或条桌，总数量变多或变少了。
4
（知识点）
策略讲解——假设替换
①
学校新买了5个篮球和8个排球，正好用去1030元。一个排球比一个篮球便宜50元。每个排球和篮球分别是多少元？
如果把5个篮球假设成5个排球，就要比原来少用50×5=250元，总价变成1030-250=780元。
假设全买的是篮球。
把8个排球假设成了8个篮球，总价格就会变了。1个排球假设成1个篮球就要多付50元,8个全换需要多付8×50=400元，于是总价变多了，变成1030+400=1430元了。
1030+8×50=1430（元）
篮球：1430÷（5+8）=110（元）
排球：110-50=60（元）
假设全买的是排球。
1030-5×50=780（元）
排球：780÷（5+8）=60（元）
蓝球：60+50=110（元）
篮球和排球的单价是相差关系
假设前后，球的总数量没有变，都是5+8=13个，变的是总价，随着买的球不一样，总价变多或变少了。
4
（知识点）
策略讲解——假设替换
②
24张乒乓球桌上一共有60名同学比赛，单打的球桌和双打的球桌各有多少张？
24×4=96 (名)
96-60= 36(名)
4-2= 2(名)
单:36÷2= 18(张)
双:24-18= 6 (张)
假设24张乒乓球桌都是双打球桌。
如图，假设成都是双打，每张桌子需要4人，24张桌子一共要4×24=96人，实际上只有60名同学在打球，因此多算了96-60=36名，多算的原因是单打的桌算成了双打的桌，每桌多算2人，一共多算了36÷1=18桌。
方法一：
方法二：
5
（知识点）
策略讲解——假设调整
答：单打的球桌18张，双打的球桌6张。
假设单打和双打的桌子一样多
单打张数 双打张数 总人数 与60名比较
12 12 12×2＋12×4＝72 多12名
13 11 13×2＋11×4＝70 多10名
14 10 14×2＋10×4＝68 多8名
15 9 15×2＋9×4＝66 多6名
16 8 16×2＋8×4＝64 多4名
17 7 17×2＋7×4＝62 多2名
18 6 16×2＋6×4＝60 正好
24张乒乓球桌上一共有60名同学比赛，单打的球桌和双打的球桌各有多少张？
人多12名，是因为单打的桌算成了双打桌了。
先假设，再调整。一直调整到正好为止。
方法三：
5
（知识点）
策略讲解——假设调整
王大伯家有一个长方形鱼塘，长比宽长30米。如果把这个鱼塘扩建成一个最小的正方形，面积就增加2100平方米。原来鱼塘的面积是多少平方米？
长
宽
多30米
增加2100平方米
多30米
多30米
如图，扩建成正方形后，多的30米，正好是增加的面积的宽。用增加的面积除以宽既是长了2100÷30=70米。
2100÷30=70（米）
70-30=40（米）
40×70=2800（平方米）
答：原来鱼塘的面积是2800平方米。
例1
策略讲解
第一桶
50千克
第二桶
50千克
第三桶
50千克
还剩
用去
还剩
用去
还剩
用去
=
=
有三桶油，每桶原来都是50千克，第二桶用去的和第三桶剩下的一样多，第一桶还剩 ，这三桶油一共用去多少千克？
1
5
1
5
如图，通过把第二桶用去的和第三桶还剩的油进行互换后，发现第二、三桶用去的油正好合成一整桶50千克。
50-50× +50
=90（千克）
用去的占50千克的五分之四。
例2
策略讲解
甲
乙
如图，已知正方形的面积是72平方厘米，沿这个正方形的对角线将其分为两个等腰三角形，甲、乙分别是这两个三角形中的内接正方形。甲的面积是多少平方厘米，乙的面积是多少平方厘米？
如图，分割后，甲占大等腰三角形的四分之二，乙占大等腰三角形的九分之四。
72÷2=36（平方厘米）
甲：36÷4×2=18（平方厘米）
乙：36÷9×4=16（平方厘米）
例3
策略讲解
一根钢管直径是8厘米，长80厘米。如果把两根这样的钢管捆在一起，至少需要多少厘米的铁丝？3根呢？4根呢？（接头处忽略不计）
d=8厘米
长=80厘米
d=8
发现：把两根钢管捆在一起需要的铁丝长度，与钢管的长没有关系，只与钢管的直径有关系。
我们可以把图简化成截面图
右边是圆周长的一半。
下边是一条直径。
8π+8×2=8π+16（厘米）
例4
策略讲解
一根钢管直径是8厘米，长80厘米。如果把两根这样的钢管捆在一起，至少需要多少厘米的铁丝？3根呢？4根呢？（接头处忽略不计）
这里是一条直径的长。
这里是圆周长的三分之一
8π+8×3=8π+24（厘米）
d=5
d=5
这里是圆周长的四分之一
这里是一条直径的长。
8π+8×4=8π+32（厘米）
发现：总是一个圆的周长加上几条直径的长。
例4
策略讲解
修路队修一段公路，第一天修了全长的 又100米，第二天由于天气不太好，只修了余下的 ，这时还剩300米，这段公路全长多少米？
3
4
2
5
欢欢
又100米
300÷（1- ）=500（米）
第一天修的
？米
1
7
第二天修的
2
5
3
4
剩300米
300米的对应分率是五分之三。
用倒推的方法一步一步求出总长度。
2
5
500+100=600（米）
600÷（1- ）=2400（米）
3
4
答：这段公路全长2400米。
这600米就是除去总长度的四分之三剩下的长度。
例5
策略讲解
乐乐和欢欢出同样多的钱买苹果。分苹果时，乐乐比欢欢多拿了6千克，这样乐乐给欢欢12元，每千克苹果多少元？
多拿6千克
乐乐
欢欢
3千克
千克
千克
12元
乐乐和欢欢都应该得到这箱苹果的一半，
乐乐只多拿了3千克的苹果。因为如果去掉6千克苹果，两人的苹果就是平均分的，那多的6千克苹果也应该平均分，即每人应得3千克。
想：乐乐和欢欢出同样多的钱买一箱苹果。他们原本每人拿半箱苹果，欢欢没有拿到半箱，少拿了苹果，少拿了3千克。乐乐拿的超过了半箱，超过了3千克。所以多付了12元，平均每千克12÷3=4元。
乐乐比原来多拿的：
6÷2=3（千克）
苹果单价：
12÷3=4（元/千克）
答：苹果的单价是8元/千克。
例6
策略讲解
王叔叔在周末的早上进行快步走锻炼。他步行的速度是80米/分，如果每走半小时休息5分钟，从早上6点到7点半，一共步行了多少米？
6:00
7:30
30分
5分
5分
30分
20分
6:30
6:35
7:05
7:10
如图，红线段是步行的时间，绿线段是休息的时间。
最后到7:30时，时间就剩下20分了。
步行时间：30+30+20=80（分）
路程：80×80=6400（米）
答：一共步行了6400米.
例7
策略讲解
甲车、乙车同时从A站出发向两个不同的方向行驶，3小时后在C站相遇（如图所示）。已知B、C两站相距12千米，甲车速度比乙车速度快 ，乙车每小时行多少千米。
A
B
C
12千米
甲车
乙车
12千米
甲车
乙车
相同时间内:
甲车行的路程和乙车行的路程比是8:7
8
7
1
8
12×2÷（8-7）=24（千米）
24×7÷3=56（千米/小时）
答：乙车每小时行56千米。
甲车比乙车多行2个12千米。
例8
策略讲解
仅限个人使用，请勿商用！违者责任自负！
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式与方程
小学数学六年级毕业复习
※
☆
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全篇预览图
（知识点）
1
用字母表示数的简写要注意:
计算公式
运算律
数量关系
用字母表示
用字母表示
S=πr
a×（b+c）=a×b+a×c
s=vt
(1)数字和字母相乘时，乘号可以写成小圆点，或者省略不写，但数字必须写在字母的前面；
（例如：a×3简写成3a）
(2)字母与字母相乘时，乘号可以写成小圆点，或者省略不写。（例如：a×b简写成ab）
(3)两个相同的字母相乘，可以写成平方的形式。（例如：a×a简写成a ）
（4）字母与1相乘时，1可以省略不写。（例如：a×1简写为a）
2a表示两个a相加的和或a的2倍，
a 表示两个a相乘。
2
（知识点）
方程
方程：
(2＋1、x÷8、6b、a－6、3＋66=69、x－48=10)
（1＋2=3、x－18=180，5a=6b+1）
（x-8=6、6a＋7=75、3x-8y=110）
含有未知数的等式，叫做方程。
表示左右两边相等的式子，叫做等式。
表示几个数之间关系的，叫做式子。
等式：
式子：
用图表示等式与方程的关系
方程
等式
式子
所有的方程都是等式
有的等式不是方程
等式的性质
性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。
3
（知识点）
解方程：求方程中未知数的值的过程。
几种常见的方程类型：
aX+b=c
aX-b=c
aX×b=c
aX÷b=c
aX+bX=c
aX-bX=c
3X=87-17
2X-7=3
9X×5=90
4X÷5=15
7X+5X=240
7X-3X=40
解:
解:
解:
解:
解:
解:
3X+17=87
3X=60
X=20
2X=3+7
2X=10
X=5
45X=90
X=90÷2
X=45
4X=15×5
4X=75
X=18.75
（7+5）X=240
12X=240
X=20
（7-3）X=40
4X=40
X=10
易错解方程
X÷ =
解:
8
7
3
2
32
21
X
8
7
=
32
21
3
2
×
X
8
7
=
16
7
X
=
2
1
X÷ =
解:
8
7
3
2
32
21
X
8
7
=
32
21
2
3
×
X
16
21
=
X
=
2
1
32
21
16.5－2x=1.5
解:
16.5=1.5+2x
16.5-1.5=2x
15=2x
7.5=x
解:
16.5－2x=1.5
2x=16.5-1.5
12x=15
x=7.5
x=7.5
方法一：
方法二：
方法二：
方法一：
根据减法各部分间的关系解。即减数等于被减数减差。
等式两边同乘以三分之二，或理解为被除数等于商乘除数。
根据乘法交换律，可以用乘倒数的方法把能算的先算出来
巩固
应用
（4）乐乐今年a岁，乐乐比爸爸小30岁，小华今年（ ）岁；经过10年后，两人相差（ ）岁。
（5）一个正方形的周长是m米，边长是（ ）米，面积是（ ）平方米。当a=1.6时，正方形的面积是（ ）平方米。
（2）苹果的单价是6.5元/千克，梨的单价是4.9 元/千克。妈妈买了a千克苹果和b千克梨，一共要付（ ）元。
在括号里填写含有字母的式子。
（1）一种贺卡的单价是a元/张，小英买4张，用去（ ）元；小明买n张，付出10元，应找回（ ）元。
（3）一个正方形的边长是b米，周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。当a =4时，正方形的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。
4a
10－an
6.5a＋4.9b
4b
b
16
16
易错解方程
m
0.16
