鲁教版（五四学制）八年级数学下册 7.4二次根式的运算 教案

《二次根式的运算》教学设计
【本课设计意图】
1.二次根式的运算是鲁教版八年级下册《二次根式》这一章的核心问题，对本章的复习必须有一定的运算专题.这些运算的学习要回归到具体的性质、法则、运算律.
2.作为数学教师，我们要进一步改变既往的陈旧观念：学生运算能力的提升关键靠学生不停地练习.二次根式的运算不单单是机械反复的计算，数学运算能力的提升离不开数学教师的有效指导.教师要以提升学生的数学运算核心素养为出发点，精心思考并构建出符合学生成长规律的铺路石，才能真正把他们从“题海”中解救出来.
3.数学运算是数学学科六大核心素养之一，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.本设计亦紧紧围绕二次根式中的运算，着力提升学生的运算素养.
一、学习目标
【知识与技能】
在回顾《二次根式》这一章基本运算内容、概念、性质的基础上，构建本章计算学习方面完备的知识体系，提升运算技能.
【过程与方法】
经历探究优化二次根式运算的过程，灵活变通运算方向，寻求运算的最优解法，形成运算技巧.
【情感态度与价值观】
在不断提升运算素养基础上，增强对二次根式运算的认识，养成勤于思考、勤于总结的良好数学学习品质，增强数学学习的自信心.
二、学习重点、难点
重点：梳理《二次根式》这一章基本知识，完善知识体系，灵活运用性质、法则，提升运算正确率与速率.
难点：根据算式本身特点，选用最优的求解方法，不断提升运算素养.
三、学习准备
通晓《二次根式》这一章的基本内容，能对本章知识有较为全面的掌握，能较为准确地完成本章关于二次根式的相关运算.
四、教学过程
（一）积累与回顾
师：在《二次根式》这一章，我们学习了哪些种类的二次根式运算？有哪些重要概念？有哪些重要性质？你能说出来吗？
学生活动：依次从本章二次根式运算的种类、二次根式的概念、重要性质三个方面展开回答，其中前两个问题采取口头齐答的方式，“重要性质”采取书面呈现的形式.
教师活动：随机抽取两名学生板演二次根式的重要性质，并补充、完善学生的回答，并进行出示：
运算种类：加法，减法，乘法，除法，乘方，混合运算……
重要概念：最简二次根式，同类二次根式；
重要性质：、（a≥0）,
、（a≥0,b≥0）
、（a≥0,b＞0）
设计意图：本课的复习主要侧重二次根式的运算及优化，回顾主要运算种类切合主题.最简二次根式和同类二次根式是本章的核心概念，其中最简二次根式是运算结果的形式要求，而同类二次根式是二次根式合并的重要前提.对基本性质的回顾，为后面活用性质优化运算埋下伏笔.
（二）问题导入
师：在《二次根式》这一章的计算学习中，你认为最主要的内容是什么？
生（预设）：二次根式的运算，应用……
师：你认为怎样才能提高自己运算的准确率和速率？
生（预设）：全面掌握运算的法则、性质，运算时要认真，及时进行检查……
师：除了这些方面以外，我们还可以怎样来实现运算得又准又快呢？这节课我们一起来探究！
设计意图：引导学生思考提升二次根式运算准确率和速率的原因，引入本课学习的主要内容和方向，激发学生学习的兴趣.
（三）活动探究：二次根式的运算优化
1.明确运算目的，选择合适运算方法
教师课件出示：例1 化简二次根式：
师：请同学们先独立完成化简，然后思考是否还有其它化简的方法，并在小组内相互交流.
教师选取学生代表到黑板板演.
学生活动：呈现自己的化简过程，主要有三种，并简要说明每一种做法的主要思路.
解法1：
解法2：
解法3：
师：思考：化简上述二次根式的最终目的是什么？
生：化成最简二次根式，把分母中的无理数化成有理数.
师：如何能实现目的？如何更好地实现目的？
生：把分母中的无理数化成有理数，可以通过分子分母同乘以一个与其自身相等的数，也可以先
把它化成最简二次根式再化成有理数.
生：还可以通过分子分母直接乘以更快地实现化简目的.
师：为何要乘以呢？
生：为了使得分母得到，便于计算.
师：在做这类二次根式的化简时，我们要善于观察，在明确运算目的的基础上，选用最好的
运算办法.
教师出示巩固训练题目：化简二次根式：，学生独立完成后订正答案.
设计意图：通过设置此例，引导学生发现在二次根式的化简特别是把分母化为有理数时，可根据算式的特点灵活乘以相应的数来实现，同时作为本课优化运算方法的开始，引导学生逐渐进入思考.
