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高中数学人教A版（2019）必修一 4.2 指数函数（二）
一、单选题
1．（2022高一下·岑溪期中）已知 ( ，且 )，且 ，则a的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为 ， ， ，
即 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
2．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数 的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 且 恒过定点 则函数 恒过定点 且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故答案为：B
【分析】 首先根据指数函数的性质求定点，即得函数g(x)的解新式，再判断函数的图象经过的象限。
3．（2022高一下·新余期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，
所以，
因为，，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
4．（2022·汉中模拟）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数 单调递增，且 ，而 ，
所以
。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
5．（2022高一上·海南期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题， ，对于指数函数可知在上单调递增，
因为，所以，即。
故答案为：D
【分析】利用已知条件ieh指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
6．（2021高一上·辽宁月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令，
则是单调递增函数，
当时，是增函数；当时，是减函数，
由复合函数单调性可知，
当时，单调递增，
故答案为：B
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合二次函数和正弦函数的单调性，即可得出答案。
7．（2020高一上·唐山期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 可得 或 ，
所以函数 的定义域为 或 ，
因为函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，
又函数 在R上单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为：A.
【分析】利用复合函数的单调性：增减性一致为增，不一致为减；结合二次函数以及指数函数的单调性即可得到答案。
8．（2021高一上·开封期中）已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由于函数 在 上是增函数，
则函数 在区间 上为增函数，
函数 在区间 上为增函数，且有 ，
所以， ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由一次函数和指数函数的单调性，即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
9．（2021高三上·泾阳期中）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】设死亡生物体内原有碳14含量为1，则经过n个半衰期后的含量为，由得：.
故答案为：C
【分析】经过n个半衰期后的含量为，可得，利用指数函数的单调性求解，可得答案。
10．（2022高一下·杭州期末）为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下
【答案】D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】当时，设，则，故，即，故错误；
当时，把代入可得：，，即，B不符合题意；
令，即，，解得，C不符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合已知条件由指数函数的图象和性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
二、填空题
11．（2020高一上·汝阳期中）满足方程 的 值为 ．
【答案】0
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】解：令 ，原方程化为 ，解得 或
因为 ，所以 ，即 ，解得
故答案为：0
【分析】由整体思想令，把原方程转化为关于t的一元二次方程，求出t的值从而求出x的值即可。
12．（2021高一上·河东期中）已知 ， ， ，则a，b，c三个数的大小关系是 .
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，故函数 为减函数，
，
故 ，
，故函数 为减函数，
又 ， ，
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
13．（2020高一上·漳州期末）函数 的单调递增区间为 .
【答案】（0，+∞）（或写成[0,+∞））
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】二次函数 开口向下，且对称轴为直线 ，且 ，
∴函数 的单调递增区间为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）．
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合二次函数的图象和指数函数的图象和性质即可得出答案。
14．（2021高二下·河西期末）若函数 是 上的单调递减函数，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用
【解析】【解答】解：函数 是 上的单调递减函数，
所以 ，
解得 ，
即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】首先由分段函数的单调性，结合指数函数以及一次函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
三、解答题
15．（2021高二下·乌海期末）已知函数
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 的值域是 ，求 的值.
【答案】（1）当 时，
令 ，
由 在 上单调递增，在 上单调递减，
又由 在 上单调递减，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得 在 上递减，在 上递增，
即函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）令 ，
由指数函数的性质知，要使 的值域为 ，
应使 的值域为 ，
当 时， ，此时 ，符合题意；
当 时，函数 为二次函数其值域不可能为 ，不符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)把a=-1代入函数解析式，求出函数 的单调区间，结合复合函数的单调性求得f (x)的单调区间；
(2)由指数函数的性质知，要使y=f (x)的值域是(0， +∞)，应使 的值域为R，由此可得a的值.
