高中数学人教A版（2019）必修一 3.4 函数的应用（一）

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高中数学人教A版（2019）必修一 3.4 函数的应用（一）
一、单选题
1．（2020高一上·沈阳期中）已知f(x)= ，则 的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为f(x)= ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】根据分段函数f(x)= ，求得 即可.
2．（2021高二下·滨海期末）给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ，则 的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用
【解析】【解答】解：令 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 或 时， ，
所以，函数 的最大值为3。
故答案为：C．
【分析】利用给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ， 从而求出分段函数的解析式，再利用分段函数的解析式求出函数 的最大值。
3．（2020高一上·泉州期中）已知函数f (x)= ，若f (x)=1，则x =（　　）
A．-1或 B．1 C．-5 D．1或-5
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
综上， 或 ，
故答案为：D
【分析】分 和 两种情况解方程可得结果
4．（2020高一上·武威月考）设f（x）＝ 若f（x）＞－1，则实数x的取值范围为（　　）
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(-1，0)
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 或 ，所以 .
综上，实数x的取值范围为 或 .
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的定义域，先分段讨论 时与 时各分段的解集，最后将各种情况得出的结果求并集即可.
5．（2020高一上·天津期中）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：①当 时， ，
，
解得： ，
，②当 时， ，
，
解得： ，
，
综上所述，实数 的取值范围是： ， ，
故答案为：A．
【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件 ， 从而求出实数a的取值范围。
6．（2022高二下·武功月考）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】如图，作出函数和的大致图象.
，得，解得，，
注意到点A是二次函数图象的最低点，
所以若，则当时，单调递减，不符合题意；
当时符合题意；
当时，则，在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；
当时，符合题意.
所以m的取值范围为：或.
故答案为：D
【分析】作出函数和的大致图象，如图，联立直线和抛物线方程求出点A、B的横坐标，对m取、、、情况分类讨论，利用数形结合的数学思想即可得出结果.
7．（2020高一上·宁县月考）已知函数f(x)＝ 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知实数a满足
解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0，2]．
故答案为：D.
【分析】根据分段函数的单调性可以得出 ，解出a的范围，从而求出答案.
8．（2020高一上·怀仁期中）若函数 在R上为单调增函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】因为函数 在R上为增函数，
所以
故答案为：D。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数图象判断分段函数的单调性，再利用已知条件函数 在R上为增函数，从而求出实数k的取值范围。
二、多选题
9．（2020高一上·滨州期中）已知函数 ， ，则（　　）
A． 是增函数 B． 是偶函数
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；分段函数的应用
【解析】【解答】对于函数
当 时， 显然单调递增；当 时， 是开口向上，对称轴为 的二次函数，所以在 上单调递增；且 ，所以函数 在定义域内是增函数；A符合题意；
又 ，所以 ，C不符合题意；
对于函数 ， ，所以 是偶函数，B符合题意；
又 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】根据函数解析式，先分别判断单调性以及奇偶性，再求函数值，即可得出答案。
10．（2020高一上·汕尾期末）设函数 ，若关于 的方程 有两个实根，则 的取值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】B,D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 的图象如下，
故当 或 时， 有两个实根.
故答案为：BD.
【分析】根据分段函数的解析式，先画出图像，观察图像即可求出答案。
三、填空题
11．（2020高一上·南京期中）函数 的值域为　 　.
【答案】（-1，+∞）
【知识点】函数的值域；分段函数的应用
【解析】【解答】解：当 时， 在 上单调递增，所以 ，
当 时， 在 上单调递减，所以 ，
综上， 的值域为（-1，+∞），
故答案为：（-1，+∞）
【分析】由分段函数的性质结合一次函数的单调性以及二次函数的单调性即可求出函数的最值即为该函数的值域。
12．（2020高三上·贵溪月考）已知函数 ，若 ，则 　 　.
【答案】-2
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 ，且 ，
因为 无解，
，
故答案为：-2
【分析】分两种求情况讨论，分别求解 即可。
13．（2022高二下·温州期末）已知函数则方程的解为　 　．
【答案】或x=1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵，
∴或，
解得或.
