河南省南阳市唐河县2021-2022 学年八年级下学期数学期末试题(word版含解析)
文档属性
| 名称 | 河南省南阳市唐河县2021-2022 学年八年级下学期数学期末试题(word版含解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 824.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-02 11:21:27 | ||
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文档简介
2021-2022 学年河南省南阳市唐河县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列算式结果为﹣8 的是（ ）
A．4﹣2 B．﹣18 C．（）﹣1 D．（﹣8）0
2．（3 分）中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅 0.015
毫米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力．数据“0.015 毫米”
用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 米 C．1.5×10﹣6 米 B．0.015×10﹣3 米 D．15×10﹣4 米
3．（3 分）我市某一周的日最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则该周的日最高温度的中位数与众数分别是（ ）
A．26.5，27 B．27，28 C．27，27 D．27.5，28
4．（3 分）如图，函数 y＝kx﹣3m 的图象经过点（﹣4，0），则关于 x 的不等式 k（x+1）＞
3m 的解集是（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5
5．（3 分）已知：如图，M 是正方形 ABCD 内的一点，且 MC＝MD＝AD，则∠AMB 的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
6．（3 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，对于下列条件：①∠1+∠
3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形 ABCD 是矩形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
(
x
…
﹣
1.5
0
1
2
…
y
…
6
3
1
﹣
1
…
)7．（3 分）已知一次函数 y＝kx+b（k≠0），如表是 x 与 y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y 随 x 的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限C．关于 x 的方程 kx+b＝1 的解是 x＝1
D．该函数的图象与 y 轴的交点是（0，2）
8．（3 分）如图，点 D、E 分别是△ABC 的 BC、AC 边的中点，延长 DE 到 F，使 EF＝DE，连结 AF、AD、CF，下列说法不正确的是（ ）
当 AB＝AC 时，四边形 ADCF 是矩形
当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是菱形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是正方形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ABDF 是正方形
9．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、点 A，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例函数 y＝ （x＜0）图象
上，则 k 的值为（ ）
A．﹣42 B．﹣21 C．21 D．42
10．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，点 P 从顶点 A 出发，沿 A→B
→C 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C．图 2 是点 P 运动时，△PEC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的图象，则 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的范围是 ．
12．（3 分）点 A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线 y＝的图象上的两点，若 x1＜x2 时，
y1＞y2，则点 B（x2，y2）在第 象限．
13．（3 分）某外贸公司要出口一批规格为 200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它
们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是
（填“甲”或“乙”）．
14．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，以点 B 为圆心、BC 的长为半径画弧
交 AD 于点 E，再分别以点 C，E 为圆心、大于CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F， 作射线 BF 交 CD 于点 G，则 CG 的长为 ．
15．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 ．
三、解答题（共 75 分）
16．（10 分）（1）化简（﹣a﹣1）÷ ；
（2）解分式方程： ﹣ ＝1．
17．（9 分）为落实教育部“双减“政策，某市从 2021 年 9 月起，各中小学全面开展课后延时服务．为了了解该市甲、乙两所中学延时服务的情况，在这两所学校分别随机抽查了100 名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为 x，将所得数据分为 5 个等级
（A“很满意”：90≤x≤100；B“满意“：80≤x＜90；C“比较满意“：70≤x＜80；D
“不太满意”：60≤x＜70；E“不满意“：0≤x＜60；），将数据进行整理后，得到如图统计图和统计表．
②乙中学延时服务得分频数分布统计表
等级 满意度 得分 频数
A 很满意 90≤x≤100 15
B 满意 80≤x＜90
C 比较满意 70≤x＜80 30
D 不太满意 60≤x＜70 10
E 不满意 0≤x＜60 5
③甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
学校 平均数 中位数 众数
甲 78 79.5 80
乙 80 b 85
④乙中学的等级“B”的分数从高到低排列，排在最后的 10 个数据分别是：84，84，83，