16．（2016高一上·慈溪期中）已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．
（1）设t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．
【答案】（1）解：设t=3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t=3x 在[﹣1，2]上是增函数，故有 ≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为
（2）解：由f（x）=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 ≤t≤9，
故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，
当t=9时，函数f（x）有最大值为 67
【知识点】指数函数综合题
【解析】【分析】（1）设t=3x，由 x∈[﹣1，2]，且函数t=3x 在[﹣1，2]上是增函数，故有 ≤t≤9，由此求得t的最大值和最小值．（2）由f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 ≤t≤9，由此求得f（x）的最大值与最小值．
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高中数学人教A版（2019）必修一 4.2 指数函数（二）
一、单选题
1．（2022高一下·岑溪期中）已知 ( ，且 )，且 ，则a的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． D．
2．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数 的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高一下·新余期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·汉中模拟）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一上·海南期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高一上·辽宁月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·唐山期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高一上·开封期中）已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高三上·泾阳期中）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（2022高一下·杭州期末）为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下
二、填空题
11．（2020高一上·汝阳期中）满足方程 的 值为 ．
12．（2021高一上·河东期中）已知 ， ， ，则a，b，c三个数的大小关系是 .
13．（2020高一上·漳州期末）函数 的单调递增区间为 .
14．（2021高二下·河西期末）若函数 是 上的单调递减函数，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
15．（2021高二下·乌海期末）已知函数
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 的值域是 ，求 的值.
16．（2016高一上·慈溪期中）已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．
（1）设t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为 ， ， ，
即 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
2．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 且 恒过定点 则函数 恒过定点 且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故答案为：B
【分析】 首先根据指数函数的性质求定点，即得函数g(x)的解新式，再判断函数的图象经过的象限。
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，
所以，
因为，，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数 单调递增，且 ，而 ，
所以
。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
5．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题， ，对于指数函数可知在上单调递增，
因为，所以，即。
故答案为：D
【分析】利用已知条件ieh指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
6．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令，
则是单调递增函数，
当时，是增函数；当时，是减函数，
由复合函数单调性可知，
当时，单调递增，
故答案为：B
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合二次函数和正弦函数的单调性，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 可得 或 ，
所以函数 的定义域为 或 ，
因为函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，
又函数 在R上单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为：A.
【分析】利用复合函数的单调性：增减性一致为增，不一致为减；结合二次函数以及指数函数的单调性即可得到答案。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由于函数 在 上是增函数，
则函数 在区间 上为增函数，
函数 在区间 上为增函数，且有 ，
所以， ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由一次函数和指数函数的单调性，即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
9．【答案】C
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】设死亡生物体内原有碳14含量为1，则经过n个半衰期后的含量为，由得：.
故答案为：C
【分析】经过n个半衰期后的含量为，可得，利用指数函数的单调性求解，可得答案。
10．【答案】D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】当时，设，则，故，即，故错误；
当时，把代入可得：，，即，B不符合题意；
令，即，，解得，C不符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合已知条件由指数函数的图象和性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】0
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】解：令 ，原方程化为 ，解得 或
因为 ，所以 ，即 ，解得
故答案为：0
【分析】由整体思想令，把原方程转化为关于t的一元二次方程，求出t的值从而求出x的值即可。
12．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，故函数 为减函数，
，
故 ，
，故函数 为减函数，
又 ， ，
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
13．【答案】（0，+∞）（或写成[0,+∞））
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】二次函数 开口向下，且对称轴为直线 ，且 ，
∴函数 的单调递增区间为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）．
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合二次函数的图象和指数函数的图象和性质即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用
【解析】【解答】解：函数 是 上的单调递减函数，
所以 ，
解得 ，
即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】首先由分段函数的单调性，结合指数函数以及一次函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
15．【答案】（1）当 时，
令 ，
由 在 上单调递增，在 上单调递减，
又由 在 上单调递减，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得 在 上递减，在 上递增，
即函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）令 ，
由指数函数的性质知，要使 的值域为 ，
应使 的值域为 ，
当 时， ，此时 ，符合题意；
当 时，函数 为二次函数其值域不可能为 ，不符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)把a=-1代入函数解析式，求出函数 的单调区间，结合复合函数的单调性求得f (x)的单调区间；
(2)由指数函数的性质知，要使y=f (x)的值域是(0， +∞)，应使 的值域为R，由此可得a的值.
16．【答案】（1）解：设t=3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t=3x 在[﹣1，2]上是增函数，故有 ≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为
（2）解：由f（x）=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 ≤t≤9，
故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，
当t=9时，函数f（x）有最大值为 67
【知识点】指数函数综合题
【解析】【分析】（1）设t=3x，由 x∈[﹣1，2]，且函数t=3x 在[﹣1，2]上是增函数，故有 ≤t≤9，由此求得t的最大值和最小值．（2）由f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 ≤t≤9，由此求得f（x）的最大值与最小值．
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