故答案为：或x=1.
【分析】根据分段函数解析式解方程可得方程的解.
14．（2020高一上·通州期中）已知函数 ，则 　 　；若 ， 的取值范围是　 　.
【答案】1； 或
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：易知 ；
对于 ，可知 ，或 ，
解得 或 ，
故所求的解集为： 或
故答案为：1， 或 .
【分析】 根据自变量的取值范围，所对应的解析式求解即可，不等式则需要对x的范围加以讨论求解.
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量　 　m3．
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
【答案】16
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】设用数量为 ，交纳水费为 ，由题可知 ，当 时，解得 ，
故答案为：16
【分析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
16．已知函数 是R上的减函数，则a的取值范围为　 　．
【答案】[2， ]
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】解； 是 上的减函数，
，
解可得， ．
故答案为：
【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求．
四、解答题
17．（2021·保定模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1）由题意，当 时， ，
则 ，由 是定义在 上的奇函数，
得 ，且 ，
综上：
（2）（i）当 时， ，解得 ，所以 ；
（ii）当 时， 显然成立，所以 成立；
（iii）当 时， ，解得 ；
综上：不等式的解集为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用
【解析】【分析】 (1)根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可；
(2)利用分段函数的表达式分别进行求解即可.
18．（2020高一上·合肥期末）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 千件，需另投入成本为 ，当年产量不足80千件时， (万元).当年产量不小于 千件时， (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 (千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：因为每件商品售价为0.05万元，则 千件商品销售额为 万元，
依题意得：
当 时， ，
当 时， ，
所以
（2）解：当 时， ，
此时，当 时，即 万元.
当 时， ，
此时 ，即 万元，
由于 ，
所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.
【知识点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由利润与销售额和成本之间的关系结合题意即可得出函数的解析式。
(2)由二次函数的性质以及基本不等式分别求出不同区间下的函数的最值，经过比较即可得出满足题意的函数的最大值。
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高中数学人教A版（2019）必修一 3.4 函数的应用（一）
一、单选题
1．（2020高一上·沈阳期中）已知f(x)= ，则 的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2021高二下·滨海期末）给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ，则 的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
3．（2020高一上·泉州期中）已知函数f (x)= ，若f (x)=1，则x =（　　）
A．-1或 B．1 C．-5 D．1或-5
4．（2020高一上·武威月考）设f（x）＝ 若f（x）＞－1，则实数x的取值范围为（　　）
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(-1，0)
5．（2020高一上·天津期中）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·武功月考）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高一上·宁县月考）已知函数f(x)＝ 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
8．（2020高一上·怀仁期中）若函数 在R上为单调增函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·滨州期中）已知函数 ， ，则（　　）
A． 是增函数 B． 是偶函数
C． D．
10．（2020高一上·汕尾期末）设函数 ，若关于 的方程 有两个实根，则 的取值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
三、填空题
11．（2020高一上·南京期中）函数 的值域为　 　.
12．（2020高三上·贵溪月考）已知函数 ，若 ，则 　 　.
13．（2022高二下·温州期末）已知函数则方程的解为　 　．
14．（2020高一上·通州期中）已知函数 ，则 　 　；若 ， 的取值范围是　 　.
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量　 　m3．
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
16．已知函数 是R上的减函数，则a的取值范围为　 　．
四、解答题
17．（2021·保定模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）解关于 的不等式 .
18．（2020高一上·合肥期末）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 千件，需另投入成本为 ，当年产量不足80千件时， (万元).当年产量不小于 千件时， (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 (千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为f(x)= ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】根据分段函数f(x)= ，求得 即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用
【解析】【解答】解：令 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 或 时， ，
所以，函数 的最大值为3。
故答案为：C．
【分析】利用给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ， 从而求出分段函数的解析式，再利用分段函数的解析式求出函数 的最大值。
3．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
综上， 或 ，
故答案为：D
【分析】分 和 两种情况解方程可得结果
4．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 或 ，所以 .