a+30
30
巩固
应用
易错解方程
(6)在m克水中放入5克糖，糖水的含糖率是（ ）。
（7）用字母表示的梯形面积计算公式是（ ）
（8）三个连续的偶数，中间一个是a，另外两个分别 是（ ）和（ ）
（9）把3千克白糖平均分装在m个瓶里，每瓶白糖重（ ）千克，占总质量的
（ ）
（ ）
（11）一个三角形的底是m米，高是底的3倍，这个三角形的面积是（ ）平方米。
(12)电影院第一排有m个座位，以后每一排都比前一排多2个座位。
第二排有（ ）个座位，第三排有（ ）个座位。
第n排有（ ）个座位。如果n=10，这一排有（ ）个座位。
(10)爸爸买6只茶杯，付了100元，找回a元，一只茶杯（ ）元。
S=（a+b）h÷2
a-2
a+2
（100-a）÷6
1.5m
m+2
m+4
m+2（n-1）
m+18
巩固
应用
观察2022年1月的月历卡。如果用形如 的方框去框月历卡中的日期数，a表示框中的第一个数，则？处表示的数是（ ），框内四个数的和是（ ）。
日 一 二 三 四 五 六
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31
a
？
a
？
4 5
11 12
a
a-1
a+6
a+7
如图，假如框到的是这几个数。
月历卡的每横行的数字相差7天。
和：（a-1）+a+（a+6）+（a+7）=4a +12
4a +12
a+6
例1
商场准备了一批雨伞给顾客使用，顾客借走了60%的雨伞后，商场又准备了第二批40把雨伞，这时商场现存的雨伞和原来第一批雨伞的比是4:5，原来第一批雨伞多少把？
第一批雨伞5份
现存雨伞4份
借出60%
第二批雨伞40把
解：商场现存的雨伞是4x把，则原来第一批雨伞是5x把。
第一批雨伞还剩下40%。
现存雨伞数-第一批剩下的雨伞数=第二批新加的40把
4X-5X×（1-60%）=40
X=20
5X=20×5=100
原来第一批雨伞：
先求出第一批雨伞借出后剩下的对应份数。
5×（1-60%）=2（份）
40÷（4-2）=20（把）
再求出每份对应的雨伞把数。
20×5=100（把）
答:原来第一批雨伞100把。
方法一：
方法二：
例2
如图所示为一张长方形铁皮，剪下阴影部分刚好能做成一个一个圆柱（接头处忽略不计）。这个圆柱的表面积和体积各是多少？
10.28dm
解：设底面圆的直径是X分米。
X +3.14X+X = 10.28
3
3+4
4
4+5
左边线段+中间线段+右边线段=10.28
X = 2
表面积：2×2×π×2+2×π×2=12π（平方分米）
体积：2×2×π×2=8π（立方分米）
图中10.28分米的线段可以看成3条线段组成。分别是左边，中间和右边。
左边线段和底面直径一样长，右边线段也和直径相同。中间的线段等于底面的周长。因为是“刚好做成”，中间的长方形就是圆柱的侧面，长方形的的长只能是底面圆的周长，长方形的宽就是圆柱的高
例3
甲仓和乙仓原有存粮吨数比是3:4，后来从乙仓运出10吨粮食给甲仓，这时甲仓和乙仓的吨数比是4:5 ，原来甲仓有多少吨？
3 ： 4
运出30吨
甲仓原有吨数
解：设甲乙仓库共有粮食x吨。
乙仓原有吨数
4 ： 5
甲仓现有吨数
乙仓现有吨数
X = 630
X - X = 10
3
3+4
4
4+5
630× =270（吨）
3
3+4
3:(3+4)=3:7=27:63
4:(4+5)=4:9=28:63
10÷（28-27）=10（吨）
10×27=270（吨）
10吨粮食是从乙仓运给甲仓的，所以原有甲乙仓库粮食吨数总量没有变化，我们可以设总量单位“1”为x吨。
原来甲仓库和总量的比是3:7，也就是27:63。现在甲仓库和总量的比是4:9，也就是28:63。
27:63和28:63这两个比的后项都是63，是指总量63份没有变，变的是甲仓从27份变成了28份，多了1份，多了10吨。
现在甲仓吨数-原来甲仓吨数=运进的10吨
答：原来甲仓有270吨。
方法一：
方法二：
对比——总量不变
例4
甲仓和乙仓原有存粮吨数比是3:4，后来甲仓又运进了10吨粮食，这时甲仓和乙仓的吨数比是7:9 ，原来甲仓有多少吨？
3 ： 4
又运进10吨
甲仓原有吨数
解：设原来甲乙仓库共有粮食x吨，则现在甲乙仓库共有粮食（x+10）吨。
乙仓原有吨数
7 ： 9
甲仓现有吨数
乙仓现有吨数
X = 630
（X+10）- X = 10
3
3+4
4
7+9
630× =270（吨）
3
3+4
3:4=27:36
7:9=28:36
10÷（28-27）=10（吨）
10×27=270（吨）
7
9
3
4
X- X = 10
X = 360
360× =270（吨）
3
4
解：设原来乙仓库有粮食x吨。
10吨粮食是从其他地方运进的，所以原有甲乙仓库粮食吨数总量发生了变化，多了10吨。
方法一：
方法二：
方法三：
用不变量乙仓的吨数作为基准。
对比——总量变化
例5
甲、乙两车分别从上海、南京同时相向开出，乙车速度是甲车的 ，甲车行驶了全程的一半后，再行驶10千米与乙车相遇。上海和南京两地相距多少千米？
解：设上海和南京两地相距X千米。
甲车共行的路程-甲车行一半的路程=10千米
X=300
验算：
300× =150（千米）
（150-10）÷（150+10）=
甲乙车的速度比是8:7，在相同时间内，甲乙车行驶的路程比就是8:7。即相遇时，甲车行了总路程的十五分之八。
答：上海和南京两地相距300千米。
8
7
X - X=10
1
2
8
7+8
7
8
1
2
8 ： 7
上海
甲车行的路程
乙车行的路程
甲车行了全程的一半
甲再行10千米
南京
甲车
乙车
相遇点
中点
行程问题
例6
将30克糖加入到含糖率为10%的糖水溶液中，溶解后含糖率为20%。
（1）原有含糖率为10%的糖水多少克？（2）如果把溶解后糖水的含糖率恢复到10%，需要再加入多少克的水？
解：设原有含糖率为10%的糖水X克。
20%（X+30）-10%X=30
现在含糖的克数-原来含糖的克数=加入的30克
20%-10%X=30-6
X=240
验算：
240×10%=24（克）
（240+30）×20%=54（克）
54-24=30（克）
原有糖水X克，则现在加了30克糖后，糖水克数为（X+30）克。
（1）
（2）
现在含糖克数：
（240+30）×20%=54（克）
变化后糖水克数：
54÷10%=540（克）
增加的水克数：
540-240-30=270（克）
验算：
270+240+30=540（克）
54÷540=10%
答：原有含糖率为10%的糖水240克。需要再加入270的水。
浓度问题
例7
某鞋店最近进来了一批女鞋，每双进价40元，以70元售价卖出 后，获利1600元，（1）这批女鞋一共有多少双？（2）如果剩下的女鞋准备半价出售，这批女鞋一共可获利多少元？
5
4
解：设这批女鞋一共有x双。
70× X- 40X = 1600
4
5
X = 100
验算：
100×40=4000（元）
100× =80（双）
4
5
80×70=5600（元）
5600-4000=1600（元）
100×（1- ）=20（双）
4
5
20×70×50%=700（元）
1600+700=2300（元）
（1）
（2）
答：（1）这批女鞋一共有100双。
（2）这批女鞋一共可获利2300元。
已卖出的总金额-成本总金额=已获利的金额
剩下的鞋可获利金额。
总的成本价4000元。
80双鞋一共可卖出5600元。
卖出的钱减去成本价，就是获利。
获利问题
例8
仅限个人使用，请勿商用！违者责任自负！
声明(共21张PPT)
比和比例
小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
全篇预览图
比和比例
1
（知识点）
知识整理图
比
比例
图形的放大和缩小
比的意义
比的应用
比例的应用
比例的意义
比例的性质
正比例
反比例
解比例
组成比例
比例尺
按比例分配
比的性质
化简比
求比值
比、分数、除法的关系
2
（知识点）
比和比例
比 比例
意义 两个数相除又叫两个数的比。 表示两个比相等的式子叫作比例。
组成部分 由两个数组成，是一个式子。 4︰6 由四个数组成，是一个等式。
2︰3＝4︰6
基本性质 比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外）比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
化简比 解比例
前项
后项
内项
外项
放大后的图形与原来图形的对应边长的比。
3
（知识点）
按2:1的比画出下面图形放大后的图形。
1
2
2
4
4
8
2
4
4
8
图形的放大和缩小
图形的放大：
缩小后的图形与原来图形的对应边长的比。
图形的缩小：
图形在放大与缩小后，大小发生了变化，形状不变。
变化后的面积比是对应边长平方的比。
4
（知识点）
比、分数与除法
比
前项
后项
比号
比值
除法
分数
被除数
除号
除数
商
分子
分数线
分母
分数值
两数关系
一个数
一种运算
两个数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b=a：b = （b≠0）
两个数相除又可以叫做两个数的比。
比的前项除以后项所得的商叫作比值。
12÷（ ）＝ ＝16：（ ）＝（ ）%=（ ）（小数）
4
5
15
20
0.8
80
比的基本性质 比的基本性质 商不变规律
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
它们本质上是相同的。
5
（知识点）
求比值和化简比
求比值 化简比
依据 比的意义 比的基本性质
方法 前项÷后项 前后项同乘和除以相同的数（零除外）
结果 是一个数。（小数，分数，整数） 是一个比。（最简整数比）
（1）26︰8
=26÷8
=3.25
求比值：
（4）20厘米︰0.4米
=20厘米÷40厘米
=0.5
（2）12.5︰0.25
=12.5÷0.25
=50
5
3
10
7
（3） ：
= ÷
5
3
10
7
=
7
6
（整数比）
（小数比）
（分数比）
（混合比）
6
（知识点）
化简比
1.整数比
（比的前、后项同时乘分母的最小公倍数，转化成整数比再化简）
（2）2.6︰0.08
=(2.6×100):(0.08×100）
=260：8
=65：2
（4）20厘米︰0.4米
=20厘米：40厘米
=1：2
3.分数比
2.小数比
4.混合比
（比的前、后项同时乘10,100,1000……，转化成整数比再化简）
（比的前、后项同时除以它们的最大公因数）
（比的前、后项统一单位后，再按其他类型的比化简）
（1）18︰24
=(18÷6):(24×6）
=3：4
5
4
8
3
（3） ：
= （ ×40）：（ ×40 ）
5
4
8
3
= 32:15
最简整数比
