(共25张PPT)
18.2特殊的平行四边形
18.2.2菱形（第1课时）
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
活动一：
如果从边的角度将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢
菱形
知识回顾
两组对边
分别平行
矩形
四边形
有一个角是直角
平行
四边形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
菱形
活动二
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
生活
感受
菱形就在我们身边
三菱汽车标志欣赏
感受生活
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
菱形
活动三
A
B
C
D
菱形
活动二
A
B
C
D
O
四边形ABCD是菱形，根据裁剪的过程，回答下列问题:
1、图中有哪些相等的线段？
2、图中有哪些相等的角？
3、图中有哪些特殊形状的三角形？哪些全等三角形？
4、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是 什么？对称轴间有什么关系？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴之间有什么位置关系
是 两条 AC、BD所在的直线 互相垂直
A
B
C
D
O
根据刚才的发现，猜想菱形具有哪些性质？
（1）菱形具有平行四边形的一切性质。
猜想：菱形的四条边都相等。
猜想：菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形是轴对称图形。
菱形
活动二
命题： 菱形的四条边都相等。
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形
活动二
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
∴ △ABD是等腰三角形
∵BO=DO
∴AB=AD ，BO=DO
∴AC⊥BD
即，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
菱形
活动二
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
菱形
活动二
A
D
C
B
O
∵四边形ABCD是菱形，
说说理由：
∴AD∥BC，AB∥CD (平行四边形定义）
AB=BC=CD=DA ( 菱形的性质1 )
OA=OC，OB=OD (平行四边形性质 )
AC⊥BD ( 菱形的性质2 )
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD
= ∠ADC= ∠ABC ( 菱形的性质2 )
菱形
小试身手
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝120度，则∠BAC＝_______。
3cm
30度
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
有关菱形问题可转化为直角三角形或
等腰三角形的问题来解决
菱形
小试身手
1、如图，菱形花坛ABCD的周长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
A
B
C
D
O
菱形
学以致用
生活中的数学
菱形
活动三
菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O， AC=8cm，BD=6cm，则菱形的面积为________
【菱形的面积公式】
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形= BC ● AE 2=BC●AE
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC ● BD
S菱形
菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
菱形
活动三
菱形的两条对角线互相平分
菱形的对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的对角相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形
性质归纳
已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2。求：
（1）∠ABD的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
菱形
例题精讲
1个定义
2个公式
3个特性
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
特在“边、对角线、对称性”
有关菱形问题可转化为直角三角形或
等腰三角形的问题来解决
数学思想
菱形
课堂小结
你的收获是什么？(共22张PPT)
18.2.2 菱形 (第2课时)
----菱形的判定
复习与回顾：
菱形的定义：
菱形的性质：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形性质 边 角 对角线
对边平行
四边相等
邻角互补对角相等
对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角
想一想
如果一个四边形是一个平行四边形，那么只需再满足什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
数学语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
还有其他么方法吗
判定的方法一：
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD
ABCD
ABCD
求证： 是菱形
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD; BO=BO
∴ （SAS） ∴ BA=BC
∴ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).
判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD;
∴ □ ABCD是菱形
或
判定方法2：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形。
观察下列两个图形，判断它们是不是菱形？
注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形。
例：如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AD=5，oA=4，oD=3,
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
证明:
∵AD=5 OA=4 OD=3 oc
∴AC⊥BD
∴∠AOD=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD2=OA2+OD2
学以致用：
拿出课前准备的两个全等的等腰三角形（不等边），小组交流，开动脑筋，动手拼一拼，看一下可以拼出几种平行四边形。
探究二
猜想:
当两底边重合时拼出的四边形是什么图形？它的四条边有什么样的数量关系
猜想：四条边都相等的四边形是菱形。
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形AB中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
D
A
B
C
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
判定方法3：
数学语言
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
H
G
F
E
D
C
B
A
学以致用：
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定 法二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定法三 四边相等的四边形是菱形
菱形的判定：
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
3
3
4
4
┍
反馈检测：
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形； （ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形． （ ）
╳
√
╳
╳
∟
A
D
B
C
∟
A
B
C
D
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
（1）.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
（2）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
4、选择：
24㎝
菱形
5、一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为 ，其面积为 。
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
二组对边平行或相等
判定回顾
四边形
平行四边形
两组对角相等
谢谢！
