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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第三节 一元二次函数与一元二次不等式
一、单选题
1．（2021高一上·兰州期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式与一元二次方程的关系，解不等式的解集即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
2．（2021高一上·缙云月考）若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．7 B．3或7 C．15 D．11或15
【答案】C
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】，
，
或，
当时，，故不能组成三角形，
当时，，故能够组成三角形，
这个三角形的周长为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次方程求根的方法，从而求出第三条边长，再利用三角形的周长公式，进而求出这个三角形的周长。
3．（2021高一上·沭阳期中）设，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】因为不等式的解集是，
则，即
即为，
解得，
即不等式的解集为
故答案为：B.
【分析】由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，结合二次函数的性质即可得到a、b、c的关系，由此整理化简不等式，结合一元二次不等式的解法求解出x的取值范围即可。
4．（2021高二上·信阳期中）若关于
的不等式
在
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】令
，其对称轴为
，
关于
的不等式
在
有解，
当
时，有
，
，即
，可得
或
．
故答案为：B．
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合一元二次函数的图象整理化简即可得出不等式
，即
，求解出m的取值范围即可。
5．（2021高一上·辽宁期中）关于 的不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】∵关于 的不等式 的解集为 ，∴ ，
∴ 可化为 ，即
∴ ，∴ ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由已知条件即可得出，再整理化简不等式得到，利用一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
6．（2021高一上·沈阳期中）已知函数f(x)= 的定义域是一切实数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】由函数f(x)＝ 的定义域为一切实数，即 在 上恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则 ，解得 .
综上可得 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由被开方数大于等于零，结合一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围。
7．（2021高一上·湖南月考）若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】令 ，解得 或 .
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，则 ，解得 ；
当 ，即 时，不等式 无解，
所以 不符合题意；
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，则 ，解得 .
综上， 的取值范围是 或 .
故答案为：D
【分析】首先由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，求出方程的两个根然后对两个根即a分情况讨论，再由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
8．（2021高一上·深圳月考）若“ ， ”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】由题得 ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，解之得 .
综上， .
故答案为：D
【分析】首先由命题为假命题，再结合一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，求解出k的取值范围即可。
9．（2020高二上·溧阳期末）若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】解：不等式 ，转化为 ，
设 ， ， ，则 ，
当 时， 取得最大值为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】由已知条件分离参数即可得出不等式，构造函数，再由一元二次方程在指定区间上的最值，结合二次函数的性质即可求出函数的最大值，从而得出a的取值范围。
10．（2021高二上·南阳期末）关于 的不等式 的解集为 ，则满足条件的一组有序实数对 的值可以是（ ）
A．(1，1) B．(-1，-1) C．(-2，-1) D．(2，1)
【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于 的不等式 的解集为 ，
所以1和2是方程 的两个实数根，且 ；
所以 ，且 ，即 ；
所以有序实数对 的值可以 ．
故答案为：B．
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，利用一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此即可得出，从而即可得出答案。
11．（2021高二上·潮州期末）已知 关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】C
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】设 ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线，
根据题意可得， ，解得 ，
因为 解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
，即 ，
解得 ，又
所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.
故答案为：C
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合方程根的情况即可得出a的取值范围 ，然后由题意即可求出a的取值，从而得出答案。
12．（2020高一上·威海期末）“ 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ 恒成立”对应的 的范围为 ，
则它的一个充分不必要条件是 的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
13．（2020高二上·禄劝月考）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程
【解析】【解答】当 时，不等式为 恒成立，符合题意；
当 时，若不等式 对任意 恒成立，
则 ，解得 ；
当 时，不等式 不能对任意 恒成立.
综上， 的取值范围是 .
故答案为：A
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，对二次项系数是否为零进行讨论，结合根的个数对判别式进行限制由此得到k的不等式求出不同情况下k的取值范围，再把几种情况并起来即可。
14．若关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．-2 D．2或-2
【答案】A
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由 的解集为 ，可知： 是 的两个根，
由韦达定理可得： ，即
故答案为：A.
【分析】由题意知方程 的两个根分别为 ，根据根与系数两根之和为 ，即可得解.