（比的前、后项的公因数只有1，即它们是互质数）
7
（知识点）
比例尺
比例尺
线段比例尺
数值比例尺
图上距离:实际距离＝比例尺
(一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺)
＝比例尺
图上距离
实际距离
或
比例尺1∶10000表示的实际含义
1.图上距离是实际距离的 。
2.实际距离是图上距离的10000倍。
3.图上1厘米表示实际距离10000厘米，也就是100米。
10000
1
0
100
200
300米
图上1厘米表示实际距离的100米。
为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。比如：1：1000，200：1。前者是缩小的比例尺，后者是放大的比例尺。
8
（知识点）
按比例分配
一根长90厘米的铁丝，做成一个长方体框架，长宽高的比是5︰3︰1，它的长宽高分别是多少厘米？
5+3+1=8（份）
160÷4=40（厘米）
40÷8×5=25（厘米）
40÷8×3=15（厘米）
40÷8×1=5（厘米）
12条棱中长宽高各有4条。所以先要除以4，得到一组长宽高的数值再分配。
一种药水是用药粉和水按3︰50配成的。有水150千克，需要药粉多少千克？用9千克的药粉，需要多少千克的水？
150÷50×3=9（千克）
9÷3×50=150（千克）
先求出150里有几个50，则药粉就有几个3。
答：需要药粉9千克，水150千克。
150
3
50
÷
150
50
3
×
或
或
1.已知总数量和各数量之间的比，求各个数量是多少？
2.已知两个数量的比和其中一个数量，求另一个数量是多少？
答：长宽高分别是25、15、5厘米。
（总数量÷总份数）
所以：这两个比能组成比例。
组成的比例是6:10=9:15。
判断下面的两个比能不能组成比例。
（1）6:8 和 9:12
因为：6:8=6÷8=
9:12=9÷12=
5
3
5
3
这两个比的比值相同
判断组成比例
要看它们化简后的比或者它们的比值是否相等。
如果它们化简后的比或者它们的比值相等就能组成比例，反之就不能组成比例。
9
（知识点）
判断两个比能不能组成比例：
（2）8.4︰6.3 和 8:6
所以：
因为：8.4︰6.3=4:3
8︰6=4:3
这两个比能组成比例。
8.4︰6.3=4:3
这两个比化简之后的比相同
组成的比例是：
求比例中的未知项，叫作解比例。
解比例时，根据比例的基本性质，先把比例写成乘法的形式，然后再解方程。
(把等号两端的分子、分母交叉相乘，结果相等。)
如果用字母表示比例的四个项，即 a︰b = c︰d，
那么这个规律可以表示成：a×d =b×c
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。
把比例
写成分数形式：
10
（知识点）
比例的基本性质和解比例
把比例
写成比号的形式：
把比例
写成混合形式：
a×d =b×c
b
a
d
c
=
a×d =b×c
内项
外项
a : b = c : d
d
c
a ：b=
a×d =b×c
(外项和外项乘，内项和内项乘，结果相等。)
(找出两个内项和两个外项，积相等。)
11
（知识点）
正比例和反比例
相同点 不同点
正比例 都有两种相关联的(变)量。 一种量随着另一种量变化。 相对应的两个数的 比值（商）一定。 y：x=k（一定） 正比例图像是一条直线
反比例 相对应的两个数的 积一定。 x×y=k（一定） 反比例图像是一条曲线
两种量
不相关联
相关联
和或差一定
积一定
商（比值）一定
成正比例
成反比例
不成比例
不成比例
判断方法：
（1）3厘米∶30米=（ ）： （ ）。
（2）配制一种盐水，盐和盐水质量的比是 1︰9， 盐和水质量的比是（ ），水和盐水质量的比是（ ）。
（3）4.一个比例的两个外项的比值是2，两个内项都是0.5，写出符合条件的一个比例。 （ ）:（ ）=（ ）: （ ）
（4）已知A× =B× ，那么A：B=（ ）：（ ）。
（5）给2、3、4再配上一个数，组成比例，这个数是（ ）或（ ）或（ ）。（6）如果y=5x，x和y成（ ）比例。
（7）如果y= ，x和y成（ ）比例。
5
x
2
3
3
4
1 1000
巩固
应用
正
反
3
2
1：8
8：9
1 0.5 0.5 0.25
9 8
6
8
3
5:6=n：m
巩固
应用
（1）根据5m=6n(m、n都不等于0），你能写出几个比例式吗？
5:n=6：m
m:n=6：5
m:6=n：5
6:5=m：n
6:m=5：n
n:m=5：6
n:5=m：6
把5×m看成是外项的积
把6×n看成是外项的积
内项互换位置
外项互换位置
内项互换位置
外项互换位置
（2）如果 m= n(m、n都不等于0），那么：m:n=( )：( )。
2
3
4
5
2
3
4
5
m= n
= 1
假设：
那么：
m= ，n=
3
2
5
4
m:n= :
3
2
5
4
= 5 : 6
2
3
4
5
m= n
根据比例的基本性质,可以写成：
m:n= :
2
3
4
5
= 5 : 6
方法一：
方法二：
（1）一个比例里，两个内项的积是1，两个外项（ ）。
A.互为倒数 B.商是1 C.和为1
（2）下面三组数中，不能组成比例的是（ ）。
A.2、3、6、8 B.8、2、3、12 C.0.1、0.5、2、4
（3）一个长方形广场，长220米，宽是180米，要在一张长18厘米，宽15厘米的长方形纸上画操场平面图，以下比例尺选（ ）比较合适。
A、1：200 B、1:2000 C、1：20000 D、1:20
（4）如右图，下面式子中成立的是（ ） 。
A、a:b=c:d B、a:c=b:d C、a:b=d:c
A
巩固
应用
d
c
a
b
A
B
C
巩固
应用
乐乐家到学校的距离是1500米，乐乐在地图上量的距离为3厘米，（1）这幅地图的比例尺是多少？（2）乐乐还量得家到少年宫的图上距离为4厘米，实际距离是多少米？
1500米=150000厘米
3：150000=1:50000
（1）
答：这幅地图的比例尺是1:50000。
200000厘米=2000米
4×50000=200000（厘米）
（2）
答：实际距离是2000米。
方法一：
50000厘米=500米
4×500=2000（米）
方法二：
1500÷3×4=2000（米）
4：x=1:50000
方法三：
解：设乐乐家到少年宫的实际距离是x厘米。
x=200000
200000厘米=2000米
方法四：
巩固
应用
乐乐家用同样的地砖铺设厨房，铺8平方米要用砖72块。如果要铺一间长3米，宽2米的卫生间，要用这样的砖多少块？
每块地砖的面积一定，铺设的面积和地砖的数量成正比例。
即：
8:72 = 6：X
8X = 72×6
X=54
解：设要用这样的地砖X块。
答：要用这样的地砖54块。
是面积和它们成正比例。
（3×2）÷（8÷72）
=54（块）
方法一：
方法二：
卫生间的面积：3×2=6（平方米）
铺设的面积
地砖的数量
=每块地砖的面积（一定）
乐乐家用同样的地砖铺设客厅，如果用边长60厘米的地砖需要用80块，那么如果用面积1平方米的地砖，至少需要用多少块？
巩固
应用
客厅的面积一定，每块地砖的面积和地砖的数量成反比例。
即：每块地砖的面积×地砖的数量=客厅的面积（一定）
10000×X = 60×60×80
10000X = 288000
X≈29
解：设需要边长1米的地砖X块。
答：需要边长1米的地砖29块。
是面积和它们成反比例，面积是边长乘边长。
（60×60×80）÷10000
≈29（块）
方法一：
方法二：
1平方米=10000平方厘米
巩固
应用
商店运来一批粮食，第一周卖出的吨数和剩下的吨数的比是3:5，如果再卖出7吨，就剩下这批粮食的 ，这批粮食原有多少吨？
1
3
剩下的吨数
卖出的吨数
3份 ： 5份
1
3
还剩下
再卖出7吨
这批粮食原有多少吨？
（1）把 也转化成比，即剩下的吨数和总吨数的比是1:3。
1
3
（2）把3:5也转化和总吨数的比，即剩下的吨数和总吨数的比是5：8。
（4）由上可知：原来剩下的吨数和总吨数的比是15：24,后来变成了8:24,前项变了，后项相同。说明是总吨数不变，只是因为再卖出7吨，前项才有15份变成了8份，则可以算出1份是几吨，即7÷（15-8）=1（吨）。那么总吨数就是1×24=24吨。
（3）因为总吨数一直没有变，所以我们把上面两个比化成后项相同的比。即1:3=8:24和5:8=15:24。
思考：
7÷（15-8）=1（吨）
5:8=15:24
1:3=8:24
1×24=24(吨)
答：这批粮食原有24吨。
本题还可以用方程或从7吨的对应分率上去考虑哦！解法不唯一。
仅限个人使用，请勿商用！违者责任自负！
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
平面图形的认识
全篇预览图
1
（知识点）
直线、射线、线段的特征
名称 图形 相同点 不同点
直线
射线
线段
都是直的
没有端点，不可测量，无限长度。
一个端点，不可测量，无限长度。
两个端点，可以测量，有限长度。
相交
平行
夹角≠90°
夹角=90°
互相垂直
2
（知识点）
在同一个平面内，两条直线的位置关系
同一个平面内
垂足
（在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线叫做平行线。）
（两条直线交于一点，我们称这两条直线相交。）
（一条直线和已知直线夹角为90度，就是垂直。）
A
B
（1）同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，这两条直线互相平行。
（2）两点确定一条直线。
（3）两点之间，线段最短。
（4）点到直线的距离，垂线段最短。
A
B
A
B
A
B
3
（知识点）
线的特性
（1）角是从一个（ ）引发的两条（ ）所组成的图形。
( )
( )
( )
点
射线
边
边
顶点
锐角
直角
钝角
平角
周角
＜90°
=90°
＜180°
90°＜
=180°
=360°
（2）角的分类
4
（知识点）
角
一、填空。
（1）线段有( )个端点，射线有（ ）个端点，直线（ ）端点。
（2）角的大小与角的（ ）有关，与角的（ ）无关。
（3）通过一点可以画（ ）条直线，通过两点可以画（ ）条直线。
（4）钟面上6时整，时针与分针成（ ）角；3时整，时针与分针成（ ）角；1时整，时针与分针成（ ）角。
二、判断题。
（1）一条射线长7米 ……………………………………………………（ ）
（2）小于180度且大于90度的角叫做钝角…………………………… （ ）
（3）不相交的两条直线叫做平行线……………………………………（ ）
（4）直线比射线长………………………………………………………（ ）
