高中数学人教A版（2019）必修一 4.4 对数函数（二）
一、单选题
1．（2022高二下·温州期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，即，
又，所以；
故答案为：B
【分析】根据对数函数的单调性，指数函数的单调性比较大小，可得答案.
2．（2022高二下·安徽期末）已知，，，则这三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，，，
又，∴.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得答案.
3．（2022高二下·南宁期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，，所以．
故答案为：C
【分析】由指数函数和对数函数的单调性，即可比较出结果。
4．（2022高二下·番禺期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由对数运算公式得，，，
，易知，即，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换底公式和对数的运算法则，再结合对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
5．（2022高一下·十堰期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，所以．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和换底公式以及对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
6．（2021高一上·河北月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】的定义域为.
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故答案为：C
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合二次函数和对数函数的单调性，由此即可得出答案。
7．（2022·南开模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为，，，
且在单调递增，
所以，即，
故答案为：A
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性可得，结合指数函数和对数函数的单调性可得答案.
8．（2019高一上·集宁月考）函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为（ ）
A．(2， 5) B．(-1， 2) C．(-∞， 2) D．(2，+∞)
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】解 ，解得
内层函数 在 上单调递增，在 上单调递减。
外层函数 单调递减
所以 的单调递增区间
故答案为：A
【分析】首先求出定义域，再由复合函数的单调性“同增异减”判断即可
9．（2018·宁县模拟）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，则 ，
时， 为减函数；
时， 为增函数；
为增函数，
故函数 的单调递增区间是 ，
故答案为：D．
【分析】首先令，根据二次函数以及对数函数的单调性，结合符合函数的单调性：同增异减，得出结果。
10．（2021·长春模拟）如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对数函数图象特征及 与 的图象关于 轴对称，
可确定②不是已知函数图象.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数的图象与性质即可得出答案。
11．（2021高三上·辽宁月考）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】因 且 ，则 ，于是得函数 定义域为 ，
又 ，即 为奇函数﹐C不正确；
而 ，B不正确；
因 时， ， ，则 ，A不正确，D符合.
故答案为：D
【分析】先观察各选项图像，通过确定函数的奇偶性排除选项C，再通过特值法可排除选项A，B。
12．（2021·聊城模拟）函数 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】由 ，定义域为
，
所以函数为奇函数，故排除BD；
当 时， ；当 时，函数 的增长速度比 的增产速度快，所以 ，故排除C；
故答案为：A
【分析】根据奇函数及其图像特征可判断B错误，D错误，再由 时 得C错误故选A。
二、填空题
13．（2020高一上·河南期中）函数f(x)＝ 的最大值为 .
【答案】0
【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调区间
【解析】【解答】解：令 ，
对称轴为 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
函数 的最大值为： .
故答案为：0.
【分析】首先由二次函数的单调性求出二次函数的最值，再结合对数函数单调性进而求出结果。
14．（2019高一上·蚌埠月考）函数 的单调递增区间是 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 ，
可得 或 ，
所以函数的定义域为
又 在区间 的单调递减，
单调递减,
∴函数 的单调递增区间是 ,
故答案为 ．
【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论．
三、解答题
15．（2020高一上·马鞍山期末）已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并予以证明；
（2）解不等式： .
【答案】（1）解：由题意，因为 ，
所以 ，解得－2因为 ，
所以函数 为 上的奇函数；
（2）解：因为 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)先求出f(x)的定义域，观察是否关于原点对称，再求出f(-x)观察与f (x)的关系即可判断 的奇偶性；
(2)将不等式 转化为 ，然后利用对数函数单调性列出不等式组即可解出.
16．（2020高一上·开封期中）已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的奇偶性；
（3）证明：函数 在定义域上单调递减.
【答案】（1）解：令 ，可得 ，即 ，解得
函数 的定义域为
（2）解：由（1）知函数 的定义域关于原点对称
由 ，可得函数 为奇函数
（3）解：设
设
∵
∴
∴
利用对数函数 在 上单调递增有，
即
故函数 在 上单调递减．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法，结合分式不等式的解法，从而求出函数 的定义域 ；
（2） 由（1）知函数 的定义域关于原点对称 ，利用奇函数的判断方法，从而讨论出函数 的奇偶性；
（3）利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，从而证出函数 在定义域上单调递减.
