第21章 一元二次方程 单元测试卷（含解析）

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人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷
班级________ 姓名________ 成绩________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝2
2．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，3，﹣4 B．0，3，4 C．0，﹣3，4 D．1，﹣3，﹣4
3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A． B． C．2 D．
4．方程 （x﹣2）2＝4（x﹣2）的解为（　　）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣6 D．6或2
5．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
7．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
8．2022年2月6日，中国女足获得亚洲杯冠军！某传媒发布的参赛队员简介视频两天的点击量由原来的5万飙升至150万，若设每天点击量的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A．5（1+x）2＝150 B．5+5（1+x）+5（1+x）2＝150
C．5x2＝150 D．5+5x+5x2＝150
9．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．一元二次方程x2＝7x的解是 　 　．
12．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　．
13．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是 　 　．
14．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 　 　．
15．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是 　 　．
16．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分46分）
17．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2）；
（2）2x2﹣3x＝1．
18．（5分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多售2件．商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
19．（5分）为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长为58米的铁皮围成，两面墙的夹角为90°，铁皮与墙面均垂直，其中CD边上留有宽2米的通道，且边CD的长不小于30米．若仓库的面积是800平方米，则BC的长应为多少米？
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
21．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
22．（8分）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；
解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0
∴，解得．请解决以下问题：
（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求yx的值；
（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？
23．（9分）阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范围；
解：令x2+2x+5＝y
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　 　；
（2）求出代数式的取值范围；
（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．x2＝6是一元一次方程，故本选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；
故选：B．
2．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为﹣4．
故选：D．
3．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
4．【解答】解：（x﹣2）2＝4（x﹣2），
移项，得（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝0，
整理，得（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝0．
所以x﹣2＝0或x﹣6＝0．
所以x1＝2，x2＝6．
故选：D．
5．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，
故选：A．
6．【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选：B．
7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，
解得m＜，
故选：A．
8．【解答】解：由题意可得，
5+5（1+x）+5（1+x）2＝150，
故选：B．
9．【解答】解：设八年级共有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝21，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7，
∴八年级共有7个班．
故选：C．
10．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【解答】解：x2﹣7x＝0，
x（x﹣7）＝0，
x＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝0，x2＝7．
故答案为：x1＝0，x2＝7．
12．【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
∴a≠1，
故答案为：a≠1．
13．【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，
∴2a2﹣a﹣5＝0，
∴2a2﹣a＝5，
∴4a2﹣2a＝10，
∴2a﹣4a2+1＝﹣10+1＝﹣9，
故答案为：﹣9．
14．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，
∴3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）＝3×8﹣（﹣3）＝27．
故答案为：27．
16．【解答】解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，
整理，得
（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
则a2+b2＝4．
故答案是：4．
三．解答题（共7小题，满分46分）
17．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2），
（x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0，
x﹣＝2＝0或x﹣2﹣5＝0，
所以x1＝2，x2＝7；
（2）2x2﹣3x＝1，
2x2﹣3x﹣1＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
18．【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
答：每件衬衫应降价10元或20元．
19．【解答】解：设CD＝x米，则BC＝（58+2﹣x）米，
依题意得：x（58+2﹣x）＝800，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝40，
∴58+2﹣x＝58+2﹣40＝20．
答：BC的长应为20米．
20．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
21．【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
根据题意，可得（1+x）2＝121，
解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；
（2）根据题意，121×10＝1210（名），
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
22．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，
∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，
∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，
∴x+2y＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣4，y＝2，
∴yx＝2﹣4＝；
（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
解得：a＝6，b＝4，
由△ABC中最长的边是c，
∴6≤c＜10，
∵c为偶数，
∴c可能是6或8．
23．【解答】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，
∵△≥0，
∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y，
而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，
∴a＝6或a＝﹣6．
（2）设y＝，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，
∵△≥0，
∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，
先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2＝﹣，
∴根据材料二得y或y≥﹣2．
（3）设y＝，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，
∵△≥0，
∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，
整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，
由已知可得﹣4≤y≤7，
根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，
代入整理得，
解得或．
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