第十四章《勾股定理》单元测试卷（困难）（含答案）

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华师大版初中数学八年级上册第十四章《勾股定理》单元测试卷
考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下个结论：
；；；．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
图甲是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形如图演化而成的．如图乙中的，按此规律，在线段，，，，中，长度为整数的线段有条．( )
A. B. C. D.
如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点，于点，于点，交于点若正方形与正方形的面积之比为，，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”如图现分别在，上取点，如图，使得，连接，，，记的面积为，的面积为，若正方形的面积为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
将一根长为厘米的筷子置于底面直径为厘米，高为厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为厘米，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，点在边上，于点，交于点，，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为滑轮上方的部分忽略不计( )
A. B. C. D.
如图，圆柱形玻璃板，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．( )
A. B. C. D.
如图，在一个高为，长为的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是( )
A. B. C. D.
如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面则旗杆的高度滑轮上方的部分忽略不计为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，中，度．将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______．
把两个相同大小的含角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，另外三角板的锐角顶点，，在同一直线上，若，则______．
九章算术中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高尺，圆柱底面周长尺，葛藤生于圆柱底部点，等距离缠绕圆柱周，恰好长到圆柱上底面的点．那么葛藤的长度是________尺．
如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正弦值是____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形．
在图中，作出关于直线成轴对称的图形；并直接写出的面积为______；
在图的直线上求作点，使得以、、为顶点的格点三角形是以为腰的等腰三角形；
在图的直线上找出一点，使得的值最小保留作图痕迹，并标上字母；
在图的直线上找出一点，使得的值最大保留作图痕迹，并标上字母．
已知：如图，为等边三角形，点为边上的一动点点不与、重合，以为边作等边，连接求证：，；
如图，在中，，，点为上的一动点点不与、重合，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接，类比题请你猜想：的度数；线段、、之间的关系，并说明理由；
如图，在的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接；
则题的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
连结，若，，直接写出的长。
若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”构造勾股数，就是要寻找个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和或平方差等于第三个数的平方”，即满足以下关系：
；
或
；
要满足以上、的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：
如果等式的右边也能写成“”的形式，那么它就符合的关系．
因此，只要设，，式就可化成：．
于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．
当，时，该组勾股数是______；
若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为，且，求，的值；
若一组勾股数中最大的数是是任意正整数，则另外两个数分别为______，______分别用含的代数式表示．
已知，点，分别在射线，上．
如图，若，，，，求的长．
如图，若，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的长．
如图，若，分别以，为直角边，为直角顶点在外侧做等腰直角和等腰直角，连结交于点，当点由点出发沿射线移动时，的长度是否发生改变？若不变，直接写出的长：若变化，直接写出的取值范围．
___________________________
请阅读下列材料：
已知：如图在中，，，点、分别为线段上两动点，若探究线段、、三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
已知：如图，等边三角形中，点、在边上，且，请你找出一个条件，使线段、、能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
如图，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面．
这个梯子底端离墙有多少米？
如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向也滑动了吗？为什么？
在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为米，高为米的矮台，
求高台比矮台高多少米？
求旗杆的高度；
玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．
如图所示，长方体的底面边长分别为和，高为，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多少厘米