（5）平角是一条直线，周角是一条射线………………………………（ ）
2
1
没有
叉开的大小
边的长度
无数
一
平
直
锐
×
√
×
×
×
巩固
应用
正方形
长方形
平行四边形
圆
三角形
梯形
平面图形
线段围成
曲线围成
5
（知识点）
平面图形的分类
6
（知识点）
三角形的分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
：三个锐角
：一个直角，两个锐角
：一个钝角，两个锐角
等腰三角形
等边三角形
：两条边相等，底角相等
：三条边相等，三个角相等
三角形：
同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形。
（3）三角形具有稳定性的特性。
四边形具有不稳定性（易变形）的特性。
（1）三角形的内角和是180°
7
（知识点）
三角形的特性
（2）三角形的任意两边之和大于第三边。
a+b>c a+c>b b+c>a
A
B
C
∠A+∠B+∠C=180°
a
b
c
（1）三角形的一个内角正好等于其余两个内角的和，这是一个（ ）三角形。
（2）从长1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的4条线段中，选3条围成一个三角形，这个三角形的边长可能是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。（写出其中一组）
（3）一个三角形的两条边分别是9厘米和8厘米，那么它的周长最多是（ ）厘米，最少是（ ）厘米。（第三条边为整厘米数）
（4）用两块一样的三角板拼成了一个大的三角形，这个三角形的内角和是（ ）。
（5）等腰三角形的一个角是72°，按角分，这是一个（ ）三角形。
（6）将一根长17米的钢管，锯成三根整米数的小钢管，再围成一个三角形，则这三根小钢管中最长的一根至少是（ ）米。
（7）等腰三角形顶角和一个底角的度数的比是3︰1，它的顶角是（ ）度。
直角
2
3
4
33
19
180°
锐角
6
108
巩固
应用
（1）三角形的三个角度数比是1:1:1，这是一个什么三角形？如果比是1:1:2呢？2:3:7呢？
（2）如图，一个三角形，被长方形遮住了两个角，这可能是一个什么三角形？
因为在三角形中，不管是钝角三角形还是锐角，直角三角形，它们的三个角中角都有锐角，而且至少是有两个锐角。
答：如图，可能是直角、锐角、钝角三角形。
180°÷（1+1+1）×1=60°
180°÷（1+1+2）×2=90°
180°÷（2+3+7）×7=105°
只要算出最大的角是多少度就可以判断了。
直角三角形，等腰直角三角形
钝角三角形
锐角三角形，等边三角形
巩固
应用
（3）4条线段分别是4厘米、5厘米、8厘米、9厘米，从中选3条围成一个三角形，可以选多少厘米的线段。
（4）三根小棒（长度都是整厘米数）可以围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长4厘米和7厘米，那么第三根小棒的长度可能是多少厘米。
答:因为三角形的任意两边之和大于第三边。选第1,3,4中方案。
选4,5,8
选4,5,9
选5,8,9
选4,8,9
④
①
②
③
4+5>8
4+8>5
5+8>4
4+5=9
4+8>9
4+9>8
8+9>4
5+8>9
5+9>8
8+9>5
4厘米 7厘米
因为三角形的任意两边之和大于第三边。所以第三边不能为4+7=11厘米，更不能大于11厘米。
4+7=11厘米
因为7-4=3厘米。所以第三边不能太短，如果是3厘米的话，4+3=7厘米，就不是大于第三边了。比3厘米短就更不行了。
7-4=3厘米
答:第三根小棒可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米。
巩固
应用
四边形
梯形
平行四边形
长方形
正方形
直角梯形
等腰梯形
h
a
b
a
h
a
b
（两组对边分别平行）
（+四个角都是90度）
（+四条边都相等）
（一组对边平行，另一组对边不平行）
（+两条腰相等）
（+一个角是直角）
四边形
8
（知识点）
特征结构图
四边形
平行四边形
长方形
正方形
梯形
四边形
9
（知识点）
四边形关系图
正方形是特殊的长方形
长方形是特殊的平行四边形
圆
（1）圆是一种曲线图形。
O
r
d
半径有无数条，半径都相等
直径有无数条，直径都相等
d=2r
（2）在同圆或等圆中：
半径决定圆的（ ）。
（3）圆心决定圆的（ ），
位置
大小
10
（知识点）
r=d/2
圆上
圆内
圆外
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
对应的每一条底，都有一条高。每个三角形都有三条高。
高：平面图形从底部到顶部（顶点或平行线）的垂直距离
从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高。
底
高
底
高
底
高
高
11
（知识点）
高
底
底
高
上底
下底
高
（只有一组对边平行,另一组对边不平行）
（有两组对边分别平行）
平行四边形
梯形
对应的每一条底，都有无数条高。平行四边形和梯形都有无数条高。
从平行四边形一条边上任意一点向对边（或对边所在的直线）引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高。垂足所在的边叫做平行四边形的底。底有四条。
从梯形上底任意一点到对边作垂线，这点到垂足之间的线段叫做梯形的高。垂足所在的边叫做梯形的底。底有两条。
高
11
（知识点）
（1）人们常用三角形的（ ）性生产钢架桥的大梁，运用平行四边形的（ ）性制作电动大门。
（2）用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离应该是（ ）厘米。
（3）周长相等的正方形、长方形和圆形，（ ）的面积最小，（ ）的面积最大。
（4）圆的半径扩大2倍，则它的直径扩大（ ），面积扩大（ ）。
（5）把一个平行四边形拉成一个长方形，面积逐渐变（ ）（填大或小）。（6）平行四边形有（ ）高，梯形有（ ）条高，三角形有（ ）条高。
（7）梯形四边形的内角和是（ ）度。
（8）（ ）和（ ）都是特殊的平行四边形。
稳定性
易变形
1.5
长方形
圆
2倍
4倍
变大
无数
无数
3
360
长方形
正方形
巩固
应用
寻找规律，完成表格。
名称 三角形 四边形 五边形 …… N边形
边数 3 4 5 …… N
内角和
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
思考：
我们可以把四边形分成两个三角形。五边形分成三个三角形。
（2个三角形）
四边形
五边形
（3个三角形）
三角形
（1个三角形）
N边形
（n-2）个三角形
180°
360°
……
1800(N-2）
540°
巩固
应用
（1）以点A为垂足，画两条互相垂直的线段。线段分别长4厘米和3厘米。
（2）再画两条线段，使得这四条线段正好组成一个长方形。
（3）在这个长方形里画一个最大的等腰直角三角形。
（4）画一个圆，使得长方形的四个顶点都落在这个圆上。（请保留确定圆心位置的作图痕迹。）
按要求画图
A
巩固
应用
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
平面图形周长和面积
全篇预览图
平面图形涉及知识点
1.基本图形的特征、测量。
2.平面图形周长和面积公式的理解和计算。
3.特殊方法的巧妙应用。
1
（知识点）
基本平面图形的特征与测量
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
：三个锐角
：一个直角
：一个钝角
等腰三角形
等边三角形
：两条边相等，底角相等
：三条边相等，三个角相等
内角和180°
四边形
梯形
平行四边形
长方形
正方形
直角梯形
等腰梯形
h
a
b
a
h
a
b
（两组对边分别平行）
（+四个角都是90度）
（+四条边都相等）
（一组对边平行，另一组对边不平行）
（+两条腰相等）
（+一个角是直角）
1
（知识点）
基本平面图形的特征与测量
1
（知识点）
基本平面图形的特征与测量
C=πd
πr
r
S=πr ×r =π
S=π
圆的面积 = 周长的一半×半径
长方形面积 = 长 × 宽
C=2πr
S=πr
d=2r
a
a
h
a
h
a
b
r
S =
S =
S =
S =
S =
S =
ab
ah
ah÷2
(a+b)h÷2
a
C =
C =
C =
(a+b)×2
4a
2πr
πr
a
h
b
2
（知识点）
基本平面图形的周长和面积图
3
（知识点）
特殊方法的巧妙应用
1.割补法
4.用底边比、面积比解题
2.平移、旋转、等积变形
3.直接用r 解题
通过对图形进行剪、拼等，使之形成若干个基本图形， 规整的图形便于计算。
通过对部分图形进行平移、旋转、等积变形等，使得组合成的新图形更加规整，便于计算。
计算圆的面积是，有时不需要求出半径是多少，只要知道半径的平方是多少，就可以直接算面积了。
如果两个三角形高相等，那么它们底的比就等于面积的比。
平面图形典型例题讲解
1.割补法
4.用底边比、面积比解题
2.平移、旋转、等积变形
3.直接用r 解题
割补法
如图，王丽从一个长为8厘米，宽为6厘米的长方形纸片上剪下一个三角形，纸片剩下部分的面积是（ ）平方厘米。
3厘米
6厘米
6厘米
8厘米
2厘米
3厘米
标出对应数据。
可以用小长方形加上小梯形来算，
也可以用大长方形减去小三角形来算。
通过对图形进行剪、拼等，使之形成若干个基本图形， 规整的图形便于计算。
方法
（一）
以AB为三角形的一条边，画出一个等腰直角三角形（顶点在格点上）。这个等腰直角三角形的面积是（ ）平方厘米。
A
B
例1
如图，以AB为一条直角边，画出等腰直角三角形。
在其他方向上也可以画出另外几种情况，如图。
等直角三角形的面积等于大长方形减去边上三个小三角形的面积。
计算得：
5×3-5×1÷2-2×3÷2-2×3÷2=6.5（平方厘米）
1厘米
6.5
下图四边形的面积是（ ）平方厘米
8cm
5cm
45°
45°
5cm
8cm
例2
分别延长AD和BC,相交于ED点。
因为∠B=45°，则∠E=45°，△ABC是一个直角三角形。AE=8cm,CE=5cm。
如图，△DCE也是一个直角三角形。四边形的面积等于大△ABC减去小△DCE的面积。
计算得：8×8÷2-5×5÷2=19.5（平方厘米）
C
A
B
D
E
19.5
平移、旋转、等积变形
方法
（二）
1厘米
1厘米
求阴影部分的周长。
求阴影部分的面积。
平移
等积变形
通过对部分图形进行平移、旋转、等积变形等，使得组合成的新图形更加规整，便于计算。
F
A
如图，四边形EFGH是一个正方形，这个大长方形ABCD的周长是（ ）厘米。
