华东师大版八年级数学上册 13.4尺规作图（第3课时） 教案

第13章 全等三角形
13.4 尺规作图
第3课时 过一点作已知直线的垂线及作线段的垂直平分线
教学目标 1.掌握尺规作图：作直线的垂线，作已知线段的垂直平分线. 2.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握准确的作图语言. 教学重难点 重点：过已知直线外一点作这条直线的垂线，作线段的垂直平分线. 难点：分析实际作图问题，运用尺规作图，写出作图的主要画法. 教学过程 导入新课 我们知道三角形中有三种重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线. 现在只有直尺和圆规，你能用尺规作图作出三条高线、中线吗？ 探究新知 尺规作图——经过一点作已知直线的垂线 【问题1】 一个已知点与一条已知直线的位置关系有哪两种： ① ② 分析：点和直线有两种位置关系，①点在直线上；②点在直线外. 【问题2】 作平角∠AOB的平分线OC，①平角∠AOB的平分线OC与直线AB有何位置关系？ ②现在你能用尺规“经过已知直线上一点作这条直线的垂线”吗？ 分析：①平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直； ② “经过已知直线上一点作这条直线的垂线”实质上就是以这点为顶点的平角的平分线. 【问题3】 等腰三角形的性质“三线合一”，底边上的高线就是顶角的平分线，利用这个性质你能用尺规作“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”吗？ 分析：如图，以A为圆心，作能与直线a相交于C，D两点的弧，则△ACD为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线”可知，只需作出∠CAD的平分线. 【观察概括】 “经过已知直线上一点作这条直线的垂线”的实质是什么？ ②“经过已知直线外一点作这条直线的垂线” 的根据是什么？ 答：①的实质就是作平角的平分线并反向延长； ②的根据是“等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线”. 尺规作图—作线段的垂直平分线 【问题4】对于已知线段AB的垂直平分线上的任意两点C，D，总有CA＝CB，DA＝DB，由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？说说你的作法. 解：(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的一半为半径画弧，两弧交于点C和D. (2)作直线CD. 直线CD就是所要求作的线段AB的垂直平分线. 【观察概括】 如何证明直线CD就是线段AB的垂直平分线？ 证明：连结CA，CB，DA，DB. ∵ AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD， ∴ △ACD≌△BCD（S.S.S.）， ∴ ∠ACD＝∠BCD（全等三角形的对应角相等）， ∴ CD垂直平分线段AB（等腰三角形的三线合一）. 【特别注意】 作线段的垂直平分线时，必须以大于已知线段的一半为半径画弧. 【合作探究，解决问题】 例1 利用直尺和圆规作一个角等于45°. 【作法】1.作直线AB； 2.过点A作直线AB的垂线AC； 3.作∠CAB的平分线AD，∠DAB就是要求作的角. 例2 作图题： 已知：线段a，b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形.（要求只用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹） 分析：可画BC＝a，进而作BC的垂直平分线MN，交BC于点D，以点D为圆心，b为半径画弧，交射线DM于点A，连结AB，AC，△ABC就是所求的三角形. 解：如图：①作线段BC＝a； ②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D； ③在MN上截取DA，使DA＝b； ④连结AB，AC.△ABC即为所求. 例3 如图，已知△ABC. （1）作边AB的垂直平分线； （2）作∠C的平分线； （要求：不写作法，保留作图痕迹） 解： 课堂练习 1. 过直线 l 外一点 A，作 l 的垂线，下列作法中正确的是 ( ) A.过A作AB⊥l于B，则线段AB即为所求 B.过A作l的垂线，垂足是B，则射线AB即为所求 C.过A作l的垂线，垂足是B，则直线AB即为所求 D.以上作法都不正确 2.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是(　　)　　　　　　　 A B 　　　　　　　 C D 3. 已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A≠900，在AC所在的直线上求作一点P，使PA＝PB. （保留作图痕迹，不写作法） (
第
3
题
答图
)参考答案 1.C 2. B 3.解：如图所示. 课堂小结 板书设计 过一点作已知直线的垂线及作线段的垂直平分线 1.尺规作图——经过一点作已知直线的垂线 “经过已知直线上一点作这条直线的垂线”的实质就是作以这点为顶点的平角的平分线. “经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的根据是作“等腰三角形顶角的平分线”. 2.尺规作图——作线段的垂直平分线