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高中数学人教A版（2019）必修一 4.4 对数函数（一）
一、单选题
1．（2021高二上·厦门开学考）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆模拟）函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2016高一上·万全期中）函数y= 的定义域是（ ）
A． B．
C．（ ，+∞） D．（ ，+∞）
4．（2021高一上·浙江月考）函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江模拟）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高二下·嘉兴期中）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021高一上·浦城期中）已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )
A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
二、填空题
8．（2022高一上·海淀期末）函数的定义域是 .
9．（2021高二上·衡阳月考）函数的定义域为 ．
10．（2019高一上·上饶期中）已知对数函数 的图象过点M（9，2），则 =
11．（2021高一上·绥江月考）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ．
12．（2021高一上·广东期中）已知函数 是幂函数，则函数 （ 且 ）恒过定点 ．
13．（2021高一上·深圳期中）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 .
14．（2021高一下·阳江期末）函数 的值域为R，则 的取值范围是 .
三、解答题
15．（2021高一上·成都期末）已知，其中且．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）解不等式：．
16．（2021高一上·泾阳期中）已知函数（且）的图像过点.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】由题意可得： ，解得： ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：B.
【分析】由对数大于零即可得出关于x的不等式求解出x的取值范围，即可得出函数的定义域。
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以函数的定义域为
故答案为：C
【分析】根据题意由函数定义域的求法：真数大于零和被开方数大于等于零即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围由此即可得出函数的定义域。
3．【答案】A
【知识点】对数函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知，2x﹣1＞0 ①
2x﹣1≠1 ②
3x﹣2＞0 ③
综合上面三个不等式得到x＞ 且x≠1且x＞ ，
∴函数的定义域是
故选A．
【分析】观察对数的代数式，首先底数要大于零且不等于1，真数要大于零，而真数是一个开偶次方形式，被开方数需要大于零，得到三个不等式，组成不等式组，求这几个不等式的解集的交集，得到结果．
4．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】令，即时，，
所以定点的坐标为。
故答案为：B.
【分析】利用对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合换元法，从而求出x的值，再利用代入法求出y的值，从而求出定点P的坐标。
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得答案。
7．【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
所以 ，
解不等式得k≤0或k≥1。
故答案为：C
【分析】利用函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R结合判别式法，从而求出实数k的取值范围。
8．【答案】(1，+∞)
【知识点】对数函数的定义域
【解析】【解答】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是(1，+∞).
故答案为：(1，+∞)
【分析】首先由已知条件结合函数定义域的求法：真数大于零即可得出x的取值范围，由此得出函数的定义域。
9．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】解：要是函数有意义，则需满足：；解之得：，
所以的定义域为
故答案为：
【分析】根据题意由函数定义域的求法，被开方数大于等于零以及真数大于零，由此即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，从而即可得出函数的定义域。
10．【答案】-1
【知识点】对数函数的定义
【解析】【解答】设
则 ，解得
故答案为：-1.
【分析】根据题意，设函数 ，将点M（9，2）代入 ，即可解出 的值。再将 代入 的解析式，即可解出 的值。
11．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数，令，得，，即点。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合换元法，从而求出x的值，再利用代入法求出y的值，进而求出点P的坐标。
12．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由 是幂函数得 ，
故 ，
令 ，所以 .
所以 过定点 ．
故答案为：
【分析】 根据幂函数的定义求出t的值，代入曲线 中写出解析式，再求曲线 恒过的定点.
13．【答案】
【知识点】对数函数的定义；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，函数 的值域为 ，
令 ，由题意得出真数 能取到大于0的一切实数，
①当 时， ，此时 ，
此时函数 的值域为 ，符合题意；
②当 时，则有 ，解得： ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据对数函数的定义与性质，利用判别式△<0求出k的取值范围.
14．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵函数 的值域为R，
能够取到大于 的所有数，
则 ，
解得： 或 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】 首先根据题意，得到 能够取到大于 的所有数，则判别式△≥0，然后求解其范围即可.
15．【答案】（1）解：为奇函数．证明如下：
要使函数有意义，则有，
∴的定义域为，（注：不求定义域扣2分）
∵，∴为奇函数．
（2）解：，即，
当时，，即，
当时，，即，
综上：当时，解集为；当时，解集为．
【知识点】函数奇偶性的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题意利用函数的奇偶性的定义，得出结论；
(2)分 和 讨论，利用对数函数的定义域和单调性，求得x的范围.
16．【答案】（1）依题意有
∴.
（2）易知函数在上单调递增，
又，
∴解得.
∴不等式的解集为.