例1
把7厘米的线段分成两部分EF和FB,
线段FB平移至GC处，正好和9厘米线段合在一起，组成大长方形的长。
因为正方形的边长相等，所以线段EF旋转平移至BC处后，正好是大长方形的宽。
32
B
C
D
E
G
H
9cm
7cm
9+7=16厘米，合在一起组成一组长宽的长度。
周长=16×2=32（厘米）
8
8
如图，大正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积。
例2
先把圆补完整，可以看出它们的半径分别是4厘米和8厘米，
如图，逆时针旋转180°后，阴影部分为大圆的四分之一减去一个大三角形
圆的四分之一：
8×8π÷4=16π（平方厘米），
大三角形：
8×8÷2=32（平方厘米）
阴影面积：
16π-32=18.24（平方厘米）
（18.24平方厘米）
F
A
如图，直角三角形ABC中的空白部分是正方形，阴影部分的面积是16平方厘米，CD=4厘米，DB长（ ）厘米。
例3
把△CDF绕D点逆时针旋转90°
形成的新△BDG面积也是16平方厘米，DG=4厘米，而且新△BDG是个直角三角形。
根据直角三角形面积公式得，16×2÷4=8（厘米）
8
B
C
D
E
G
直接用r 解题
方法
（三）
计算圆的面积是，有时不需要求出半径是多少，只要知道半径的平方是多少，就可以直接算面积了。
如图，乐乐在面积是30平方厘米的正方形里画了一个最大的圆，那么这个圆的面积是（ ）平方厘米。
设圆的半径是r，
r
r
r×r=r 正好是大正方形的四分之一，即30÷4=7.5（平方厘米）
则圆的面积是πr =7.5π（平方厘米）
画一个圆，使正方形的四个顶点落在圆周上，那么圆的面积是（ ）平方厘米。（提示：用含有字母的式子表示，图中小方格的边长为a厘米）
例1
设圆的半径是r
黄色小三角形的面积等于大正方形面积的四分之一，
即a×a×4÷4=a （平方厘米）
黄色小三角形是直角三角形，它的面积也等于r×r÷2=a ，
即r =2a ，
圆的面积等于πr =2a π（平方厘米）
2a π
a
r
r
如图，平行四边形的面积是32平方厘米，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
r
r
例2
连接AC,设圆的半径是r
C
A
B
D
O
△AOC的面积是平行四边形面积的四分之一，
即32÷4=8（平方厘米）
即△AOC的面积是r×r÷2=8，
则r =16（平方厘米）
阴影部分的面积是圆面积的四分之一，
即πr ÷4=16π÷4=4π（平方厘米）
4π
用底边比、面积比解题
方法
（四）
如果两个三角形底相等，那么它们高的比就等于面积的比。
如果两个三角形高相等，那么它们底的比就等于面积的比。
△ABC和△ABD底相同，高也相等，它们的面积比是1:1，即面积相等。
A
B
C
D
A
B
C
D
△ADC和△DBC高相等，底AD:DB=1:2，则它们的面积比也是1:2。
三条边长分别是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形。将它的最短边对折到斜边相重合（如图），那么，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
C
A
B
3
4
5
C
A
B
3
4
5
3
2
例1
D
E
因为对折后形状相同，
则AB=AE=3,
BD=ED,
△AED也是直角三角形。
EC=5-3=2（厘米）
△ABD、△ADE和△DEC高都相等，底的比3:3:2，即是面积比。
△ADE的面积是大三角形面积的
3
3+3+2
=
3
8
3×4÷2÷8×3=2.25(平方厘米)
直角梯形ABCD中，AD=3厘米，AB=4厘米，BC=6厘米，BE将梯形分成面积相等的两部分，那么DE:EC=（ ）：（ ）
D
A
B
C
3
4
6
E
9
3
例2
梯形的面积是（3+6）×4÷2=18，
△BCE的面积是梯形的一半，即9，
△BED的面积可以用另一半的面积减去△ABD的面积，
即9-3×4÷2=3,
△BED和△BCE的高相等，则面积比即底的比，
即3:9=1:3
1
3
连接BD，
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※
☆
⊙
立体图形的认识
全篇预览图
笔筒，油桶，水杯，茶叶罐，管道、电池、柱子
粉笔
电线杆
长方体：
正方体：
圆柱体:
圆锥体：
圣诞帽
麦堆，沙堆
雪糕甜筒
漏斗
陀螺
吊线锤
×
×
冰箱
箱子
饮料盒
牙膏盒
骰子
魔方
礼物盒
生活中的物体
1
（知识点）
点线面的关系
2
线
面
体
点
面与面相交成一线
点动成线
面动成体
线动成面
线与线相交成一点。
（知识点）
名称 顶点 棱 面 关系
长方体
正方体
8个顶点
12条棱，相对的棱长度相等
6个面，相对的面完全相同，（特殊两个相对面正方形）
8个顶点
6个面是完全相同的正方形
12条棱长度相等
正方体是特殊的长方体
（知识点）
3
长方体和正方体的特征
长方体
正方体
长方体和正方体都是由长方形和正方形围成的图形。
长方体的框架——12条棱分组
相等的棱长放在一组,分成3组，每组4条棱,每组中棱长长短相等。
长宽高放在一组,分成4组,每组有3条棱,每组中棱长长短不相等，但每组的棱长和相等。
长方体有12条棱
（4条长）
（4条宽）
（4条高）
（1组长宽高）
（1组长宽高）
（1组长宽高）
（1组长宽高）
（知识点）
4
名称 底面 侧面 高
圆柱 两个底面完全相同，都是圆形。 曲面，沿高剪开，展开后是长方形。 两个底面之间的距离，有无数条高。
圆锥 一个底面，是圆形。 曲面， 展开后是扇形。 顶点到底面圆心的距离，只有一条。
（知识点）
圆柱和圆锥的特征
5
底面
底面
侧面
高
圆柱的上、下两个面叫作底面。
围成圆柱的曲面叫作侧面。
两个底面之间的距离叫作高。
o
r
d
高
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
圆锥只有一条高。
（知识点）
立体图形的分类
（正方体是特殊的长方体）
旋转体
直柱体
6
（上下一样粗）
（通过平面图形旋转而成）
“1-4-1”型
“2-3-1”型
“3-3”型
“2-2-2”型
展开图——正方体（11种）
（知识点）
7
（知识点）
7
展开图——长方体、圆柱、圆锥
长方体展开图
前面
后面
左
面
右
面
下面
上面
长
高
宽
圆柱展开图
圆锥展开图
侧面
侧面
底面
底面
底面
底面周长
高
（1）一个长方体，长、宽、高分别是 a、b、h 厘米， 长、宽、高的和是（ ）厘米，棱长的和是（ ）厘米。
（2）一个正方体的棱长是 a 厘米，棱长的和是（ ）厘米。如果a=5，那么它的棱长的和是（ ）厘米。
（3）要焊接一个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体，需要准备7厘米的铁丝（ ）根、5厘米的铁丝（ ）根、3厘米的铁丝（ ）根；一共需要用铁丝（ ）厘米。
（4） 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的 ( )，有（ ）条。它们的长度（ ）。
（5）从圆锥的（ ）到底面（ ）之间的距离是圆锥的高，有（ ）条。
（6）把圆柱的侧面沿高剪开，展开后可以得到一个( )形。把圆锥的侧面展开后是一个（ ）形。
a+b+h
4(a+b+h)
12a
60
4
4
4
60
高
无数
相等
顶点
1
圆心
长方
扇
填空
（1）给下面添上一个正方形，使它变成一个有盖的正方体表面展开图，一共有多少种不同的添法？
思考：正方体有11种展开图，题中正方形的摆放方式很明显不符合“1-4-1型”。也不符合“2-2-2型”。
“3-3型”
“2-3-1型”
答：一共有4种不同的添法。
试一试
（2）一根长8厘米、宽6厘米、高5厘米的木料，把它锯成棱长为2厘米的正方体木块，可以锯成几块？
8cm
6cm
5cm
2cm
10厘米
（3）华阳玩具厂要将长，宽各为10厘米、高为5厘米的长方体玩具盒装入棱长为15厘米的正方体纸箱，最多能装几盒？
10厘米
10厘米
5厘米
15厘米
15厘米
15厘米
10厘米
5厘米
长：
8÷2=4（块）
宽：
6÷2=3（排）
高：
5÷2=2（层）……1厘米
4×3×2=24（块）
答：可以锯陈成24块。
长：
15-10=5（厘米）
宽：
15-10=5（厘米）
高：
15÷5=3（层）
1×3+1+1=5（盒）
答：最多能装5盒。
右面可以装一盒
后面可以装一盒
试一试
从前面、右面和上面观察下面的物体，看到的各是什么形状？ 画一画。
前面
右面
上面
（1）如果去掉一个小正方体，使得前面看到的形状不变，应该去掉哪一个，请画出这时上面的形状。
（2）如果增加一个小正方体，使得前面看到的形状不变，应该增加在哪里，请画出这时上面的形状。
上面
上面
巩固
应用
①
学校体育馆大门前有5级台阶，每级台阶长8米，宽0.3米，高0.2米。
（1）5级台阶一共占地多少平方米？
（2）给这些台阶铺上地砖，至少需要铺多少平方米的地砖？
8米
0.3米
0.2米
如图，占地面积就是台阶上面的面积和。
铺地砖的面就是台阶的上面和前面。
（1）占地面积：8×0.3×5=12（平方米）
（2）铺地砖面积：（8×0.3+8×0.2）×5=20（平方米）
答：占地面积12平方米，铺地砖面积20平方米。
巩固
应用
②
5厘米
直径：18.84÷3.14=6（厘米）
直径：12.56÷3.14=4（厘米）
把一个长18.84厘米、宽12.56厘米的长方形铁皮能卷成的圆柱形（卷口处不重叠），它能穿过边长5厘米的正方形墙洞吗？
第一种：
高：12.56厘米
第二种：
高：18.84厘米
如图，圆柱穿过墙洞，主要是比较圆柱底面的直径和墙洞边长的大小。
5厘米
4厘米
4厘米<5厘米
6厘米>5厘米
答：第二种情况可以。
巩固
应用
③
请画出底面半径1厘米，侧面展开是一个正方形的圆柱的展开图，并算出侧面积。
底面周长：1×2×π=2π（厘米）
因为侧面展开是一个正方形，而正方形的边长和边长相等，也就是圆柱的底面周长和高相等，所以圆柱的高也是6.28厘米。
侧面积：2π×2π=4π （厘米 ）
底面周长：1×2×3.14=6.28（厘米）
侧面积：6.28×6.28=39.4384（厘米 ）
或：
6.28
6.28
巩固
应用
答：侧面积是39.4384平方厘米。
④
一根铁丝，可以焊接成一个棱长是4厘米的正方体，如果用这根铁丝焊接成一个长6厘米、宽5厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（接头处忽略不计）
48÷4-6-5=1（厘米）
4×12=48（厘米）
（48-6×4-5×4）÷4=1（厘米）
或：
答：这个长方体的高是1厘米.
