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专题07 垂径定理
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用垂径定理求值
1．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
2．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
考查题型二 利用垂径定理求平行弦问题
6．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8
8．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
考查题型三 利用垂径定理求同心圆问题
10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
11．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
12．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
13．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲 C．乙组 D．两组都可以
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
考查题型四 垂径定理的实际应用
16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
17．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
18．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
19．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
20．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
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专题07 垂径定理
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用垂径定理求值
1．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【详解】
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
2．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
4．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
【详解】
解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选A．
5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【详解】
连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选：C.
考查题型二 利用垂径定理求平行弦问题
6．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
【详解】
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：C．
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8
【详解】
解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
8．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【详解】
解：如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE=AB= 24=12,
CF=CD= 10=5,
OE===5,
OF===12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
考查题型三 利用垂径定理求同心圆问题
10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【详解】
解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
11．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【详解】
如图，设AB与小圆切于点O，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC==3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．
12．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【详解】
解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
13．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
OA2-OC2=AC2=（AB）2=9，
所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π，
故选：C．
14．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲 C．乙组 D．两组都可以
【详解】
解：甲、乙两组的做法都可以，
乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：D．
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【详解】
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
考查题型四 垂径定理的实际应用
16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【详解】
连接，
∵，∴，
设，则，
在Rt中，，
∴．∴．
解得，∴⊙的直径为26寸．
17．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
【详解】
（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
18．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
【详解】
解：过点O作OD⊥AB，垂足为点D，连接OA．
∵AB=12，∴AD=AB=×12=6．
∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8．
在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，
∴．
答：⊙O的半径为10．
过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长．
19．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
【详解】
解：如图，过点O作交AB于点C，连接OB，则.
是半径，，.
在中，设半径为xmm，
由勾股定理，得.
，解得.
该管道的直径是1000mm.
20．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
【详解】
利用垂径定理求出AD的长，再利用勾股定理建立方程即可求解.
解：如图所示，连接AO，
∵CD⊥AB且过圆心O，
∴AD=AB=×12=6米，
设半径为r米，
∴OA=OC=r米，
∴OD=CD﹣OC=（9﹣r）米，
∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
∴r2=（9﹣r）2+62，
解得：r=6.5．
故⊙O的半径为6.5米．
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