83，83，81，80，80，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
直接写出 a 和 b 的值；
课后延时服务综合得分在 70 分及以上为合格；请你估计甲中学 3000 名家长中认为该校课后延时服务合格的人数．
小明说：“乙中学的课后延时服务比甲中学好”，你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
18．（8 分）如图所示△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC 的平分线相交于 D 点，DE⊥
BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F．
求证：四边形 CEDF 为正方形；
若 AC＝6，BC＝8，则 CE 的长为 ．
19．（9 分）如图，已知一次函数 y＝kx+b 与反比例函数的图象交于点 A（3，m）、B（n，
﹣3），Rt△AOC 的面积等于 3．
求一次函数的解析式；
直接写出不等式 的解集；
点 P 是一次函数 y＝kx+b 图象上的动点，若 CP 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，求点 P 的坐标．
20．（9 分）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 117 页的部分内容：如图
1，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
分析：要证四边形 AFCE 是菱形，由已知条件可知 EF⊥AC，所以只需证明四边形 AFCE
是 ，又知 EF 垂直平分 AC，所以只需证明 OE＝OF．
（2）【类比探究】如图 2，在 ABCD 中．
①尺规作图：作对角线 AC 的垂直平分线 EF，分别交 AD，AC，BC 与点 E，O，F，连接 AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）；
②试判断四边形 AECF 的形状并说明理由．
21．（10 分）某鞋店计划购进甲、乙两种款式的运动鞋共 300 双进行销售，进价和售价如表所示：
(
运动鞋款式
甲
乙
进价（元
/
双）
m
m
+20
售价（元
/
双）
120
160
)已知用 2400 元购进甲种运动鞋的数量与用 3000 元购进乙种运动鞋的数量相同．
求 m 的值；
试写出总利润 y（元）与购进乙种运动鞋数量 x（双）之间的函数关系式；
在销售过程中发现乙款运动鞋滞销，鞋店决定每双降价 a 元，若甲款运动鞋的售价不变，且无论乙款购进多少双，销售完这 300 双运动鞋所获利润相同，求 a 的值．
22．（10 分）某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 x 次时，所需总费用为 y 元
分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；
在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A、B、C
的坐标；
请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
23．（10 分）如图，四边形 OABC 为矩形，其中 O 为原点，A、C 两点分别在 x 轴和 y 轴上， B 点的坐标是（4，7）．点 D，E 分别在 OC，CB 边上，且 CE：EB＝5：3，将矩形 OABC沿直线 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上点 F 处．
求 F 点的坐标；
点 P 在第二象限，若四边形 PEFD 是矩形，则 D 点的坐标是 ，P 点的坐标是 ；
若 M 是坐标系内的点，点 N 在 y 轴上，若以点 M，N，D，F 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点 N 的坐标．
2021-2022 学年河南省南阳市唐河县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列算式结果为﹣8 的是（ ）
A．4﹣2 B．﹣18 C．（）﹣1 D．（﹣8）0
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A.4﹣2＝ ，故此选项不合题意；
B．﹣18＝﹣1，故此选项不合题意；
C．（）﹣1＝﹣8，故此选项符合题意；
D．（﹣8）0＝1，故此选项不合题意；故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算， 正确化简各数是解题关键．
2．（3 分）中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅 0.015
毫米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力．数据“0.015 毫米”
用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 米 C．1.5×10﹣6 米 B．0.015×10﹣3 米 D．15×10﹣4 米
【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【解答】解：0.015 毫米＝0.000015 米＝1.5×10﹣5 米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|
＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
3．（3 分）我市某一周的日最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则该周的日最高温度的中位数与众数分别是（ ）
A．26.5，27 B．27，28 C．27，27 D．27.5，28
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：处于这组数据中间位置的那个数是 27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 27．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中 28 是出现次数最多的，故众数是
28．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数
4．（3 分）如图，函数 y＝kx﹣3m 的图象经过点（﹣4，0），则关于 x 的不等式 k（x+1）＞
3m 的解集是（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当 x＞﹣4 时，kx﹣3m＞0， 所以关于 x 的不等式 kx﹣3m＞0 的解集是 x＞﹣4，