综上，实数x的取值范围为 或 .
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的定义域，先分段讨论 时与 时各分段的解集，最后将各种情况得出的结果求并集即可.
5．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：①当 时， ，
，
解得： ，
，②当 时， ，
，
解得： ，
，
综上所述，实数 的取值范围是： ， ，
故答案为：A．
【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件 ， 从而求出实数a的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】如图，作出函数和的大致图象.
，得，解得，，
注意到点A是二次函数图象的最低点，
所以若，则当时，单调递减，不符合题意；
当时符合题意；
当时，则，在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；
当时，符合题意.
所以m的取值范围为：或.
故答案为：D
【分析】作出函数和的大致图象，如图，联立直线和抛物线方程求出点A、B的横坐标，对m取、、、情况分类讨论，利用数形结合的数学思想即可得出结果.
7．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知实数a满足
解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0，2]．
故答案为：D.
【分析】根据分段函数的单调性可以得出 ，解出a的范围，从而求出答案.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】因为函数 在R上为增函数，
所以
故答案为：D。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数图象判断分段函数的单调性，再利用已知条件函数 在R上为增函数，从而求出实数k的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；分段函数的应用
【解析】【解答】对于函数
当 时， 显然单调递增；当 时， 是开口向上，对称轴为 的二次函数，所以在 上单调递增；且 ，所以函数 在定义域内是增函数；A符合题意；
又 ，所以 ，C不符合题意；
对于函数 ， ，所以 是偶函数，B符合题意；
又 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】根据函数解析式，先分别判断单调性以及奇偶性，再求函数值，即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 的图象如下，
故当 或 时， 有两个实根.
故答案为：BD.
【分析】根据分段函数的解析式，先画出图像，观察图像即可求出答案。
11．【答案】（-1，+∞）
【知识点】函数的值域；分段函数的应用
【解析】【解答】解：当 时， 在 上单调递增，所以 ，
当 时， 在 上单调递减，所以 ，
综上， 的值域为（-1，+∞），
故答案为：（-1，+∞）
【分析】由分段函数的性质结合一次函数的单调性以及二次函数的单调性即可求出函数的最值即为该函数的值域。
12．【答案】-2
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 ，且 ，
因为 无解，
，
故答案为：-2
【分析】分两种求情况讨论，分别求解 即可。
13．【答案】或x=1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵，
∴或，
解得或.
故答案为：或x=1.
【分析】根据分段函数解析式解方程可得方程的解.
14．【答案】1； 或
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：易知 ；
对于 ，可知 ，或 ，
解得 或 ，
故所求的解集为： 或
故答案为：1， 或 .
【分析】 根据自变量的取值范围，所对应的解析式求解即可，不等式则需要对x的范围加以讨论求解.
15．【答案】16
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】设用数量为 ，交纳水费为 ，由题可知 ，当 时，解得 ，
故答案为：16
【分析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
16．【答案】[2， ]
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】解； 是 上的减函数，
，
解可得， ．
故答案为：
【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求．
17．【答案】（1）由题意，当 时， ，
则 ，由 是定义在 上的奇函数，
得 ，且 ，
综上：
（2）（i）当 时， ，解得 ，所以 ；
（ii）当 时， 显然成立，所以 成立；
（iii）当 时， ，解得 ；
综上：不等式的解集为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用
【解析】【分析】 (1)根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可；
(2)利用分段函数的表达式分别进行求解即可.
18．【答案】（1）解：因为每件商品售价为0.05万元，则 千件商品销售额为 万元，
依题意得：
当 时， ，
当 时， ，
所以
（2）解：当 时， ，
此时，当 时，即 万元.
当 时， ，
此时 ，即 万元，
由于 ，
所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.
【知识点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由利润与销售额和成本之间的关系结合题意即可得出函数的解析式。
(2)由二次函数的性质以及基本不等式分别求出不同区间下的函数的最值，经过比较即可得出满足题意的函数的最大值。
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