如图，一个圆柱形的蛋糕盒，底面半径20厘米，高25厘米。像图中那样用彩带包扎这个蛋糕盒，至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用15厘米彩带）
彩带长=6条直径＋6条高＋打结处15厘米
20×2×6＋25×6＋15
=240＋150＋15
=405（厘米）
答：至少需要彩带405厘米。
巩固
应用
⑤
⑥
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※
☆
⊙
长(正)方体
表面积和体积
全篇预览图
长方体的上或下面的面积=
长×宽
长方体的前或后面的面积=
长×高
长方体的左或右面的面积=
长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
宽×高
长
宽
高
长方体表面积=长×宽×2 +长×高×2 +宽×高×2
棱长
棱长
棱长
正方体的表面积=棱长×棱长×6
每个面
的面积
上和下
的面积
前和后
的面积
左和右
的面积
上或下
的面积
前或后
的面积
左或右
的面积
表面积
（知识点）
1
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
体积和容积
容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。
体积：
容积：
相同点 不同点 联系
计算方法 单位名称 概念意义 测量方法
体积 长×宽×高 立方厘米、立方分米、立方米、 升、 毫升 物体所占空间的大小 从物体外部测量 同一物体，它的体积大于容积。当容器壁很薄的时候，容积近似等于体积。
容积 容器所能容纳物体的体积 从物体内部测量
（知识点）
2
长方体的体积＝ ×高
长方体的体积＝长×宽×高
V ＝ sh
底面积
h
a
b
统一公式
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
V ＝ sh
底面积
a
a
a
正方体的体积＝ ×高
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
（知识点）
3
下面是长方体的平面展开图，这个长方体底面的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
16
10
44
底面
长
宽
高
宽
长
展开图——长方体
这是长方体长的数据。
这是长方体高的数据。
80厘米里面包含2条长和2条宽。
底面等于长×宽。
宽：44÷2-16=6（厘米）
底面积：6×16=96（厘米 ）
答：这个长方体底面的面积是96平方厘米。
例1
用4个棱长1厘米的正方体搭成一个大长方体，它的表面积是多少平方厘米？
第一种：
四个正方体排成一排。
4cm
（4×1+4×1+1×1）×2=18（cm ）
1cm
2cm
1cm
2cm
第二种：
四个正方体排成两排。
方法一：直接用长宽高去做。
方法二：用所有的小面减去藏起来的小面。
方法一：直接用长宽高去做。
方法二：用所有的小面减去藏起来的小面。
1cm
1×1×（6×4-2×3）=18（cm ）
（2×1+2×1+2×2）×2=16（cm ）
1×1×（6×4-2×4）=16（cm ）
拼——正方体
例2
10厘米
4厘米
5厘米
把长宽高分别是4厘米、5厘米、10厘米的两个小长方体拼成一个大长方体，拼成的表面积最大是多少平方厘米？
第（1）种：左右排一排
拼——长方体
第（2）种：前后排一排
第（3）种：上下排一排
20
4
5
10
8
5
10
4
10
拼成后少了两个小面，一个右侧面和一个左侧面。
拼成后少了两个小面，一个下面和一个上面。
拼成后少了两个小面，一个后面和一个前面。
例3
拼——长方体
第一种 第二种 第二种 第三种 第三种
方法一： 直接用长宽高去做。 长 10+10=20 10 10 10 10
宽 4 4+4=8 4+4=8 4 4
高 5 5 5 5+5=10 5+5=10
表面积 （20×4+20×5+4×5）×2=400 （10×8+10×5+8×5）×2=340 10×8+10×5+8×5）×2=340 （10×4+10×4+10×10）×2=360 10×4+10×4+10×10）×2=360
方法二： 用所有的小面减去藏起来的小面。 原2个长方体的总面积 （10×4+10×5+4×5）×2×2=440
减少的面积 5×4×2=40 5×10×2=100 10×4×2=80
表面积 440-40=400 440-100=340 440-80=360
比较结果 直接比表面积 400>360>340(第一种最大)
比减少的面积 40<80<100(第一种最大)
答：如图第一种，拼成的表面积最大是400平方厘米。
例3
18厘米
6厘米
9厘米
切
把这个长方体平均分成三个相等的小长方体，表面积增加了多少平方厘米？每个小长方体的表面积是多少平方厘米？
（1）如图，把高平均分成3份，横着切。
新增加的2个面。这2个面和上面完全相同。
每切一刀，新增加2个小面。
增加的面积：18×6×4=432（ cm ）
每个小长方体的高：9÷3=3（cm）
每个小长方体的表面积： （18×3+6×3+18×6）×2=360（cm ）
答：增加了432平方厘米。每个小长方体的表面积是360平方厘米。
例4
18厘米
6厘米
9厘米
切
把这个长方体平均分成三个相等的小长方体，表面积增加了多少平方厘米？每个小长方体的表面积是多少平方厘米？
（1）如图，把长平均分成3份，竖着切。
新增加的2个面。这2个面和右面完全相同。
每切一刀，新增加2个小面。
增加的面积：9×6×4=216（ cm ）
每个小长方体的长：18÷3=6（cm）
每个小长方体的表面积： （6×9+6×9+6×6）×2=288（cm ）
答：增加了216平方厘米。每个小长方体的表面积是288平方厘米。
例4
18厘米
6厘米
9厘米
切
把这个长方体平均分成三个相等的小长方体，表面积增加了多少平方厘米？每个小长方体的表面积是多少平方厘米？
（1）如图，把宽平均分成3份，竖着切。
新增加的2个面。这2个面和前面完全相同。
每切一刀，新增加2个小面。
增加的面积：18×9×4=648（ cm ）
每个小长方体的高：6÷3=2（cm）
每个小长方体的表面积： （18×2+9×2+18×9）×2=432（cm ）
答：增加了648平方厘米。每个小长方体的表面积是432平方厘米。
例4
一个长方体，如果高增加2厘米，这时就变成了一个正方体。这个正方体的表面积比原来增加64平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
高增加
2厘米
增加64平方厘米
补
高增加2厘米
实际上表面积增加了四个小面。上面的面可以看成是原来上面再往上平移2厘米。
可以用面积除以宽，得到长，64÷2=32（厘米），32÷4=8（厘米），原来的长就是8厘米。
展开这4个小面。
这时形成的正方体的棱长。
64÷2=32（厘米）
32÷4=8（厘米）
8-2=6（厘米）
8×8×6=384（厘米 ）
答：原来长方体的体积是384立方厘米。
例5
10cm
60cm
60cm
叠
40cm
如图，一个长方体木台上叠加了一个正方体木箱。你能算出这个组合体露出的部分面积是平方米吗？
露出来的面有正方体的5个面和长方体的4个侧面，再加长方体上面露出的一部分面。
这是正方体的棱长，都是40厘米。
把这个面的面积移到下面去，就和长方体的部分上面组合在一起形成一个完整的上面。
（1）正方体的4个侧面积：
40×40×4=6400（cm ）
（2）长方体的4个侧面积：
60×10×4=2400（cm ）
（3）补全后长方体的上面的面积：
60×60=3600（cm ）
（4）所有露出的面积:
6400+2400+3600=12400（cm ）
答：这个组合体露出的部分面积是1.24平方米。
12400cm =1.24m
例6
如图，把几个棱长为1厘米的正方体堆在一起来拼成一个立体图形，如图是从不同方向看到的图形，这个立体图形的表面积是多少？
堆
前面
上面
右面
凹进去的立体图形，里面还有小侧面的。
（1）前面的面积：
1×1×5=5（cm ）
（2）上面的面积：
1×1×5=5（cm ）
（3）右面的面积：
1×1×5=5（cm ）
（4）总的面积：
5×3×2=30（cm ）
答：这个立体图形的表面积是30cm
例7
仓库里有 一块长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，王师傅要把它剪开焊接成一个无盖的盒子，你能帮他算算，盒子的容积最大是多少吗？
长40厘米
宽20厘米
5厘米
剪
这是做成盒子的长。用30厘米减去两头的5厘米，等于20厘米。
这是做成盒子的宽。用20厘米减去两头的5厘米，等于10厘米。
这是做成盒子的高。是5厘米。
40-5-5=30（cm）
（2）盒子的宽：
20-5-5=10（cm）
（3）盒子的容积：
30×10×5=1500（cm ）
方法一：
把铁皮的四个角都剪去一个边长是5厘米的正方形。剩下的部分可以焊成一个无盖的盒子。
（1）盒子的长：
例8
仓库里有 一块长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，王师傅要把它剪开焊接成一个无盖的盒子，你能帮他算算，盒子的容积最大是多少吗？
长40厘米
宽
20厘米
5厘米
剪
这是做成盒子的长。用30厘米减去一头的5厘米，等于25厘米。
这是做成盒子的宽。用20厘米减去两头的5厘米，等于10厘米。
这是做成盒子的高。是5厘米。
40-5=35（cm）
（2）盒子的宽：
20-5-5=10（cm）
（3）盒子的容积：
35×10×5=1750（cm ）
方法二：
把铁皮的左边都剪下一个边长是5厘米的正方形。把这两个小正方形焊道铁皮的右边去，这样也可以焊成一个无盖的盒子。
（1）盒子的长：
例8
仓库里有 一块长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，王师傅要把它剪开焊接成一个无盖的盒子，你能帮他算算，盒子的容积最大是多少吗？
长30厘米
宽
20厘米
5厘米
剪
这是做成盒子的长。用40厘米减去4个5厘米，等于20厘米。
这是做成盒子的宽。是20厘米。
这是做成盒子的高。是5厘米。
40-5×4=20（cm）
（2）盒子的宽：
20（cm）
（3）盒子的容积：
20×20×5=2000（cm ）
方法三：
把铁皮如图那样剪开，然后焊接成一个无盖的盒子。
（1）盒子的长：
底面
前面
如图这样焊接起来。
答：盒子的容积最大是2000cm 。
例8
把一个棱长20厘米的正方体钢胚熔铸成横截面面积是25平方厘米的长方体钢条，钢条长多少厘米？
棱长20厘米
25平方厘米
长 厘米
熔
熔铸，仅仅是形状改变，体积是没有变化的。所以只要把体积算出来，相等就可以了。
解：设钢条长x厘米。
25x=20×20×20
x=320
20×20×20÷25=320（厘米）
或：
答：钢条长320厘米。
例9
（形状改变，体积不变 ）
一个长方体玻璃缸，从里面量得长为50厘米，宽为30厘米，缸内水深15厘米。把一块石头全部浸入水中后，水面上升了3厘米，求石块的体积。
50厘米
30厘米
15厘米
3厘米
上升水的体积=石头的体积
上升了4cm,表示水面高度增加了4cm。
把上升水的体积算出来就是石块的体积。
50×30×3=4500（立方厘米）
答:石块的体积是4500立方厘米。
浸没
例10
一个长方体玻璃缸，从里面量得长为50厘米，宽为30厘米，缸内水深15厘米。把一块石头全部浸入水中后，水面上升到18厘米，求石块的体积。
50厘米
30厘米
15厘米
18厘米
上升到16cm,表示水面高度增加了16-12=4cm。
这是水面上升的体积还是等于放入石块的体积。
把上升水的体积算出来就是石块的体积。
50×30×(18-5)=4500（立方厘米）
答:石块的体积是4500立方厘米。
浸没
例10
仅限个人使用，请勿商用！违者责任自负！
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圆柱和圆锥
小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
全篇预览图
圆柱和圆锥涉及知识点
1.立体图形的特征、分类。