我们知道电视机的屏幕是矩形．如图，的长度称为屏幕宽，的长度称为屏幕高，对角线的长度称为该电视机的屏幕尺寸单位：吋．
电视机的屏幕宽、屏幕高比有下列两种型号：
屏幕宽：屏幕高
Ⅰ型 ：
Ⅱ型 ：
在Ⅰ型电视机中，当屏幕宽为吋时，求该电视机的屏幕尺寸；
当Ⅱ型电视机的屏幕尺寸为吋时，求该电视机的屏幕宽与屏幕高；
已知两种型号的电视机屏幕尺寸一样，试比较它们的面积的大小．已知：，结果保留整数位
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，连接．
四边形都是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
≌，
，，设，
，故正确，
在中，，
，
，
，
，
，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：：，
：：，
，故错误，
故选：．
正确．证明，即可．
错误．可以证明，显然不是等边三角形，可得结论．
正确．证明，即可．
错误．证明：：，求出的面积即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2.【答案】
【解析】解：，
由勾股定理可得，
，
，
，
在线段，，，，中，完全平方数有，，，，
在线段，，，，中，长度为整数的线段有条，
故选：．
，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可得到结论．
本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：设交于，过作于，如图：
设正方形边长为，
正方形面积为，
正方形与正方形的面积之比为，
正方形的面积为，
，
由已知可得：，，，
≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得或舍去，
，，
，
，
，
，，
，即为中点，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
和是等腰直角三角形，
∽，
，
，
，
，
故选：．
设交于，过作于，设正方形边长为，根据正方形与正方形的面积之比为，得，证明≌，可得，设，在中，，可解得，有，，从而可得，，，即知为中点，，由∽，得，，即得，而，又∽，得，即，故CH．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关线段的长度．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识．
在上取点，使，过点作，垂足为判定≌，则，因为，推出当、、共线，且点与重合时，的值最小．
【解答】
解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．
在中，依据勾股定理可知．
，
，
平分，
．
在和中，
≌，
则，
当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为．
5.【答案】
【解析】解：连接，
由对称性得：，
是的中点，
，
长的最大值为，
长的最大值为，
如图，当过圆心时，最长，过作轴于，
，
，
在直线上，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
舍或，
，
点在反比例函数的图象上，
；
故选：．
作辅助线，先确定长的最大时，点的位置，当过圆心时，最长，设，则，，根据勾股定理计算的值，可得的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
6.【答案】
【解析】解：如图中，设，，
则有，
解得，
，
故选：．
如图中，设，，构建方程组求出，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、弦图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7.【答案】
【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：此时，，
故．
故的取值范围是．
故选：．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点．
，，且，
．
又，．
≌．
，，
，
，，
和都是等腰直角三角形，
设，，
，，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，
，
在中，利用勾股定理，得
．
故选：．
过点作交于点，交于点，过点作于点．证明≌，可得，，根据，，，可得和都是等腰直角三角形，设，，可得，，联立方程组可得和的值，再根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二元一次方程组，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．本题属于中考选择题的压轴题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的意义，在用勾股定理解决实际问题时，首先应根据实际问题抽象出数学图形，即画出符合题意的几何图形，构造直角三角形，然后根据勾股定理就可以顺利求出边长．
【解答】
解：如图所示，作于点，则，
设，则，，
在中，，
即，解得．
即旗杆的高度为．
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题及勾股定理，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．在侧面展开图中，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度米，
地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的意义，在用勾股定理解决实际问题时，首先应根据实际问题抽象出数学图形，即画出符合题意的几何图形，构造直角三角形，然后根据勾股定理就可以顺利求出边长．
【解答】
解：如图所示，作于点，则，
设，则，，
在中，，
即，解得．
即旗杆的高度为．
故选D．

13.【答案】
【解析】解：根据题意，得垂直平分，则．
得
根据折叠，得
再根据直角三角形的两个锐角互余得
则．
运用线段垂直平分线的性质得，根据折叠的性质得，然后根据直角三角形的性质计算．
此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
在中，，
是等腰直角三角形，
，，
两个同样大小的含角的三角尺，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
故答案为：．
过点作于，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了学生对圆柱的计算及勾股定理的实际应用能力，理解清楚题意对解题也很重要．根据题意画出平面图，则可得到大矩形的对角线的长就是葛藤的实长，根据勾股定理即可求得的长．