所以关于 x 的不等式 k（x+1）＞3m 的解集为 x+1＞﹣4， 即：x＞﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线 y＝kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．（3 分）已知：如图，M 是正方形 ABCD 内的一点，且 MC＝MD＝AD，则∠AMB 的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性质求得∠MAD 的度数，从而求得∠BAM＝∠ABM 的度数，利用三角形的内角和求得∠ AMB 的度数．
【解答】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，
∴△MDC 是等边三角形，
∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADM＝30°，
∴∠MAD＝∠AMD＝75°，
∴∠BAM＝15°，
同理可得∠ABM＝15°，
∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．
6．（3 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，对于下列条件：①∠1+∠
3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形 ABCD 是矩形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD 是矩形，故①正确；
②∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD 是矩形，故②正确；
③∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD 是矩形，故③正确；
④∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD 是菱形，故④错误；
能判定四边形 ABCD 是矩形的个数有 3 个， 故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、 等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7．（3 分）已知一次函数 y＝kx+b（k≠0），如表是 x 与 y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
x … ﹣1.5 0 1 2 …
y … 6 3 1 ﹣1 …
A．y 随 x 的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限C．关于 x 的方程 kx+b＝1 的解是 x＝1
D．该函数的图象与 y 轴的交点是（0，2）
【分析】先把两个点的坐标代入 y＝kx+b，求出 k、b 的值，得出函数解析式是 y＝﹣2x+3， 再逐个判断即可．
【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入 y＝kx+b 得：， 解得：k＝﹣2，b＝3，
即函数的解析式是 y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k＝﹣2，b＝3，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当 y＝1 时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1，
即方程 kx+b＝1 的解是 x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3，
∴函数的图象与 y 轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
8．（3 分）如图，点 D、E 分别是△ABC 的 BC、AC 边的中点，延长 DE 到 F，使 EF＝DE，连结 AF、AD、CF，下列说法不正确的是（ ）
当 AB＝AC 时，四边形 ADCF 是矩形
当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是菱形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是正方形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ABDF 是正方形
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形 ADCF 是平行四边形，进而利用矩形，菱形， 正方形的判定判断即可．
【解答】解：∵点 D、E 分别是△ABC 的 BC、AC 边的中点，
∴AE＝EC，
∵EF＝DE，
∴四边形 ADCF 是平行四边形，
A、当 AB＝AC 时，∴AD⊥BC，∴四边形 ADCF 是矩形，说法正确，不合题意；
B、当∠BAC＝90°时，∴AD＝DC，∴四边形 ADCF 是菱形，说法正确，不合题意； C、当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，无法得出四边形 ABDF 是正方形，说法错误，符合题意；
D、当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，∴AD⊥BC，AD＝DC，∴四边形 ABDF 是正方形，说法正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查正方形的判定，关键是利用矩形，菱形，正方形的判定解答．
9．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、点 A，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例函数 y＝（x＜0）图象上，则 k 的值为（ ）
A．﹣42 B．﹣21 C．21 D．42
【分析】过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，证明△AOB≌△BEC，可得点 C 坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵当 x＝0 时，y＝ x+4＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4；
∵当 y＝0 时，0＝x+4，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO． 在△AOB 和△BEC 中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝4+3＝7，
∴C 点坐标为（﹣7，3），
∵点点 C 在反比例函数 y＝（x＜0）图象上，
∴k＝﹣7×3＝﹣21． 故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
10．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，点 P 从顶点 A 出发，沿 A→B