2.立体图形的表面积和体积意义。
3.立体图形公式的推导及相互关系。
名称 顶点 棱 面 关系
长方体
正方体
8个顶点
12条棱，相对的棱长度相等
6个面，相对的面完全相同，（特殊两个相对面正方形）
8个顶点
6个面是完全相同的正方形
12条棱长度相等
正方体是特殊的长方体
（知识点）
1
长方体和正方体的特征
名称 底面 侧面 高
圆柱 两个底面完全相同，都是圆形。 曲面，沿高剪开，展开后是长方形。 两个底面之间的距离，有无数条高。
圆锥 一个底面，是圆形。 曲面， 展开后是扇形。 顶点到底面圆心的距离，只有一条。
（知识点）
圆柱和圆锥的特征
1
（知识点）
立体图形的分类
（正方体是特殊的长方体）
旋转体
直柱体
1
a
b
h
a
a
a
h
r
S长方体=
S正方体 =
S圆柱侧面积=
S圆柱表面积=
2(ab+ah+bh)
6a
лdh=2лrh
2лrh+ 2лr
（知识点）
立体图形的表面积
2
（知识点）
立体图形的体积
2
长方体的体积等于圆柱的体积。
长方体的底面积等于圆柱的底面积。
长方体的高等于圆柱的高。
（知识点）
立体图形的体积
2
长方体的表面积比圆柱的表面积多两个侧面（半径×高× 2）。
V=Sh
V= Sh
V=abh
V=a3
V=Sh
（知识点）
立体图形的体积公式推导关系
3
圆柱和圆锥典型例题讲解
1.展开图的引申
2.切，拼引起的变化
3.旋转体
4.立体图形互相转化
如图，把一张铁皮剪开，利用阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计）。求这个油桶的容积。
类型
（一）
20.7dm
展开图
“刚好能做成”，说明长20.7分米没有多余部分。
长20.7分米的长中含有两条线段，一条是底面的周长，另一条是直径的长。
设直径长是x分米，得
3.14x+x=20.7，x=5
由图知,半径是2.5分米，高是两条直径的长，是10分米。
容积是：
2.5×2.5π×10=62.5π(立方分米)
(62.5π)
例2
如图，在一个正方形的硬纸上剪下一个扇形和圆，恰好能围成一个圆锥形模型。已知圆的半径是2厘米，求扇形的半径是多少厘米？
“恰好能围成”，说明小圆的周长等于扇形的弧长。
小圆周长为：2×2π=4π（厘米），
如图，扇形的圆心角是90°，4个同样扇形的扇形正好拼成一个大整圆。
大整圆的周长为：4π×4=16π（厘米）
扇形的半径为：16π÷π÷2=8（厘米）
(8厘米)
一根圆柱形木料，如果按图1所示切成完全相同的4块，表面积会增加600平方厘米；如果按图2所示切成完全相同的3块，表面积会增加314平方厘米。求这根木料的体积。
图1
图2
切，拼引起的变化
h
d
如图1所示,沿直径竖着切，每切一次，表面积会增加两个长方形面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱底面的直径。
如图2所示，沿着与底面平行着切，每切一次，表面积会增加两个小圆，小圆的面积和底面积相同。
类型
（二）
一个圆柱被截取5厘米后，圆柱的表面积减少了78.5平方厘米，高还剩下8厘米。原来圆柱的底面积是（ ）平方厘米,原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。
例1
截取后，表面积会减少。实际减少的面积是截取的小圆柱的侧面。即小侧面面积是78.5平方厘米。
小侧面展开后是一个长方形，长和圆柱的底面周长相同，宽就是截取的5厘米。
则底面周长为：78.5÷5=15.7（厘米）。
底面的半径为：15.7÷3.14=5（厘米），
底面积：5×5×π=25π（平方厘米）
5厘米
78.5平方厘米
8厘米
原来圆柱的高为：8+5=13（厘米），
体积为：25π×13=325π（立方厘米）
25π
325π
把一段高3分米的圆柱形木料沿底面一条直径和高切成两半，表面积增加了60平方分米。求这半段木料的体积和表面积。
3分米
例2
切成两半后，表面积多了两个长方形的面积。长是高，宽是直径。
直径：60÷2÷3=10（分米）
半径：10÷2=5（分米）
半段木料体积为：5 π×3÷2=37.5π（立方厘米），
表面积为： 5 π+5π×3+3×10= 155.6（平方厘米）
（37.5π）
（155.6）
把一个圆锥沿着高切开，得到两个如下图所示的物体，截面的面积是18平方厘米。如果原来圆锥的高是6厘米，它的底面积是多少平方厘米？
例3
切成两半后，截面是等腰三角形。
表面积多了两个三角形的面积。三角形的底是圆锥底面的直径，三角形的高就是圆锥的高。
一个三角形的面积：18÷2÷3=9（厘米 ）
底面直径：9×2÷6=3（厘米）
底面半径：3÷2=1.5（厘米）
底面积为： 1.5 π=2.25π（平方厘米）
（2.25π）
6厘米
一根圆柱形木料，如果按图1所示切成完全相同的4块，表面积会增加600平方厘米；如果按图2所示切成完全相同的3块，表面积会增加314平方厘米。求这根木料的体积。
旋转体
将长方形分别以长和宽为轴旋转一周，可以形成不同的圆柱。
将一个直角三角形分别以直角边为轴旋转一周，可以形成不同的圆锥。
长为半径，宽为高
宽为半径，长为高
短直角边为半径，长直角边为高
长直角边为半径，短直角边为高
类型
（三）
一根圆柱形木料，如果按图1所示切成完全相同的4块，表面积会增加600平方厘米；如果按图2所示切成完全相同的3块，表面积会增加314平方厘米。求这根木料的体积。
旋转体
分别以长方形对折后的折痕为轴旋转一周，可以形成不同的圆柱。
以等腰三角形的高为轴旋转一周，可以形成的圆锥。
长为直径，宽为高
宽为直径，长为高
底边为直径，三角形的高为圆锥的高
类型
（三）
如图，一个三条边分别是6、8、10厘米的直角三角形，如果把它绕着斜边旋转一周，形成的几何体体积是（ ）立方厘米。
例1
如图，旋转后的几何体可以看成是两个等底的圆锥组成。
两个圆锥的高合在一起就是10厘米。
所以几何体体积为：
4.8 π×10÷3=230.4π÷3=76.8π（立方厘米）
76.8π
6
8
10
圆锥的半径就是直角三角形斜边上的高，
即：6×8÷10=4.8（厘米）。
一根圆柱形木料，如果按图1所示切成完全相同的4块，表面积会增加600平方厘米；如果按图2所示切成完全相同的3块，表面积会增加314平方厘米。求这根木料的体积。
立体图形互相转化
类型
（四）
体积相等的圆柱和圆锥，当高也相等时，它们的底面积的比是（ ）。
3 : 1
直径7厘米
高12厘米
例1
一种圆柱形的饮料罐，底面直径7厘米，高12厘米，将24罐这样的饮料放入一个长方体纸箱。做这样一个纸箱，至少要用多少平方厘米的纸板？（纸箱重叠部分按2000平方厘米计算）
（6032）
如图，只要知道大纸箱的长宽高分别是多少就能解题了。
纸箱的长和宽都和饮料罐的直径有关，如图。
即：长=7×4=28（厘米），
宽=7×6=42（厘米），
高和饮料罐的高相同，为12厘米。
需要的纸板为：（28×42+28×12+42×12）×2+2000=6032（平方厘米）
8cm
10cm
9cm
例2
把一个长、宽、高分别是8、9、10厘米的木块，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？
8cm
10cm
9cm
8cm
10cm
9cm
如图,比较三种削法后，最大的圆柱是第3种。
半径是4.5厘米，4.5 π×8=162π（立方厘米）
（162π）
如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm（如图）。则瓶内溶液的体积为多少升？
5cm
20cm
溶液
体积相等
空白
体积相等
例3
如图，虽是两种放法，不过溶液体积不变，空白部分的体积也没变。变的只是形状。
如图，我们把两种放法的空白部分对调，就可以得到规整的圆柱了。
所以，瓶内的溶液是整个新圆柱的5÷（5+20）=1/5，
1升÷5= 1/5升
（1/5升）
6cm
7cm
例4
如图，一密封容器的下面是圆柱体，上面是圆锥体。分别高10cm和6cm，这时容器液面高7cm，当把这个容器倒过来时，从圆锥的顶点到液面高是多少厘米？
10cm
6cm
10cm
如图，虽是两种放法，不过溶液体积不变。
根据等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，得出：体积相等，底面积相等的圆柱和圆锥，高是3:1的关系。
把高是6cm的小圆锥溶液灌满，只要高是2cm的等底圆柱就可以了。
所以：7-2=5（cm）
则总高是：6+5=11（cm）
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
图形的运动与位置
全篇预览图
图形的运动
1
（知识点）
图形运动的基本方法：
平移
旋转
顺时针
逆时针
轴对称图形
——沿直线运动
——对折后完全重合
图形的放大和缩小
改变位置,
形状、大小不变。
——按一定的比
大小变了,形状不变
——圆周运动
——
向上
向下
向左
向右
（2）围绕C点把原三角形ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。
图形的运动
平移和旋转：
A
B
C
B1
A1
（1）在下图中，把三角形ABC向右平移5格。画出平移后的图形。
先把比较好旋转的线段按要求旋转。
最后一条线段直接相连。
每个点都要移动是5格。
例1
把下面的平行四边形按2:1放大。
图形的运动
图形的放大：
3
6
1
2
2
4
2
4
高把底分成两部分，左边是1格，右边是2格。
高把底分成两部分，左边是2格，右边是4格。
变化后和原来各条对应边长的比都应该是2:1。被高分成2段的底边也对应成2:1。
变化后和原来的各个对应角的度数没有变。
例2
按1:2的比画出三角形缩小后的图形。缩小后的三角形面积是原来的（ ）。
4
2
8
4
图形的运动
图形的缩小：
例2
变化后和原来的各个对应角的度数没有变。
面积：8×4÷2=16
4×2÷2=4
4÷16=
1
4
1
4
变化后和原来各条对应边长的比都应该是1:2。
图形的运动
2
（知识点）
轴对称图形：
基本平面图形
轴对称图形
不是轴对称图形
特殊图形中是轴对称图形有：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
图形与位置
3
（知识点）
粗略位置
精确位置
用方位确定位置（上、下、前、后、左、右）
用方向表示物体之间的位置关系
用数对来表示位置
用方向和距离确定位置
（东、南、西、北、东南面、西北面等）
（列，行）
（北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等）
数对中的第一个数表示第几 ，第二个数表示第几 ，两个数用逗号隔开，外面加上小括号。竖排叫做 ，横排叫做 。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前向后数。
列
行
列
行
图形与位置
（知识点）
用数对确定位置
(a,b )
第几列
第几行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第
1
列
第
2
列
第
3
列
第
4
列
第
5
列
第
6
列
第
7
列
4
东
N
北偏东
北偏西
南偏东
南偏西
东E
西W
北N
南S
图形与位置
（知识点）
用方向距离确定位置
以南北线为基准。
观测点
方向
角度
距离
灯塔3在轮船的北偏西45°方向50千米处。
5
如图， 乐乐家在少年宫（ ）偏（ ）（ ）°方向1000米处，少年宫在乐乐家（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）米处。
乐乐家
少年宫
50°
40°
1000米
例1
40°
南
东
40
北
西
40
1000
返回的度数和来时度数一样。也可以用90-50=40度。因为南北方向和东西方向互相垂直。
返回的米数和来时米数一样。
以南北为基准，南偏东是90-50=40度。
图形与位置
典型例题讲解
1.图形的平移、旋转、轴对称、圆的特征及面积、面积和对应边长的比等。
2.平行、垂直、数对、平面图形特征及面积、确定位置等。
3.方向、角度、距离、三角形内角和、比例尺的意义、垂直、行程问题等。
一、以下方格中，每小格的边长是1厘米。
巩固
练习
