高中数学新人教A版必修二滚动习题（七）[范围8.5-8.6]（Word版含解析）

新人教A版高一滚动习题（七）
1.已知直线 和平面 则下列命题中正确的是（ ）
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
2.如图所示，平面 与 的两边 分别交于点 且 ∶ ∶ 则 与 的位置关系是（ ）
A.异面 B.相交 C.平行或相交 D.平行
3.过正方体 的顶点 作直线 使 与 所成的角都相等，则这样的直线 可以作（ ）
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
4.如图，在正方形 中 分别是 和 的中点 是 的中点，现在沿 及 把这个正方形折成一个四面体，使 三点重合，重合后的点记为 则在四面体 中必有（ ）
A. 所在平面 B. 所在平面
C. 所在平面 D. 所在平面
5.在边长为 的菱形 中 把该菱形沿对角线 折起，使折起后 则二面角 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知正方形 的边长为 沿对角线 将 折起，当 与平面 所成的角最大时，三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在四面体 中 两两垂直 点 是 的中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 则点 到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在棱长为 的正方体 中 分别是 的中点，点 在正方体的表面上运动，则总能使 的点 所形成的图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
9.已知 为两条不同的直线 为两个不同的平面，给出下列命题：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中真命题的序号为 .
10.在空间四边形 中 分别是 的中点，若 且 与 所成的角为 则四边形 的面积是 .
11.如图，在三棱锥 中 平面 平面 平面 则 的形状是 .
12.如图，在五面体 中， 四边形 为平行四边形， 平面 则直线 到平面 的距离为 .
13.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形 分别为 的中点，侧面 底面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 求证：平面 平面 .
14.如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形， 为侧棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
15.如图，在长方体 中， 为 的中点， 分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
参考答案
1.【答案】:B
【解析】:对于A 若 则 或 故错误；
对于B 若 则 故正确；
对于C 若 ，则 或 故错误；
对于D 若 则 或 与 异面，故错误.故选B.
2.【答案】:D
【解析】:在 中，因为 所以 又 平面 平面 故 平面 故选D.
3.【答案】:B
【解析】:由题意知，正方体的四条体对角线 满足与 所成的角相等，其中通过点 的一条体对角线为 再将其余三条线平移到过点 即可，所以这样的直线 可以作 条.故选B.
4.【答案】:A
【解析】:在正方形 中，因为 所以在四面体中有 又 所以 所在平面.故选A.
5.【答案】:B
【解析】:取 的中点 ,连接 如图所示.在等腰三角形 和等腰三角形 中 为二面角 的平面角
为等边三角形，即 则二面角 的余弦值为 .故选B.
6.【答案】:A
【解析】:分析题意可知，当 与平面 所成的角最大时，平面 与底面 垂直，此时三棱锥的高为 底面积为 所以三棱锥 的体积为 .故选A.
7.【答案】:B
【解析】:因为 所以 平面 故 .因为 是 的中点，所以 ,又 所以 平面 则 在平面 上的射影与 在一条直线上，故直线 与平面 所成的角即为 .在 中， 故可得 .设点 到平面 的距离为 由 得 可得 .故选B.
8.【答案】:D
【解析】:如图，取 的中点 连接 则 .设 交 于点
平面 平面

正方体的棱长为 分别是 的中点，
由平面几何知识易知
又 平面
使 与 垂直的点 所构成的轨迹为矩形 (不包括 点)正方体的棱长为 矩形 的周长等于 .故选D.
9.【答案】:②
【解析】:一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面才能得到面面平行，所以①中缺少 故①错误.
两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，故②正确.
或 为异面直线，故③错误.
或 ，故④错误.
10.【答案】:
【解析】: 分别是 的中点 易知四边形 为平行四边形.
又
四边形 为菱形.
又 是异面直线 与 所成的角，即
11.【答案】:直角三角形
【解析】:过 作 因为平面 平面 且平面 平面 平面 所以 平面 所以 .又 平面 所以 又 平面 所以 平面 所以 即 是直角三角形.
12.【答案】:
【解析】:连接 作 垂足为 如图所示.因为 平面 平面 所以 平面 所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.因为 平面 平面 所以 又 所以 .又 平面 所以 平面 因为 平面 所以 又 平面 所以 平面 所以点 到平面 距离为 .由 得 .又 所以 .在 中， 又
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(1)【答案】如图所示，连接 则 是 的中点，又 为 的中点，所以 .
因为 平面 平面 所以 平面 .
【解析】:连结 ，则 是 的中点， 为 的中点，从而 ，由此能证明 平面 ．
(2)【答案】由 可得 又 所以 .
因为平面 平面 平面 平面 平面 所以 平面 所以
又 所以 平面 .
又 平面 所以平面 平面 .
【解析】:由 ，又 ，得 ，从而 平面 ，进而 平面 ，由此能证明平面 平面 ．
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(1)【答案】因为 是等腰直角三角形，且 所以 .
因为 平面 所以
又 所以 平面
(2)【答案】如图所示，取 的中点 连接 则
所以 就是异面直线 与 所成角(或其补角).
在 中，可求得
由余弦定理得
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
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(1)【答案】 分别为 的中点， .
平面 平面 平面 .
四边形 为平行四边形 .
平面 平面 平面 .
平面 平面 平面 .
(2)【答案】如图所示，作 于 连接 .
平面 平面 .
平面 平面
则 为直线 与平面 所成的角.
由 与 相似，可得
又
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
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