15．（2020高二上·兰州期中）对任意实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】当 时，不等式为化为 恒成立，
当 时，若对任意实数 ，不等式 恒成立，则
，解得 ，
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：A
【分析】由一元二次不等式的解法和一元二次方程之间的关系，结合一二次函数的性质得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
二、填空题
16．（2021高一上·兰山期中）对任意 ，一元二次不等式 都成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】因为对任意 ，一元二次不等式 都成立，
所以 ，
解得 ，
所以实数k的取值范围为
【分析】 由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合二次函数的性质即可得到关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
17．（2021高一上·昌吉期中）设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】因为 不等式的解集是，
所以不等式的解是或，
又不等式，可化为，
可得或，即或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，然后整理化简已知的不等式，由整体思想求解出-x的取值范围，从而即可得出x的取值范围，进而得出集合的解集。
18．（2021高二下·河西期末）若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题意，不等式 的解集是 ，
可得 和 是一元二次方程 的两个实数根，
所以 ，解得 ， ，
所以不等式 化为 ，即 ，
解得 ，即不等式的解集为 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意由韦达定理求出a与b的值，再由一元二次不等式的解法整理求出不等式的解集，由此得出答案。
三、解答题
19．（2021高一上·淮安期中）
（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；
（2）解不等式（）．
【答案】（1）解：因实数，则 =x-3++3+3=5，
当且仅当 时取“=”，
由且解得：x=4，
所以的最小值是5，此时x=4.
（2）不等式可化为，
不等式对应方程的两根为和，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或．
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由取得最值时，x的取值。
(2)首先整理化简不等式得出，然后由一元二次不等式的解法，对a分情况讨论，即可求出不等式的解集。
20．（2021高二上·洛阳期中）
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 ， .
（2）求关于 的不等式 的解集（其中 ）.
【答案】（1）解：因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以1和2为方程 的两根，
所以有 ，解得 ， ；
（2）解：因为 ，所以方程 的根为 或 ，
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合韦达定理代入数值计算出a与b的值。
(2)根据题意由一元二次不等式的解法，结合一元二次方程根的情况，对m分情况讨论，即可得出不等式的解集。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第三节 一元二次函数与一元二次不等式
一、单选题
1．（2021高一上·兰州期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（2021高一上·缙云月考）若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．7 B．3或7 C．15 D．11或15
3．（2021高一上·沭阳期中）设，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2021高二上·信阳期中）若关于
的不等式
在
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021高一上·辽宁期中）关于 的不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高一上·沈阳期中）已知函数f(x)= 的定义域是一切实数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高一上·湖南月考）若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
8．（2021高一上·深圳月考）若“ ， ”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高二上·溧阳期末）若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高二上·南阳期末）关于 的不等式 的解集为 ，则满足条件的一组有序实数对 的值可以是（ ）
A．(1，1) B．(-1，-1) C．(-2，-1) D．(2，1)
11．（2021高二上·潮州期末）已知 关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
12．（2020高一上·威海期末）“ 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020高二上·禄劝月考）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
14．若关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．-2 D．2或-2
15．（2020高二上·兰州期中）对任意实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．（2021高一上·兰山期中）对任意 ，一元二次不等式 都成立，则实数k的取值范围为 ．
17．（2021高一上·昌吉期中）设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是 .
18．（2021高二下·河西期末）若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集为 ．
三、解答题
19．（2021高一上·淮安期中）
（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；
（2）解不等式（）．
20．（2021高二上·洛阳期中）
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 ， .
（2）求关于 的不等式 的解集（其中 ）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式与一元二次方程的关系，解不等式的解集即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】，
，
或，
当时，，故不能组成三角形，
当时，，故能够组成三角形，
这个三角形的周长为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次方程求根的方法，从而求出第三条边长，再利用三角形的周长公式，进而求出这个三角形的周长。
3．【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】因为不等式的解集是，
则，即
即为，
解得，
即不等式的解集为
故答案为：B.
