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高中数学人教A版（2019）必修一 4.3 对数
一、单选题
1．（2022高一上·广东期末）已知指数函数的图象过点，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数的运算性质
【解析】【解答】因为指数函数的图象过点，
所以，即，
所以，
故答案为：C
【分析】 首先把点(2， 4)代入(a> 0且a≠1)解得a值，然后求得 值.
2．（2022高一上·西城期末）若，则（ ）
A． B．a C．2a D．4a
【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】，
故答案为：A
【分析】由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质，可求得答案.
3．（2022高二下·宁波期末）已知，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质
【解析】【解答】由得，故
故答案为：A
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简，然后由指、对互化公式计算出结果即可。
4．（2022·浙江）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】分数指数幂；对数的运算性质
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
5．（2022高二下·杭州期末）十六 十七世纪之交，随着天文 航海 工程 贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：B.
【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解.
6．（2022·海宁模拟）设，则“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的运算性质
【解析】【解答】由且且，
故答案为：A．
【分析】利用对数的运算性质结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
二、填空题
7．（2022高一下·杭州期末）设，则 ．
【答案】16
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由得 .
故答案为：16
【分析】首先由指对互化公式，整理化简已知条件由此计算出结果。
8．（2022高二下·宁波期末）计算：等于 .
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【解答】.
故答案为：1．
【分析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质，整理化简计算出结果即可。
9．（2022高一下·富阳月考）计算 ．
【答案】7
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【解答】解：原式=3+lg(25×4)+2+0=3+2+2=7.
故答案为：7.
【分析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解.
10．（2022·廊坊模拟）已知 ，则 ，则A等于 ．
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ， .
∴ ， .
又∵ ，
，
即 ，∴ ， .
故答案为：
【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得A的值。
11．（2022高一上·虹口期末）已知，则 .
【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】由可知，，
所以。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再利用换底公式和对数的运算法则，进而得出的值。
12．（2021高一上·长宁期末）已知，，用，表示 .
【答案】
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】，，
。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换底公式和对数的运算法则，从而用，表示。
13．（2022高一上·杨浦期末）已知，用a表示= .
【答案】2-a
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：2-a。
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而用a表示。
14．（2022·浙江模拟）已知，则 .
【答案】11
【知识点】对数的运算性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由于，
从而.
故答案为：11.
【分析】根据的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入的解析式求值.
15．（2022高一下·浙江期中）设，，把用含，的式子表示，形式为 .
【答案】
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换底公式和对数的运算法则，进而用a，b表示出 。
16．（2022·南通模拟）实数，满足，则的最小值为 .
【答案】8
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为8，
故答案为：8.
【分析】由对数的运算性质得，再结合基本不等式即可求解。
三、解答题
17．（2022高一下·茂名期中）计算下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简求值。
（2）利用换底公式和对数的运算法则，从而化简求值。
18．（2022高一下·盐田月考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算即可。
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高中数学人教A版（2019）必修一 4.3 对数
一、单选题
1．（2022高一上·广东期末）已知指数函数的图象过点，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2022高一上·西城期末）若，则（ ）
A． B．a C．2a D．4a
3．（2022高二下·宁波期末）已知，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2022·浙江）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
5．（2022高二下·杭州期末）十六 十七世纪之交，随着天文 航海 工程 贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·海宁模拟）设，则“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
7．（2022高一下·杭州期末）设，则 ．
8．（2022高二下·宁波期末）计算：等于 .
9．（2022高一下·富阳月考）计算 ．
10．（2022·廊坊模拟）已知 ，则 ，则A等于 ．
11．（2022高一上·虹口期末）已知，则 .
12．（2021高一上·长宁期末）已知，，用，表示 .
13．（2022高一上·杨浦期末）已知，用a表示= .
14．（2022·浙江模拟）已知，则 .
15．（2022高一下·浙江期中）设，，把用含，的式子表示，形式为 .
16．（2022·南通模拟）实数，满足，则的最小值为 .
三、解答题
17．（2022高一下·茂名期中）计算下列各式的值.
（1） ；
（2） .
18．（2022高一下·盐田月考）计算：
（1）；
（2）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数的运算性质
【解析】【解答】因为指数函数的图象过点，
所以，即，
所以，
故答案为：C
【分析】 首先把点(2， 4)代入(a> 0且a≠1)解得a值，然后求得 值.
2．【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】，
故答案为：A
【分析】由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质，可求得答案.
3．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质
【解析】【解答】由得，故
故答案为：A
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简，然后由指、对互化公式计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】分数指数幂；对数的运算性质
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
5．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：B.
【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的运算性质
【解析】【解答】由且且，
故答案为：A．
【分析】利用对数的运算性质结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
7．【答案】16
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由得 .
故答案为：16
【分析】首先由指对互化公式，整理化简已知条件由此计算出结果。
8．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【解答】.
故答案为：1．
【分析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质，整理化简计算出结果即可。
9．【答案】7
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【解答】解：原式=3+lg(25×4)+2+0=3+2+2=7.
故答案为：7.
【分析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解.
10．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ， .
∴ ， .
又∵ ，
，
即 ，∴ ， .
故答案为：
【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得A的值。
11．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】由可知，，
所以。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再利用换底公式和对数的运算法则，进而得出的值。
12．【答案】
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】，，
。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换底公式和对数的运算法则，从而用，表示。
13．【答案】2-a
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：2-a。
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而用a表示。
14．【答案】11
【知识点】对数的运算性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由于，
从而.
故答案为：11.
【分析】根据的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入的解析式求值.
15．【答案】
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换底公式和对数的运算法则，进而用a，b表示出 。
16．【答案】8
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为8，
故答案为：8.
【分析】由对数的运算性质得，再结合基本不等式即可求解。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简求值。
（2）利用换底公式和对数的运算法则，从而化简求值。
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算即可。
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