→C 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C．图 2 是点 P 运动时，△PEC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的图象，则 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】从图 2 中点（4，0）得到正方形的边长＝2，当点 P 在 AB 上运动时，列出 y 的函数式，判断出点 P 在 B 点处时，△PEC 的面积最大；当点 P 在 BC 上运动时，CP 越来越小，△PEC 的面积 y 也越来越小，所以当点 P 运动到点 B 时，△PEC 的面积最大， 从而得到 a 的值．
【解答】解：∵函数图象经过点（4，0），
∴AB+BC＝1×4＝4（cm），
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∵点 E 是边 AD 的中点，
∴DE＝AE＝1，
当点 P 在 AB 上运动时，即 0＜x≤2 时，
AP＝x，BP＝2﹣x，
y＝S 正方形 ABCD﹣S△ECD﹣S△AEP﹣S△PCB
＝
＝ ，
∵ ，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝2 时，即点 P 与点 B 重合时，y 最大＝2； 当点 P 在 BC 上运动时，
这时△PEC 的高不变，底边 CP 越来越小，
∴△PEC 的面积也越来越小，
即 y 越来越小．
综上所述，点 P 运动时，△PEC 的面积的最大值是 2，则 a＝2． 故选：B．
【点评】本题考查的是动点函数图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的范围是 x≥1 且 x≠2 ．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的取值范围即可．
【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，解得 x≥1 且 x≠2． 故答案为：x≥1 且 x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
12．（3 分）点 A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线 y＝的图象上的两点，若 x1＜x2 时，
y1＞y2，则点 B（x2，y2）在第 四 象限．
【分析】根据反比例函数 y＝（k≠0）的图象与 k 的关系，确定双曲线 y＝ 的图象，再根据图象的点的坐标特征解决此题．
【解答】解：∵k2≥0，
∴﹣k2﹣1＜0．
∴双曲线 y＝的图象在第二、四象限．
∵x1＜x2 时，y1＞y2，
∴点 B（x2，y2）在第四象限． 故答案为：四．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特点，熟练掌握反比例函数 y＝（k
≠0）的图象与 k 的关系是解决本题的关键．
13．（3 分）某外贸公司要出口一批规格为 200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，
它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它
们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是甲 （填“甲”或“乙”）．
【分析】由于平均质量相同，根据图中所示两组数据波动大小可得两组数据的方差，波动越小，方差越小越稳定．
【解答】解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小， 所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小， 所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小， 表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，以点 B 为圆心、BC 的长为半径画弧
交 AD 于点 E，再分别以点 C，E 为圆心、大于CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F， 作射线 BF 交 CD 于点 G，则 CG 的长为 ．
【分析】根据作图过程可得 BF 是∠EBC 的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出 CG 的长．
【解答】解：如图，连接 EG，
根据作图过程可知：BF 是∠EBC 的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG， 在△EBG 和△CBG 中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在 Rt△ABE 中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝ ＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在 Rt△DGE 中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2， 解得 CG＝．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
15．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 16 或 4 ．
【分析】根据翻折的性质，可得 B′E 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i）当 B′D＝B′C 时，
过 B′点作 GH∥AD，则∠B′GE＝90°，
当 B′C＝B′D 时，AG＝DH＝DC＝8， 由 AE＝3，AB＝16，得 BE＝13．
由翻折的性质，得 B′E＝BE＝13．
∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，
∴B′G＝ ＝ ＝12，
∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，
∴DB′＝ ＝ ＝4
当 DB′＝CD 时，则 DB′＝16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合）．
当 CB′＝CD 时，则 CB＝CB′，由翻折的性质，得 EB＝EB′，∴点 E、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分 BB′，由折叠，得 EF 也是线段 BB′的垂直平分线，
∴点 F 与点 C 重合，这与已知“点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符， 故此种情况不存在，应舍去．
综上所述，DB′的长为 16 或 4．
故答案为：16 或 4．
