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高中数学人教A版（2019）必修一 3.3 幂函数
一、单选题
1．（2022高一上·泸州期末）已知幂函数经过点，则（ ）
A． B．9 C．27 D．81
【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，则有，可得
故，则
故答案为：C
【分析】由幂函数的解析式，代入数值计算出的取值，由此得出函数的解析式，再把数值代入打函数解析式，计算出结果即可。
2．（2021高一上·运城月考）已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ）
A．1或-3 B．3 C．-1 D．-1或3
【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】函数是幂函数，则或，当时在上是减函数，不合题意；当时在上是增函数，成立.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，从而求出实数m的值。
3．（2020高一上·邯郸期末）已知幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．-2或1
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由于 为幂函数，所以 或 ；又函数 在 上单调递减，故当 时符合条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出m的值，再结合幂函数的单调性，进而求出满足要求的实数m的值。
4．（2021高三上·桂林月考）函数 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】幂函数的图象
【解析】【解答】函数 ，满足 ，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D不符合题意；该函数是幂函数 ， ，故该函数是增函数，且增长得越来越快，A符合题意，BC不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除D，再由幂函数的单调性即可排除选项B、C，由此得到答案。
5．（2021高一上·容县期中）如图是幂函数 的部分图象，已知α取 ，2， ， 这四个值，则与曲线 ， ， ， 相应的α依次为（ ）
A．2， ，- ，-2 B．-2，- ， ，2
C．- ，2，-2， D．2， ，-2，-
【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：根据幂函数的图象与性质，图象越靠近x轴，指数越小，则曲线 ， ， ， 相应的α依次为，
故答案为：Ａ
【分析】根据幂函数的图象与性质求解即可．
6．（2020高一上·滨州期末）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由图象可知，当 时， ，则
故答案为：B
【分析】 根据幂函数在第一象限内的图象与性质，判断a、b、c、d的大小．
7．（2020高一上·合肥期末）已知函数 是幂函数，对任意 ， ，且 ，满足 ，若 ， ，且 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵函数 是幂函数，
∴ ，解得：m= -2或m=3．
∵对任意 ， ，且 ，满足 ，
∴函数 为增函数，
∴ ，
∴m=3（m= -2舍去）
∴ 为增函数．
对任意 ， ，且 ，
则 ，∴
∴ ．
故答案为：A
【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解。
二、多选题
8．（2021高一上·邯郸期中）已知函数 的图象经过点 ，则（ ）
A． 的图象经过点（2，4）
B． 的图象关于原点对称
C． 在 上单调递减
D． 在 内的值域为
【答案】B,C,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】将点 代入 ，可得 ，则 ，
f（x）的图象不经过点（2，4），A不符合题意；
根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义可以得到幂函数的解析式，结合幂函数的性质判断即可
9．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
三、填空题
10．（2022高一下·盐田月考）已知幂函数的图像过点，则 .
【答案】2
【知识点】幂函数的图象
【解析】【解答】根据幂函数定义得，，所以，又图像过点，
所以，解得，所以.
故答案为：2.
【分析】 根据幂函数的定义求出m的值，代入点的坐标求出n的值，求出mn的值即可.
11．（2021高一上·齐齐哈尔期末）若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝ .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数是偶函数，成立，
当时，函数是奇函数，不成立。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的取值，再结合分类讨论的方法结合偶函数的定义，进而求出满足要求的m的值。
12．（2021高一上·湖北月考）已知幂函数为定义域上的奇函数，则 .
【答案】-1
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质
【解析】【解答】函数为幂函数，则，解得：或
又函数为奇函数，则为奇数，故
故答案为：-1
【分析】首先由幂函数的定义即可得出关于t的方程，求解出t的取值从而得出函数的解析式，结合奇函数的定义代入验证即可得出答案。
13．（2022高一上·越秀期末）函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
【分析】 由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈(0， +∞)上是减函数，故其幂指数为负，由此求出实数m的值.
14．（2021高一上·天津市期中）已知幂函数在为增函数，则实数的值为 .
【答案】4
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4
【分析】根据题意由幂函数的单调性以及概念，即可求出a的取值。
15．（2022高二下·宁波期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ．
【答案】-1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数为奇函数，
所以或1或3，
又因为幂函数在上单调递减，
所以，
故答案为：-1.