2.优化运算顺序，节省运算步骤
教师课件出示：例2 计算：，并思考：本题可以沿着怎样的顺序进行运算？你觉得最好的做法是什么？
学生活动：先独立完成，然后小组内交流不同的解法，寻求最优解法，学生代表到黑板展示不同的解法，并简要说出每一种做法的思路.
解法1：
解法2：
师：你觉得哪种做法更好一些？
生：解法2.
师：你能说出这是利用了二次根式哪一条性质吗？
生：运用了二次根式的除法法则：（a≥0,b＞0）
师：灵活运用法则，优化运算顺序，可以为我们节省运算步骤，请大家快速完成巩固练习：
计算：
设计意图：结合具体实例，突出对“（a≥0,b＞0）”这个运算法则的灵活应用，同时也是进一步让学生体会活用性质法则在提升运算速率、简化运算程序方面的重要性，从而启发学生更加积极地思考.
3.逆用算式性质，“内外”及时沟通
教师课件出示：例3 计算：，并思考：观察算式的每一项，根号内外有什么特点？
学生活动：先独立完成，然后小组内交流不同的解法，寻求最优解法，学生代表到黑板展示不同的解法，并简要说出每一种做法的思路.
解法1：原式
解法2：原式
师：你是如何理解这里的“内外”以及“内外”沟通的？本质上是逆用哪一条性质？
生：“内外”指根号的内外，借用性质（a≥0）可以将根号里的转到根号外，也可以反过来（a≥0），将根号外的转到根号内.
师：根号内外要多“交流”、多“沟通”！请大家快速完成巩固练习：
计算：
设计意图：打破根号这道固有的屏障，通过对性质“（a≥0）”的逆向应用，既是对学生逆向思维的应用锤炼，又是对定式思维的挑战，从而启发学生无论是在数学运算还是其它方面的数学学习中，要有不断打破思维定式、逆用法则性质地意识和能力.
4.厘清运算结构，开拓运算视野
教师课件出示：例4 计算：，并思考：本题的运算结构是怎样的？你有哪些运算方法？
学生活动：学生充分借助小组合作，尝试用不同的方法进行运算，学生代表到黑板展示不同的解法，并简要说出每一种做法的思路.
解法1：原式=
解法2：原式=
师：对于解法2，我们有效提高了运算效率，这类做法有何特点？
生：将根号外的和根号内的分别作相关的运算，然后再作它们的乘积.
师：你能用来代表这类算式的一般性吗？
生：.
设计意图：作为数学运算素养的重要组成部分，厘清运算结构的重要性不言而喻，通过本环节的设计，进一步增强了学生善于观察的意识，开拓了运算视野.
5.活用运算律，理性思维辩证
教师课件出示：例5 计算：，并思考：你有哪些运算方法？
学生活动：在前面学习的启发之下，学生尝试寻找不同的解法.学生代表到黑板展示不同的解法，并简要说出每一种做法的思路.
解法1：原式=
解法2：原式=.
师：请大家观察解法2，这样做正确吗？有没有使用运算律？用了哪种运算律呢？
学生小组内就这些问题进行讨论，并选取代表发言.
师：说到分配律，我们只学习了乘法对加法的分配律，事实上，并没有所谓的“除法分配律”，那么你能用来推演解法的可行之处吗？
生：.
师：也就是说是成立的.
设计意图：考查学生对数学运算律（乘法对加法的分配律）的活学活用能力，通过设置易于混淆、易被误导的细节，引导学生理性数学思维的生长，从而树立起严谨、细致的数学学习品质，也是重要的求学精神.
（四）巩固训练
看谁算得又准又快！
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
教师活动：待学生完成后订正答案.
学生活动：学生代表黑板板演；教师订正答案后进行改错.
（五）总结与思考
师：这节课，我们学习了很多关于二次根式运算的新思路，也有了很多的新想法.你能谈谈
自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享.
学生谈收获.
（六）教师寄语
做好数学中的运算，不仅仅需要耐心、细致，还要掌握一定的运算技巧、方法，沿寻最优思维路线进
行运算，而这些能力的具备，来自平时的留心，思考，积累以及虚心学习的态度！
五、板书设计
二次根式的复习
回顾积累
明确运算目的，选择合适运算方法；
优化运算顺序，节省运算步骤；
运算优化： 逆用算式性质，“内外”及时沟通；
厘清运算结构，开拓运算视野；
活用运算律，理性思维辩证.
六、作业布置
完成本节课测评练习.