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定． 三、解答题（共 75 分）
16．（10 分）（1）化简（﹣a﹣1）÷ ；
（2）解分式方程： ﹣ ＝1．
【分析】（1）原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝[﹣]÷
＝ ÷
＝
＝﹣a（a﹣1）
＝a﹣a2；
（2）去分母得：2x（5x﹣2）﹣5（2x+5）＝（2x+5）（5x﹣2），整理得：10x2﹣4x﹣10x﹣25＝10x2﹣4x+25x﹣10，
解得：x＝﹣ ，
检验：把 x＝﹣代入得：（2x+5）（5x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为 x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
17．（9 分）为落实教育部“双减“政策，某市从 2021 年 9 月起，各中小学全面开展课后延时服务．为了了解该市甲、乙两所中学延时服务的情况，在这两所学校分别随机抽查了100 名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为 x，将所得数据分为 5 个等级
（A“很满意”：90≤x≤100；B“满意“：80≤x＜90；C“比较满意“：70≤x＜80；D “不太满意”：60≤x＜70；E“不满意“：0≤x＜60；），将数据进行整理后，得到如图统计图和统计表．
②乙中学延时服务得分频数分布统计表
等级 满意度 得分 频数
A 很满意 90≤x≤100 15
B 满意 80≤x＜90
C 比较满意 70≤x＜80 30
D 不太满意 60≤x＜70 10
E 不满意 0≤x＜60 5
③甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
学校 平均数 中位数 众数
甲 78 79.5 80
乙 80 b 85
④乙中学的等级“B”的分数从高到低排列，排在最后的 10 个数据分别是：84，84，83，
83，83，81，80，80，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
直接写出 a 和 b 的值；
课后延时服务综合得分在 70 分及以上为合格；请你估计甲中学 3000 名家长中认为该校课后延时服务合格的人数．
小明说：“乙中学的课后延时服务比甲中学好”，你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
【分析】（1）先求出 B 等级对应百分比，再由百分比之和为 1 可得 a 的值，根据中位数的定义可得 b 的值；
总人数乘以样本中该校课后延时服务合格的人数所占比例即可；
根据平均数和中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）B 等级对应百分比为×100%＝40%，
∴a%＝1﹣（40%+25%+18%+7%）＝10%，即 a＝10，
b＝ ＝82；
（ 2 ） 估计甲中学 3000 名家长中认为该校课后延时服务合格的人数为 3000 ×
（10%+40%+25%）＝2250（人）；
（3）同意，
因为乙学校学生延时服务得分的平均数大于甲学校， 所以乙学校延时服务得分的平均水平比甲学校高．
【点评】此题考查了中位数、众数的意义以及用样本估计总体，正确理解各概念的含义以及运算公式是解题的关键．
18．（8 分）如图所示△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC 的平分线相交于 D 点，DE⊥
BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F．
求证：四边形 CEDF 为正方形；
若 AC＝6，BC＝8，则 CE 的长为 2 ．
【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形 CEDF 为正方形；
（2）利用三角形面积求法得出 EC 的长．
【解答】（1）证明：过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F，
∴四边形 FCED 是矩形，
又∵∠A，∠B 的平分线交于 D 点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形 FCED 是正方形；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝10，
∵四边形 CEDF 为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC， 则 EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故 EC＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识， 得出 DF＝DE 是解题关键．
19．（9 分）如图，已知一次函数 y＝kx+b 与反比例函数的图象交于点 A（3，m）、B（n，
﹣3），Rt△AOC 的面积等于 3．
求一次函数的解析式；
直接写出不等式 的解集；
点 P 是一次函数 y＝kx+b 图象上的动点，若 CP 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，求点 P 的坐标．
【分析】（1）利用反比例函数系数 k 的几何意义求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求出 A，B 的坐标即可解决问题．
观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
由于 CD 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，CE 把△ABC 分成面积比等于 2： 3 的两部分，据此即可求得 P 点的坐标．
【解答】解：（1）∵Rt△AOC 的面积等于 3，
∴ c＝3，
∴c＝6，
∴反比例函数为 y＝，
∵反比例函数 y＝的图象经过点 A（3，m）、B（n，﹣3），
∴3×m＝6，﹣3n＝6， 解得 m＝2，n＝﹣2，
∴A（3，2），B（﹣2，﹣3），
把 A、B 的坐标代入 y＝kx+b 得， 解得 ，
∴一次函数的解析式为 y＝x﹣1．
观察图象，不等式 的解集为：﹣2＜x＜0 或 x＞3．
作 BM⊥x 于 M，BN⊥y 轴于 N，AF⊥y 轴于 F，则 AC∥BM，
∴ ＝ ，
∵A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∴AC＝2，BM＝3，
∴ ＝ ，
∴CD 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，
同理 ＝ ＝ ，
∴CE 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，
∵直线 y＝x﹣1 交坐标轴于 D、E，
∴D（1，0），E（0，﹣1），