【分析】由已知条件结合幂函数的定义计算出a的取值，结合幂函数的单调性即可得出答案。
四、解答题
16．（2021高一上·房山期末）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的图象经过点结合代入法，从而求出的值， 进而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上递增， 再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而求出满足条件 的实数的取值范围。
17．（2020高一上·海东期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式．
（2）证明：函数 在区间 上单调递减．
【答案】（1）解：设 ，
因为 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可知 ，
任取 ，令 ，
则 ．
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
即 ，
故 在区间 上单调递减．
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】 (1)设幂函数 ，由幂函数f (x)的图象经过点P (2， 4)，利用待定系数法能求出 的解析式；
(2) 由（1）可知 ，利用单调性的定义即可证出函数函数 在区间 上单调递减．
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高中数学人教A版（2019）必修一 3.3 幂函数
一、单选题
1．（2022高一上·泸州期末）已知幂函数经过点，则（ ）
A． B．9 C．27 D．81
2．（2021高一上·运城月考）已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ）
A．1或-3 B．3 C．-1 D．-1或3
3．（2020高一上·邯郸期末）已知幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．-2或1
4．（2021高三上·桂林月考）函数 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021高一上·容县期中）如图是幂函数 的部分图象，已知α取 ，2， ， 这四个值，则与曲线 ， ， ， 相应的α依次为（ ）
A．2， ，- ，-2 B．-2，- ， ，2
C．- ，2，-2， D．2， ，-2，-
6．（2020高一上·滨州期末）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·合肥期末）已知函数 是幂函数，对任意 ， ，且 ，满足 ，若 ， ，且 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
二、多选题
8．（2021高一上·邯郸期中）已知函数 的图象经过点 ，则（ ）
A． 的图象经过点（2，4）
B． 的图象关于原点对称
C． 在 上单调递减
D． 在 内的值域为
9．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
三、填空题
10．（2022高一下·盐田月考）已知幂函数的图像过点，则 .
11．（2021高一上·齐齐哈尔期末）若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝ .
12．（2021高一上·湖北月考）已知幂函数为定义域上的奇函数，则 .
13．（2022高一上·越秀期末）函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 .
14．（2021高一上·天津市期中）已知幂函数在为增函数，则实数的值为 .
15．（2022高二下·宁波期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ．
四、解答题
16．（2021高一上·房山期末）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
17．（2020高一上·海东期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式．
（2）证明：函数 在区间 上单调递减．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，则有，可得
故，则
故答案为：C
【分析】由幂函数的解析式，代入数值计算出的取值，由此得出函数的解析式，再把数值代入打函数解析式，计算出结果即可。
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】函数是幂函数，则或，当时在上是减函数，不合题意；当时在上是增函数，成立.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，从而求出实数m的值。
3．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由于 为幂函数，所以 或 ；又函数 在 上单调递减，故当 时符合条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出m的值，再结合幂函数的单调性，进而求出满足要求的实数m的值。
4．【答案】A
【知识点】幂函数的图象
【解析】【解答】函数 ，满足 ，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D不符合题意；该函数是幂函数 ， ，故该函数是增函数，且增长得越来越快，A符合题意，BC不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除D，再由幂函数的单调性即可排除选项B、C，由此得到答案。
5．【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：根据幂函数的图象与性质，图象越靠近x轴，指数越小，则曲线 ， ， ， 相应的α依次为，
故答案为：Ａ
【分析】根据幂函数的图象与性质求解即可．
6．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由图象可知，当 时， ，则
故答案为：B
【分析】 根据幂函数在第一象限内的图象与性质，判断a、b、c、d的大小．
7．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵函数 是幂函数，
∴ ，解得：m= -2或m=3．
∵对任意 ， ，且 ，满足 ，
∴函数 为增函数，
∴ ，
∴m=3（m= -2舍去）
∴ 为增函数．
对任意 ， ，且 ，
则 ，∴
∴ ．
故答案为：A
【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解。
8．【答案】B,C,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】将点 代入 ，可得 ，则 ，
f（x）的图象不经过点（2，4），A不符合题意；
根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义可以得到幂函数的解析式，结合幂函数的性质判断即可
9．【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
10．【答案】2
【知识点】幂函数的图象
【解析】【解答】根据幂函数定义得，，所以，又图像过点，
所以，解得，所以.
故答案为：2.
【分析】 根据幂函数的定义求出m的值，代入点的坐标求出n的值，求出mn的值即可.
11．【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数是偶函数，成立，
当时，函数是奇函数，不成立。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的取值，再结合分类讨论的方法结合偶函数的定义，进而求出满足要求的m的值。
12．【答案】-1
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质
【解析】【解答】函数为幂函数，则，解得：或
又函数为奇函数，则为奇数，故
故答案为：-1
【分析】首先由幂函数的定义即可得出关于t的方程，求解出t的取值从而得出函数的解析式，结合奇函数的定义代入验证即可得出答案。
13．【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
【分析】 由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈(0， +∞)上是减函数，故其幂指数为负，由此求出实数m的值.
14．【答案】4
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4
【分析】根据题意由幂函数的单调性以及概念，即可求出a的取值。
15．【答案】-1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数为奇函数，
所以或1或3，
又因为幂函数在上单调递减，
所以，
故答案为：-1.
【分析】由已知条件结合幂函数的定义计算出a的取值，结合幂函数的单调性即可得出答案。
16．【答案】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的图象经过点结合代入法，从而求出的值， 进而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上递增， 再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而求出满足条件 的实数的取值范围。
17．【答案】（1）解：设 ，
因为 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可知 ，
任取 ，令 ，
则 ．
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
即 ，
故 在区间 上单调递减．
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】 (1)设幂函数 ，由幂函数f (x)的图象经过点P (2， 4)，利用待定系数法能求出 的解析式；
(2) 由（1）可知 ，利用单调性的定义即可证出函数函数 在区间 上单调递减．
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