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出实数a的值。
（2）利用（1）求出的对数函数的解析式，再利用对数函数的单调性，从而结合对数函数的定义域，进而利用交集的运算法则，从而求出不等式 的解集 。
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高中数学人教A版（2019）必修一 4.4 对数函数（一）
一、单选题
1．（2021高二上·厦门开学考）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】由题意可得： ，解得： ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：B.
【分析】由对数大于零即可得出关于x的不等式求解出x的取值范围，即可得出函数的定义域。
2．（2022·重庆模拟）函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以函数的定义域为
故答案为：C
【分析】根据题意由函数定义域的求法：真数大于零和被开方数大于等于零即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围由此即可得出函数的定义域。
3．（2016高一上·万全期中）函数y= 的定义域是（ ）
A． B．
C．（ ，+∞） D．（ ，+∞）
【答案】A
【知识点】对数函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知，2x﹣1＞0 ①
2x﹣1≠1 ②
3x﹣2＞0 ③
综合上面三个不等式得到x＞ 且x≠1且x＞ ，
∴函数的定义域是
故选A．
【分析】观察对数的代数式，首先底数要大于零且不等于1，真数要大于零，而真数是一个开偶次方形式，被开方数需要大于零，得到三个不等式，组成不等式组，求这几个不等式的解集的交集，得到结果．
4．（2021高一上·浙江月考）函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】令，即时，，
所以定点的坐标为。
故答案为：B.
【分析】利用对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合换元法，从而求出x的值，再利用代入法求出y的值，从而求出定点P的坐标。
5．（2022·浙江模拟）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
6．（2022高二下·嘉兴期中）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得答案。
7．（2021高一上·浦城期中）已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )
A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
所以 ，
解不等式得k≤0或k≥1。
故答案为：C
【分析】利用函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R结合判别式法，从而求出实数k的取值范围。
二、填空题
8．（2022高一上·海淀期末）函数的定义域是 .
【答案】(1，+∞)
【知识点】对数函数的定义域
【解析】【解答】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是(1，+∞).
故答案为：(1，+∞)
【分析】首先由已知条件结合函数定义域的求法：真数大于零即可得出x的取值范围，由此得出函数的定义域。
9．（2021高二上·衡阳月考）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】解：要是函数有意义，则需满足：；解之得：，
所以的定义域为
故答案为：
【分析】根据题意由函数定义域的求法，被开方数大于等于零以及真数大于零，由此即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，从而即可得出函数的定义域。
10．（2019高一上·上饶期中）已知对数函数 的图象过点M（9，2），则 =
【答案】-1
【知识点】对数函数的定义
【解析】【解答】设
则 ，解得
故答案为：-1.
【分析】根据题意，设函数 ，将点M（9，2）代入 ，即可解出 的值。再将 代入 的解析式，即可解出 的值。
11．（2021高一上·绥江月考）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数，令，得，，即点。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合换元法，从而求出x的值，再利用代入法求出y的值，进而求出点P的坐标。
12．（2021高一上·广东期中）已知函数 是幂函数，则函数 （ 且 ）恒过定点 ．
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由 是幂函数得 ，
故 ，
令 ，所以 .
所以 过定点 ．
故答案为：
【分析】 根据幂函数的定义求出t的值，代入曲线 中写出解析式，再求曲线 恒过的定点.
13．（2021高一上·深圳期中）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数函数的定义；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，函数 的值域为 ，
令 ，由题意得出真数 能取到大于0的一切实数，
①当 时， ，此时 ，
此时函数 的值域为 ，符合题意；
②当 时，则有 ，解得： ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据对数函数的定义与性质，利用判别式△<0求出k的取值范围.
14．（2021高一下·阳江期末）函数 的值域为R，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵函数 的值域为R，
能够取到大于 的所有数，
则 ，
解得： 或 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】 首先根据题意，得到 能够取到大于 的所有数，则判别式△≥0，然后求解其范围即可.
三、解答题
15．（2021高一上·成都期末）已知，其中且．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）解不等式：．
【答案】（1）解：为奇函数．证明如下：
要使函数有意义，则有，
∴的定义域为，（注：不求定义域扣2分）
∵，∴为奇函数．
（2）解：，即，
当时，，即，
当时，，即，
综上：当时，解集为；当时，解集为．
【知识点】函数奇偶性的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题意利用函数的奇偶性的定义，得出结论；
(2)分 和 讨论，利用对数函数的定义域和单调性，求得x的范围.
16．（2021高一上·泾阳期中）已知函数（且）的图像过点.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）依题意有
∴.
（2）易知函数在上单调递增，
又，
∴解得.
∴不等式的解集为.
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出实数a的值。
（2）利用（1）求出的对数函数的解析式，再利用对数函数的单调性，从而结合对数函数的定义域，进而利用交集的运算法则，从而求出不等式 的解集 。
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