∵CP 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，
∴P（1，0）或（0，﹣1）．
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式， 一次函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想的应用．
20．（9 分）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 117 页的部分内容：如图
1，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
分析：要证四边形 AFCE 是菱形，由已知条件可知 EF⊥AC，所以只需证明四边形 AFCE
是 平行四边形 ，又知 EF 垂直平分 AC，所以只需证明 OE＝OF．
（2）【类比探究】如图 2，在 ABCD 中．
①尺规作图：作对角线 AC 的垂直平分线 EF，分别交 AD，AC，BC 与点 E，O，F，连接 AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）；
②试判断四边形 AECF 的形状并说明理由．
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（ASA），再由 EF⊥AC，即可证明四边形 AFCE 是菱形；
（2）分别以点 A，C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作
直线交 AD，AC，BC 于点 E，O，F，连接，即可作出图形；
（2）证明△AOE≌△COF（ASA），再由 EF⊥AC，即可证明四边形 AFCE 是菱形；
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝OF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形 AFCE 是菱形； 故答案为：平行四边形；
（2）解：①图形如图 2 所示，
②四边形 AFCE 是菱形；理由：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝OF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形 AFCE 是菱形．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质， 线段的垂直平分线的作法，判断出△AOE≌△COF 是解本题的关键．
(
运动鞋款式
甲
乙
进价（元
/
双）
m
m
+20
售价（元
/
双）
120
160
)21．（10 分）某鞋店计划购进甲、乙两种款式的运动鞋共 300 双进行销售，进价和售价如表所示：
已知用 2400 元购进甲种运动鞋的数量与用 3000 元购进乙种运动鞋的数量相同．
求 m 的值；
试写出总利润 y（元）与购进乙种运动鞋数量 x（双）之间的函数关系式；
在销售过程中发现乙款运动鞋滞销，鞋店决定每双降价 a 元，若甲款运动鞋的售价不变，且无论乙款购进多少双，销售完这 300 双运动鞋所获利润相同，求 a 的值．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验，
根据关系式，数量＝总价÷单价，利润＝（售价﹣进价）×数量，列方程可得结果．
根据题意和表格中的数据可以得到 y 与 x 的函数关系，无论 x 为何值时 y 的值均为
12000 时，a 的值．
【解答】解：（1）依题意得，＝，解得 m＝80，
经检验，m＝80 是原分式方程的解，且符合题意，
∴m 的值为 80；
（2）依题意，得 y＝（160﹣100）x+（120﹣80）（300﹣x），即 y＝20x+12000；
（3）依题意，得 y＝（160﹣100﹣a）x+（120﹣80）（300﹣x），即 y＝（20﹣a）x+12000，
当 20﹣a＝0 时，无论 x 为何值时 y 的值均为 12000，
∴a＝20，
∴当 a＝20 时，无论乙款购进多少双，销售完这 300 双运动鞋所获利润相同．
【点评】本题考察方程和函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质、分式方程的性质的知识解答．
22．（10 分）某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 x 次时，所需总费用为 y 元
分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；
在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A、B、C
的坐标；
请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【分析】（1）根据银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元，以及旅游馆普通票价 20 元
/张，设游泳 x 次时，分别得出所需总费用为 y 元与 x 的关系式即可；
利用函数交点坐标求法分别得出即可；
利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y＝10x+150，普通消费：y＝20x；
（2）由题意可得：当 10x+150＝20x， 解得：x＝15，则 y＝300，
故 B（15，300），
当 y＝10x+150，x＝0 时，y＝150，故 A（0，150），当 y＝10x+150＝600，
解得：x＝45，则 y＝600， 故 C（45，600）；
（3）如图所示：由 A，B，C 的坐标可得： 当 0＜x＜15 时，普通消费更划算；
当 x＝15 时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当 15＜x＜45 时，银卡消费更划算；
当 x＝45 时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当 x＞45 时，金卡消费更划算．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
23．（10 分）如图，四边形 OABC 为矩形，其中 O 为原点，A、C 两点分别在 x 轴和 y 轴上， B 点的坐标是（4，7）．点 D，E 分别在 OC，CB 边上，且 CE：EB＝5：3，将矩形 OABC沿直线 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上点 F 处．
求 F 点的坐标；
点 P 在第二象限，若四边形 PEFD 是矩形，则 D 点的坐标是 （0，2） ，P 点
的坐标是 （﹣，4） ；
若 M 是坐标系内的点，点 N 在 y 轴上，若以点 M，N，D，F 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点 N 的坐标．
【分析】（1）由 BC＝4，且 CE：EB＝5：3，求出 CE、BE 的长，再由折叠的特征求出
EF 的长，由勾股定理求出 BF 的长即可得到点 F 的坐标；