【分析】由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，结合二次函数的性质即可得到a、b、c的关系，由此整理化简不等式，结合一元二次不等式的解法求解出x的取值范围即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】令
，其对称轴为
，
关于
的不等式
在
有解，
当
时，有
，
，即
，可得
或
．
故答案为：B．
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合一元二次函数的图象整理化简即可得出不等式
，即
，求解出m的取值范围即可。
5．【答案】C
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】∵关于 的不等式 的解集为 ，∴ ，
∴ 可化为 ，即
∴ ，∴ ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由已知条件即可得出，再整理化简不等式得到，利用一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
6．【答案】D
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】由函数f(x)＝ 的定义域为一切实数，即 在 上恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则 ，解得 .
综上可得 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由被开方数大于等于零，结合一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围。
7．【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】令 ，解得 或 .
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，则 ，解得 ；
当 ，即 时，不等式 无解，
所以 不符合题意；
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，则 ，解得 .
综上， 的取值范围是 或 .
故答案为：D
【分析】首先由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，求出方程的两个根然后对两个根即a分情况讨论，再由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】由题得 ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，解之得 .
综上， .
故答案为：D
【分析】首先由命题为假命题，再结合一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，求解出k的取值范围即可。
9．【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】解：不等式 ，转化为 ，
设 ， ， ，则 ，
当 时， 取得最大值为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】由已知条件分离参数即可得出不等式，构造函数，再由一元二次方程在指定区间上的最值，结合二次函数的性质即可求出函数的最大值，从而得出a的取值范围。
10．【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于 的不等式 的解集为 ，
所以1和2是方程 的两个实数根，且 ；
所以 ，且 ，即 ；
所以有序实数对 的值可以 ．
故答案为：B．
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，利用一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此即可得出，从而即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】设 ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线，
根据题意可得， ，解得 ，
因为 解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
，即 ，
解得 ，又
所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.
故答案为：C
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合方程根的情况即可得出a的取值范围 ，然后由题意即可求出a的取值，从而得出答案。
12．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ 恒成立”对应的 的范围为 ，
则它的一个充分不必要条件是 的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
13．【答案】A
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程
【解析】【解答】当 时，不等式为 恒成立，符合题意；
当 时，若不等式 对任意 恒成立，
则 ，解得 ；
当 时，不等式 不能对任意 恒成立.
综上， 的取值范围是 .
故答案为：A
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，对二次项系数是否为零进行讨论，结合根的个数对判别式进行限制由此得到k的不等式求出不同情况下k的取值范围，再把几种情况并起来即可。
14．【答案】A
【知识点】一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由 的解集为 ，可知： 是 的两个根，
由韦达定理可得： ，即
故答案为：A.
【分析】由题意知方程 的两个根分别为 ，根据根与系数两根之和为 ，即可得解.
15．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】当 时，不等式为化为 恒成立，
当 时，若对任意实数 ，不等式 恒成立，则
，解得 ，
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：A
【分析】由一元二次不等式的解法和一元二次方程之间的关系，结合一二次函数的性质得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
16．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】因为对任意 ，一元二次不等式 都成立，
所以 ，
解得 ，
所以实数k的取值范围为
【分析】 由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合二次函数的性质即可得到关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
17．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】因为 不等式的解集是，
所以不等式的解是或，
又不等式，可化为，
可得或，即或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，然后整理化简已知的不等式，由整体思想求解出-x的取值范围，从而即可得出x的取值范围，进而得出集合的解集。
18．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题意，不等式 的解集是 ，
可得 和 是一元二次方程 的两个实数根，
所以 ，解得 ， ，
所以不等式 化为 ，即 ，
解得 ，即不等式的解集为 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意由韦达定理求出a与b的值，再由一元二次不等式的解法整理求出不等式的解集，由此得出答案。
19．【答案】（1）解：因实数，则 =x-3++3+3=5，
当且仅当 时取“=”，
由且解得：x=4，
所以的最小值是5，此时x=4.
（2）不等式可化为，
不等式对应方程的两根为和，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或．
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由取得最值时，x的取值。
(2)首先整理化简不等式得出，然后由一元二次不等式的解法，对a分情况讨论，即可求出不等式的解集。
20．【答案】（1）解：因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以1和2为方程 的两根，
所以有 ，解得 ， ；
（2）解：因为 ，所以方程 的根为 或 ，
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合韦达定理代入数值计算出a与b的值。
(2)根据题意由一元二次不等式的解法，结合一元二次方程根的情况，对m分情况讨论，即可得出不等式的解集。
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