函数单调性与最大（值）专项练习解析与答案
1、函数的单调递减区间为
A． B． C． D．
解函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选：A．
2、下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
解：y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.
3、函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是( )
A. 递减函数 B. 递增函数C. 先递减再递增 D. 先递增再递减
解：由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.
4、函数在上是减函数．则（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B．
5、已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
解：∵函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2．故选：B．
6、若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解：因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.
7、函数的减区间是（ ）
A． B． C．， D．
解：由图象知单调减区间为，C
8、如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3
解：函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.
9、函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]
解：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.
10、下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－ B．y＝xC．y＝x2 D．y＝1－x
解：函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.
11、函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
解：因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．
12、函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a13、设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是____．
解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
14、函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
15、函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
解：－3 解析： f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意得＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝3.
16、求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.
证明：在区间上任取，
则
因为，故可得；又因为，故可得.
故，即.故在区间上单调递增.
17、证明在其定义域上是增函数.
证明：函数的定义域为设且，
因为，所以，所以，即
所以在其定义域上是增函数.
18、用定义法证明函数在定义域内是减函数．
解：设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2；
则f（x1）–f（x2）=–x1–（–x2）=–+（x2–x1）
=+（x2–x1）=（x1–x2）（–1）∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1<0，
则f（x1）–f（x2）<0，∴函数在R上是减函数．
19、求下列函数的单调区间．
（1）f（x）＝3|x|；（2）f（x）＝|x2＋2x－3|．
解：（1）由题意，函数，图象如图所示，所以函数f（x）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．
（2）令，作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，即可得到函数的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．
20、求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.
解：（1）函数f（x）＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，
并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f（x）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．
f（x）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．
21、函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
证明 设x1>x2>－1，则y1－y2＝－＝.
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
22、试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明 f(x)＝2＋，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
23、证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． 证明 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1∴>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
24、写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解： (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
(2)先画出f(x)＝的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．函数单调性与最大（值）专项练习
1、函数的单调递减区间为
A． B． C． D．
2、下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
3、函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是( )
A. 递减函数 B. 递增函数C. 先递减再递增 D. 先递增再递减
4、函数在上是减函数．则（ ）
A． B． C． D．
5、已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
6、若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7、函数的减区间是（ ）
A． B． C．， D．
8、如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3
9、函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]
10、下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－ B．y＝xC．y＝x2 D．y＝1－x
11、函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
12、函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a13、设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是____．
14、函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
15、函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
16、求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.
17、证明在其定义域上是增函数.
18、用定义法证明函数在定义域内是减函数．
19、求下列函数的单调区间．
（1）f（x）＝3|x|；（2）f（x）＝|x2＋2x－3|．
20、求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.
21、函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
22、试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
24、写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