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一、单选题
1．（2022高二下·温州期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·安徽期末）已知，，，则这三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·南宁期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·番禺期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一下·十堰期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高一上·河北月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·南开模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2019高一上·集宁月考）函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为（ ）
A．(2， 5) B．(-1， 2) C．(-∞， 2) D．(2，+∞)
9．（2018·宁县模拟）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·长春模拟）如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．（2021高三上·辽宁月考）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·聊城模拟）函数 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．（2020高一上·河南期中）函数f(x)＝ 的最大值为 .
14．（2019高一上·蚌埠月考）函数 的单调递增区间是 ．
三、解答题
15．（2020高一上·马鞍山期末）已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并予以证明；
（2）解不等式： .
16．（2020高一上·开封期中）已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的奇偶性；
（3）证明：函数 在定义域上单调递减.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，即，
又，所以；
故答案为：B
【分析】根据对数函数的单调性，指数函数的单调性比较大小，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，，，
又，∴.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，，所以．
故答案为：C
【分析】由指数函数和对数函数的单调性，即可比较出结果。
4．【答案】A
【知识点】换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由对数运算公式得，，，
，易知，即，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换底公式和对数的运算法则，再结合对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
5．【答案】B
【知识点】换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，所以．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和换底公式以及对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
6．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】的定义域为.
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故答案为：C
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合二次函数和对数函数的单调性，由此即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为，，，
且在单调递增，
所以，即，
故答案为：A
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性可得，结合指数函数和对数函数的单调性可得答案.
8．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】解 ，解得
内层函数 在 上单调递增，在 上单调递减。
外层函数 单调递减
所以 的单调递增区间
故答案为：A
【分析】首先求出定义域，再由复合函数的单调性“同增异减”判断即可
9．【答案】D
【知识点】对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，则 ，
时， 为减函数；
时， 为增函数；
为增函数，
故函数 的单调递增区间是 ，
故答案为：D．
【分析】首先令，根据二次函数以及对数函数的单调性，结合符合函数的单调性：同增异减，得出结果。
10．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对数函数图象特征及 与 的图象关于 轴对称，
可确定②不是已知函数图象.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数的图象与性质即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】因 且 ，则 ，于是得函数 定义域为 ，
又 ，即 为奇函数﹐C不正确；
而 ，B不正确；
因 时， ， ，则 ，A不正确，D符合.
故答案为：D
【分析】先观察各选项图像，通过确定函数的奇偶性排除选项C，再通过特值法可排除选项A，B。
12．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】由 ，定义域为
，
所以函数为奇函数，故排除BD；
当 时， ；当 时，函数 的增长速度比 的增产速度快，所以 ，故排除C；
故答案为：A
【分析】根据奇函数及其图像特征可判断B错误，D错误，再由 时 得C错误故选A。
13．【答案】0
【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调区间
【解析】【解答】解：令 ，
对称轴为 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
函数 的最大值为： .
故答案为：0.
【分析】首先由二次函数的单调性求出二次函数的最值，再结合对数函数单调性进而求出结果。
14．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 ，
可得 或 ，
所以函数的定义域为
又 在区间 的单调递减，
单调递减,
∴函数 的单调递增区间是 ,
故答案为 ．
【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论．
15．【答案】（1）解：由题意，因为 ，
所以 ，解得－2因为 ，
所以函数 为 上的奇函数；
（2）解：因为 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)先求出f(x)的定义域，观察是否关于原点对称，再求出f(-x)观察与f (x)的关系即可判断 的奇偶性；
(2)将不等式 转化为 ，然后利用对数函数单调性列出不等式组即可解出.
16．【答案】（1）解：令 ，可得 ，即 ，解得
函数 的定义域为
（2）解：由（1）知函数 的定义域关于原点对称
由 ，可得函数 为奇函数
（3）解：设
设
∵
∴
∴
利用对数函数 在 上单调递增有，
即
故函数 在 上单调递减．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法，结合分式不等式的解法，从而求出函数 的定义域 ；
（2） 由（1）知函数 的定义域关于原点对称 ，利用奇函数的判断方法，从而讨论出函数 的奇偶性；
（3）利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，从而证出函数 在定义域上单调递减.
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