【解答】
解：由于枯木上下粗细相差不大，不妨设此枯木为一圆柱体，因为葛藤绕枯木七周而达顶，这样需将枯木滚动七周，表面展开成个并排的矩形，如下图：
每个矩形底边都等于尺，高都等于尺，大矩形的对角线的长就是葛藤的实长，
尺．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：、、，
，
为直角三角形，且，
则，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
的面积；
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
在图中，作出关于直线成轴对称的图形；出的面积；
在图的直线上求作点，使得以、、为顶点的格点三角形是以为腰的等腰三角形；
在图的直线上找出一点，使得的值最小；
在图的直线上找出一点，使得的值最大．
本题考查了作图轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
18.【答案】证明：如图，
和是等边三角形，
，，
在和中，
≌
≌
；
证明：如图，
即，
在与中，
≌
，
中，
中的结论还成立。
理由：
即，
在与中，
≌
，
中，
中，，
中，
是等腰直角三角形，

【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。
根据等边三角形的性质就可以得出，，，进而就可以得出≌，即可得出结论；
由≌以及等边三角形的性质，得出，则；
先判定≌，得出，，在中，根据勾股定理得出，即可得到；
运用中的方法得出；根据中，，，求得，进而得出，在中，求得，最后根据是等腰直角三角形，即可得出的长。
19.【答案】，，
【解析】解：当，时，，，，
该组勾股数是，，，
故答案为：，，；
，
，
，
，
最大的数为，
当最小时，，
解得或舍去，
又，
；
当最小时，，
解得舍去，
综上所述，，；
，
令，，则
，，
另外两个数分别为，，
故答案为：，．
将，代入计算，即可得到，，，进而得出该组勾股数是，，；
依据作差的方法即可判断出最大的数为，再分类讨论：当最小时，当最小时，分别依据最大的数与最小的数的和为，且，即可得出，的值；
先利用配方法，得到，再令，，即可得到另外两个数分别为，．
本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
20.【答案】解：，
，
又，，
；
当点在上方时，连结，作于，
，
又，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
当点在下方时，连结，作交反向延长线于，
，
可证≌，
，，
，
，
综上，的长为或；
．
【解析】
【分析】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由勾股定理解答即可；
分两种情况：当点在上方时，连结，作于；当点在下方时，连结，作交反向延长线于，分别根据全等三角形的判定与性质与勾股定理即可求得的长；
作于，根据全等三角形的判定与性质可得结果．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图示，作于，
可证≌，
，，
又，
，
，，
≌，
，
．
故答案为．
21.【答案】解：；
关系式仍然成立．
证明：将沿直线对折，得，连
≌，
，，
，，
又，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
在中，，
即；
解法二：将绕点顺时针旋转得到连接．
，，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
当时，线段、、能构成一个等腰三角形．
如图，与类似，以为一边，作，在上截取，
可得≌，≌．
，．
．
若使为等腰三角形，只需，即，
当时，线段、、能构成一个等腰三角形，且顶角为．
【解析】，将沿直线对折，得，连，容易证明≌，然后可以得到，，，，再利用已知条件可以证明≌，从而可以得到，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
根据的思路一样可以解决问题；
当时，线段、、能构成一个等腰三角形．如图，与类似，以为一边，作，在上截取，可得≌，≌，然后可以得到，由此可以得到，这样就可以解决问题．
此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
22.【答案】解：由题意得此时米，米，根据，
可得：米，
答：这个梯子底端离墙有米；
不是．
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，
得方程，，
解得：，
所以梯子向后滑动了米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．
【解析】由题意得米，米，根据勾股定理，可求出梯子底端离墙有多远．
由题意得此时米，米，由勾股定理可得出此时的，继而能和的进行比较．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：米
如图：
作，，
在和中，，
≌，
，
即
，
，
则，
所以，，
所以
由勾股定理得，
．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为米．
【解析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
由题意直接可得．
作，，可证≌，可得，，则，且可求，，即可求的长．
根据勾股定理可求，即可求的长．
24.【答案】解：将长方体展开，连接，
，，
根据两点之间线段最短，．
故所用细线最短需要厘米

【解析】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
25.【答案】解：电视机屏幕宽：屏幕高：，Ⅰ型电视机屏幕宽为吋，
：屏幕高：，
屏幕高为吋，
该电视机的屏幕尺寸为吋；
Ⅱ型电视机的屏幕宽：屏幕高：，
设屏幕宽吋，则屏幕高吋，
屏幕尺寸，
则，
负值舍去，
吋，
该电视机的屏幕宽与屏幕高分别为吋，吋；
设Ⅰ型电视机吋，则吋，
面积为：吋，屏幕尺寸吋，
设Ⅱ型电视机吋，则吋，
面积为：吋，屏幕尺寸吋，
两种型号的电视机屏幕尺寸一样，
，
，
，
，
面积比为：：：．
Ⅰ型电视机与Ⅱ型电视机面积比为：：．
Ⅰ型电视机面积更大．
【解析】根据电视机屏幕宽：屏幕高：，Ⅰ型电视机屏幕宽为吋，进而可得出结论；
根据Ⅱ型电视机的屏幕宽：屏幕高：，设屏幕宽吋，则屏幕高吋，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题；
设Ⅰ型电视机吋，则吋，面积为：吋，屏幕尺寸吋，设Ⅱ型电视机吋，则吋，面积为：吋，屏幕尺寸吋，根据两种型号的电视机屏幕尺寸一样，列出等式进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
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