连结 CF、PF 分别交 DE 于点 Q、G，由 Q 为 CF 的中点，可求出点 Q 的坐标，用待定系数法求直线 DE 的解析式，得到点 D 的坐标，再由点 G 分别为 DE、PF 的中点求出点 P 的坐标；
以点 M、N、D、F 为顶点的四边形是菱形，则 FM∥DN，而点 N 在 y 轴上，点 F
在 AB 上，可知点 M 在直线 AB 上，由 F（4，5）、D（0，2）以及折叠得，DF＝CD＝7
﹣2＝5＝AF，按以 DF 为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点 M、N 的坐标即可．
【解答】解：（1）如图 1，∵矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，且 B（4，7），
∴A（4，0），C（0，7），
∵BC＝4，且 CE：EB＝5：3，
∴CE＝ BC＝ ×4＝ ，BE＝ BC＝ ×4＝ ， 由折叠得，FE＝CE＝ ，
∵∠B＝90°，
∴根据勾股定理得 BF＝2，
∴AF＝7﹣2＝5，
∴F（4，5）．
（2）如图 2，连结 CF、PF 分别交 DE 于点 Q、G， 由折叠得，DE 垂直平分 CF，
∴Q 为 CF 的中点，
∴Q（2，6）；
由（1）得，E（，7），
设直线 DE 的解析式为 y＝kx+b，
(
则
解得
，
)，
∴y＝2x+2，
当 x＝0 时，y＝2，
∴D（0，2），
∵四边形 PEFD 是矩形，
∴点 G 分别为 DE、PF 的中点，
∴G（，），
设 P（m，n），则 4﹣＝﹣m，5﹣＝﹣n，
∴m＝﹣ ，n＝4，
∴P（﹣，4）．
故答案为：（0，2），（﹣，4）．
（3）由（1）得，F（4，5），由（2）得，D（0，2），由折叠得，DF＝CD＝7﹣2＝5＝
AF，
∵以点 M、N、D、F 为顶点的四边形是菱形，
∴FM∥DN，
∵点 N 在 y 轴上，点 F 在 AB 上，
∴点 M 在直线 AB 上，
如图 3，四边形 MNDF 是菱形，点 M 与点 A 重合，则 DN＝DF＝5，
∴yN＝2﹣5＝﹣3，
∴M（4，0），N（0，﹣3）；
如图 4，四边形 MNDF 是菱形，点 N 与点 C 重合，则 FM＝DF＝5，
∴yM＝5+5＝10，
∴M（4，10），N（0，7）；
如图 5，四边形 MDNF 是菱形，设 DN＝FN＝DM＝FM＝r， 作 FH⊥DN 于点 H，则 H（0，5），∠FHN＝90°，FH＝4，
∴DH＝5﹣2＝3，
由 NH2+FH2＝FN2，得（r﹣3）2+42＝r2，
解得，r＝ ，
∴ON＝2+ ＝ ，AM＝5﹣ ＝ ，
∴M（4，），N（0，）， 如图 6，四边形 MDFN 是菱形，
∵点 M 与点 F（4，5）关于 y 轴对称，
∴M（﹣4，5）；连结 FM，
∵点 N 与点 D（0，2）关于直线 FM 对称，
∴N（0，8），
∴M（﹣4，5），N（0，8），
综上所述，N 的坐标为（0，﹣3）或（0，7）或（0， ）或 N（0，8）．
【点评】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、勾股定理、线段的中点坐标等知识与方法， 解第（3）题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题难度较大，属于考试压 轴题．
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列算式结果为﹣8 的是（ ）
A．4﹣2 B．﹣18 C．（）﹣1 D．（﹣8）0
2．（3 分）中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅 0.015
毫米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力．数据“0.015 毫米”
用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 米 C．1.5×10﹣6 米 B．0.015×10﹣3 米 D．15×10﹣4 米
3．（3 分）我市某一周的日最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则该周的日最高温度的中位数与众数分别是（ ）
A．26.5，27 B．27，28 C．27，27 D．27.5，28
4．（3 分）如图，函数 y＝kx﹣3m 的图象经过点（﹣4，0），则关于 x 的不等式 k（x+1）＞
3m 的解集是（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5
5．（3 分）已知：如图，M 是正方形 ABCD 内的一点，且 MC＝MD＝AD，则∠AMB 的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
6．（3 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，对于下列条件：①∠1+∠
3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形 ABCD 是矩形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
(
x
…
﹣
1.5
0
1
2
…
y
…
6
3
1
﹣
1
…
)7．（3 分）已知一次函数 y＝kx+b（k≠0），如表是 x 与 y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y 随 x 的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限C．关于 x 的方程 kx+b＝1 的解是 x＝1
D．该函数的图象与 y 轴的交点是（0，2）
8．（3 分）如图，点 D、E 分别是△ABC 的 BC、AC 边的中点，延长 DE 到 F，使 EF＝DE，连结 AF、AD、CF，下列说法不正确的是（ ）
当 AB＝AC 时，四边形 ADCF 是矩形
当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是菱形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是正方形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ABDF 是正方形
9．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、点 A，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例函数 y＝ （x＜0）图象
上，则 k 的值为（ ）
A．﹣42 B．﹣21 C．21 D．42
10．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，点 P 从顶点 A 出发，沿 A→B