1.将三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，并将旋转后的图形向右平移5格。
A
B
C
2.如果将三角形ABC绕点A逆时针旋转一周，三角形ABC扫过的面积是（ ）平方厘米。
A
B
C
25π
5×5×π
=25π（厘米 ）
巩固
练习
3.请画出三角形ABC按1：2缩小后的图形。缩小后的三角形和原三角形的面积比是（ ）。
A
B
C
1:4
巩固
练习
4.请画出面积是12平方厘米的等腰梯形，并画出它的对称轴。
A
B
C
巩固
练习
1.如图，画出点A到直线l的距离，并标出垂足B点。
二、以下方格中，每小格的边长是1厘米。
A
B
L
巩固
练习
2.如果点A在图中的位置用数对（a,b）表示，点C则为（a，b+4），请描出点C。
A
B
C
L
巩固
练习
A
B
C
D
3.在直线L上找到点D，使得点A、B、C、D连接起来构成一个正方形。则D点的位置为（ ， ）。
L
a-4 b+4
巩固
练习
A
B
C
D
4.连接点A、B、C、D，图中相互平行的线段有（ ）和（ ）， （ ）和（ ） 。
L
AB
DC
AC BD
巩固
练习
A
B
C
D
5.请画出一个圆，使得正方形的四个顶点A、B、C、D落在这个圆周上。这个圆的面积是（ ）平方厘米。
L
r =4×4÷2=8（厘米 ）
8π
r
r
πr =8π（厘米 ）
巩固
练习
A
B
C
D
E
6.运用所学知识,在线段AB的下面找到点E,并分别连接AE, BE, 使得三角形ABE成为一个等边三角形。
L
巩固
练习
7.以点A为观测点，点E在点A的（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）厘米处。
A
B
C
D
E
L
南
西
30
4
巩固
练习
8.请以点B为圆心，线段AB为半径，画出一个圆。
这时你会发现，点E在这个圆的（ ）。（选填：“里面，外面，上面”）
A
B
C
D
E
L
上面
巩固
练习
学校
欢欢家
丁丁家
乐乐家
人
民
路
0
200
400
600米
公园
55°
40°
建设路
三、如图：
1.公园在学校的北偏西40°方向500米处，请在图中标出公园的位置。
500÷200=2.5（厘米）
巩固
练习
学校
欢欢家
丁丁家
乐乐家
人
民
路
0
200
400
600米
公园
55°
40°
建设路
2.以乐乐家为观测点，学校在乐乐家的（ ）偏（ ）（ ）°方向上，
欢欢家在乐乐家的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
南
西
55
南
东
35
90-55=35（度）
巩固
练习
学校
欢欢家
丁丁家
乐乐家
人
民
路
0
200
400
600米
公园
55°
40°
建设路
3.星期天，丁丁以60米/分的速度从家向东走。8分钟后，他在学校的（ ）面（ ）米处，再经过（ ）分钟后，就能到达欢欢家。
（保留整数）
60×8=480（米）
600-480=120（米）
480米
西
120
200×5-480=520（米）
520÷60≈9（米）
9
巩固
练习
学校
欢欢家
丁丁家
乐乐家
人
民
路
0
200
400
600米
华阳路
公园
55°
40°
建设路
4.华阳路在学校南面400米处，并且与人民路垂直，请画出华阳路。
400÷200=2（厘米）
巩固
练习
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小学数学六年级毕业复习
※
☆
⊙
统计和可能性
全篇预览图
收集和整理数据的方法
调查、测量、实验、查阅资料等
分类整理、分段整理、按顺序排一排等
描述和分析数据的方法
统计表或统计图描述数据
数据的分布情况、最大值或最小值、
平均数
（知识点）
统计
1
收集
整理
描述
分析
2
（知识点）
条形统计图、折线统计图、扇形统计图的特点
条形统计图
较容易看出各种数量的多少。
折线统计图
不但能看出各种数量的多少，而且能清楚的表示出数量增减变化的情况。
用整个圆表示总数量，每个扇形分别表示总体中的不同部分，扇形的大小反映各部分数量占总数量的百分之几。
扇形统计图
5月21日白天室外气温情况统计图
可能性
不确定性事件
确定性事件
用分数（或百分数）
表示可能性的大小
不可能
一定
可能
可能性有大小
（用1或100%表示）
（用0或0%表示）
1
2
2
3
例：80%
（知识点）
可能性
3
（事件必然发生或不可能发生）
（事件可能发生也可能不发生）
例：太阳一定从东方升起。
例：母鸡不可能生出鸭蛋来。
例：明天可能会下雨。
0
1
不可能
相等
一定
偶尔
经常
1
2
1.抛一枚硬币，连续4次正面朝上，第5次抛出，正面朝上的可能性( )。
2.乐乐和欢欢用掷骰子决定谁先开始游戏。骰子落下后的数，如果大于3，则乐乐先开始，如果小于3则欢欢先开始。你觉得这样公平吗？怎样才公平呢？为什么？
大于3的数有：4、5、6共3个数。
小于3的数有：1、2共2个数。
3>2
答：这样的规则不公平，因为发生的可能性不一样。
规则的公平，体现在事件发生的可能性要一样。
答：规则：落下的数，如果是奇数，则乐乐先开始；如果是偶数，则欢欢先开始。因为奇数有1、3、5共3个数，偶数2、4、6也共3个数。事件发生的可能性一样。
第5次抛出硬币后，硬币可能出现正面，也可能出现反面，可能性是50%。
50%
例题
3.从2-6共5个数里面任意选两个数，选出的这两个数的最大公因数是1的可能性是（ ）。
选2个数，可以用一一列举的方法。
2和3,2和4,2和5,2和6
3和4,3和5,3和6
4和5,4和6
5和6
共10种
这两个数的最大公因数是1的有：
2和3,2和5
3和4,3和5
4和5
5和6
共6种
6÷10=60%
60%
4.袋中有3个红球、5个黄球和4个白球。那么，至少摸出（ ）球 ，才能保证有一个是红球。
要保证摸出红球，要从最不利的情况入手。
先摸出5个黄球，再摸出4个白球，最后再摸一个就是红球。
5+4+1=10（个）。
10
例题
5.把上面的8张扑克牌洗一下反扣在桌上，从中任意摸一张。
（1）摸到红桃的可能性是（ ）。
（2）摸到“A”的可能性是（ ）。
（3）从上面的8张扑克牌中选出几张，要使从中任意摸一张，摸到黑桃2的可能性是 ，可以怎样选牌？
1
3
（4）从上面的8张扑克牌中选出几张，要使从中任意摸一张，摸到梅花和方块的可能性相等 ，可以怎样选牌？
2÷8=25%
4÷8=50%
25%
50%
答：选3张，1张黑桃2,1张方块2,1张梅花2。
（1）选2张，1张方块2,1张梅花2。
（3）选6张，2张黑桃A和2,2张方块A和2,2张梅花A和2。
（2）选3张，1张黑桃2,1张方块2,1张梅花2。
答案不唯一
例题
6.学校图书室里有多种图书，其中文学类占35%，历史类占30%，科普类占20%，其他占15%。
（1）如果科普类图书有1600本，那么文学类图书有多少本？文学类比科普类图书多百分之几？
（2）根据不同图书本数制作一张条形统计图。
（1）1600÷20%=8000（本）
8000×35%=2800（本）
（2800-1600）÷1600=75%
或：（35%-20%）÷20%=75%
（2）8000×30%=2400（本）
8000×15%=1200（本）
0
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
文学类
历史类
科普类
其他类
2800
1600
2400
1200
答：文学类2800本，多75%。
例题
7.周末小明和小军相约去公园玩，小明骑共享单车，小军乘公交车，整个过程绘成下面的折线图。
0
1
2
9:00
千米
3
10:00
11:00
小明
小军
例题
(1)小明去公园时。中途走到（ ）千米处停下来休息了（ ）分钟。
0
1
2
9:00
千米
3
10:00
11:00
小明
小军
2
10
60÷6=10（分）
例题
(2)如果他们10:30返回，那么小军和小明在公园最多能一起玩（ ）分钟。
0
1
2
9:00
千米
3
10:00
11:00
小明
小军
40
10×4=40（分）
例题
(3)小军打算10:30骑共享单车返回，平均车速100米/分，中途不休息。请在上图中表示出小军的返回过程。
0
1
2
9:00
千米
3
10:00
11:00
小明
小军
3000÷100=30（分）
例题
1.某校六（1）班期末进行了数学测试，测试结果以等级形式呈现，分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并绘制成如下图所示的两幅不完整的统计图。
0
5
10
15
20
25
优秀 良好 及格 不及格
优秀
良好
及格
不及格
10%
22
8
5
人数
等级
（ ）
（ ）
（ ）
巩固
练习
（ ）
（ ）
（1）这次数学测试，六（1）班共有（ ）名学生参加了考试。
0
5
10
15
20
25
优秀 良好 及格 不及格
优秀
良好
及格
不及格
10%
22
8
5
人数
等级
5÷10%=50（名）
（ ）
50
巩固
练习
（ ）
（ ）
（ ）
（2）等级为“优秀”的学生有（ ）名，比等级为“不及格”的学生多（ ）%。请把两张统计图都补充完整。
0
5
10
15
20
25
优秀 良好 及格 不及格
优秀
良好
及格
不及格
10%
22
8
5
人数
等级
15
44%
30%
16%
50-22-8-5=15（名）
30%÷10%-1=200%
15
200
15÷50=30%
22÷50=44%
8÷50=16%
巩固
练习
（ ）
（ ）
（ ）
（3）扇形统计图中，“优秀”等级所对应的扇形,以圆心为顶点的角的度数为（ ）°。
0
5
10
15
20
25
优秀 良好 及格 不及格
优秀
良好
及格
不及格
10%
22
8
5
人数
等级
15
44%
30%
16%
360°×30%=108°
108
巩固
练习
（ ）
（ ）
（ ）
（4）如果该学校六年级共有800名学生都参加了测试，那么请你估计一下,这次数学测试有( )名同学的等级为“优秀”。
0
5
10
15
20
25
优秀 良好 及格 不及格
优秀
良好
及格
不及格
10%
22
8
5
人数
等级
15
44%
30%
16%
800×30%=240（名）
240
巩固
练习
（5）我们常用及格率来衡量一个班级的学，评选优秀班级，如下表。
请你算一下，这个班能评为良好班级吗？
0
5
10
15
20
25
优秀 良好 及格 不及格
优秀
良好
及格
不及格
10%
22
8
5
人数
等级
15
44%
30%
16%
及格率 86%以下 86%~93% 94%~99% 100%
荣誉称号 不合格班级 合格班级 良好班级 优秀班级
1-10%=90%
不能评,是合格班级
93%>90%>86%
巩固
练习
超市里
骑车
书店里
路程/米
书店
乐乐家
8:30
时间
离家距离与时间关系图
时间分配图
8:39
10:00
10:07
步行
2. 星期天早上8:30，乐乐步行去书店买书，买完书后骑着共享单车回家。返回途中，路过超市，乐乐进去玩了一会儿后又骑车回家了。关系图和时间分配图如下，已知步行和汽车的速度比是1:3。
巩固
练习
超市里
骑车
书店里
路程/米
书店
乐乐家
8:30
时间
离家距离与时间关系图
时间分配图
8:39
10:00
10:07
步行
（1）乐乐到书店的时间是（ ）。
10:07-10:00=7（分）
7×3=21（分）
8时39分+21分=9时
9：00
巩固
练习
超市里
骑车
书店里
路程/米
书店
乐乐家
8:30
时间
离家距离与时间关系图
时间分配图
8:39
10:00
10:07
步行
（2）乐乐在超市里的时间一共是（ ）分钟。
9:00-8:30=30（分）
30÷3=10（分）
10:00-9:00=1（时）=60（分）
20
30×4-60-10-30=20（分）
巩固
练习
超市里
骑车
书店里
路程/米
书店
乐乐家
8:30
时间
离家距离与时间关系图
时间分配图
8:39
10:00
10:07
步行
（3）乐乐出超市时离自己家还有600米，乐乐家到书店相距（ ）米，乐乐步行的速度是（ ）米/分。
10-7=3（分）
600÷3×10=1800（分）
18000÷30=60（米/分）
1800
60
巩固
练习
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