→C 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C．图 2 是点 P 运动时，△PEC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的图象，则 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的范围是 ．
12．（3 分）点 A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线 y＝的图象上的两点，若 x1＜x2 时，
y1＞y2，则点 B（x2，y2）在第 象限．
13．（3 分）某外贸公司要出口一批规格为 200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它
们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是
（填“甲”或“乙”）．
14．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，以点 B 为圆心、BC 的长为半径画弧
交 AD 于点 E，再分别以点 C，E 为圆心、大于CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F， 作射线 BF 交 CD 于点 G，则 CG 的长为 ．
15．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 ．
三、解答题（共 75 分）
16．（10 分）（1）化简（﹣a﹣1）÷ ；
（2）解分式方程： ﹣ ＝1．
17．（9 分）为落实教育部“双减“政策，某市从 2021 年 9 月起，各中小学全面开展课后延时服务．为了了解该市甲、乙两所中学延时服务的情况，在这两所学校分别随机抽查了100 名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为 x，将所得数据分为 5 个等级
（A“很满意”：90≤x≤100；B“满意“：80≤x＜90；C“比较满意“：70≤x＜80；D
“不太满意”：60≤x＜70；E“不满意“：0≤x＜60；），将数据进行整理后，得到如图统计图和统计表．
②乙中学延时服务得分频数分布统计表
等级 满意度 得分 频数
A 很满意 90≤x≤100 15
B 满意 80≤x＜90
C 比较满意 70≤x＜80 30
D 不太满意 60≤x＜70 10
E 不满意 0≤x＜60 5
③甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
学校 平均数 中位数 众数
甲 78 79.5 80
乙 80 b 85
④乙中学的等级“B”的分数从高到低排列，排在最后的 10 个数据分别是：84，84，83，
83，83，81，80，80，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
直接写出 a 和 b 的值；
课后延时服务综合得分在 70 分及以上为合格；请你估计甲中学 3000 名家长中认为该校课后延时服务合格的人数．
小明说：“乙中学的课后延时服务比甲中学好”，你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
18．（8 分）如图所示△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC 的平分线相交于 D 点，DE⊥
BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F．
求证：四边形 CEDF 为正方形；
若 AC＝6，BC＝8，则 CE 的长为 ．
19．（9 分）如图，已知一次函数 y＝kx+b 与反比例函数的图象交于点 A（3，m）、B（n，
﹣3），Rt△AOC 的面积等于 3．
求一次函数的解析式；
直接写出不等式 的解集；
点 P 是一次函数 y＝kx+b 图象上的动点，若 CP 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，求点 P 的坐标．
20．（9 分）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 117 页的部分内容：如图
1，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
分析：要证四边形 AFCE 是菱形，由已知条件可知 EF⊥AC，所以只需证明四边形 AFCE
是 ，又知 EF 垂直平分 AC，所以只需证明 OE＝OF．
（2）【类比探究】如图 2，在 ABCD 中．
①尺规作图：作对角线 AC 的垂直平分线 EF，分别交 AD，AC，BC 与点 E，O，F，连接 AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）；
②试判断四边形 AECF 的形状并说明理由．
21．（10 分）某鞋店计划购进甲、乙两种款式的运动鞋共 300 双进行销售，进价和售价如表所示：
(
运动鞋款式
甲
乙
进价（元
/
双）
m
m
+20
售价（元
/
双）
120
160
)已知用 2400 元购进甲种运动鞋的数量与用 3000 元购进乙种运动鞋的数量相同．
求 m 的值；
试写出总利润 y（元）与购进乙种运动鞋数量 x（双）之间的函数关系式；
在销售过程中发现乙款运动鞋滞销，鞋店决定每双降价 a 元，若甲款运动鞋的售价不变，且无论乙款购进多少双，销售完这 300 双运动鞋所获利润相同，求 a 的值．
22．（10 分）某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 x 次时，所需总费用为 y 元
分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；
在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A、B、C
的坐标；
请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
23．（10 分）如图，四边形 OABC 为矩形，其中 O 为原点，A、C 两点分别在 x 轴和 y 轴上， B 点的坐标是（4，7）．点 D，E 分别在 OC，CB 边上，且 CE：EB＝5：3，将矩形 OABC沿直线 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上点 F 处．
求 F 点的坐标；
点 P 在第二象限，若四边形 PEFD 是矩形，则 D 点的坐标是 ，P 点的坐标是 ；
若 M 是坐标系内的点，点 N 在 y 轴上，若以点 M，N，D，F 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点 N 的坐标．
2021-2022 学年河南省南阳市唐河县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列算式结果为﹣8 的是（ ）
A．4﹣2 B．﹣18 C．（）﹣1 D．（﹣8）0
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A.4﹣2＝ ，故此选项不合题意；
B．﹣18＝﹣1，故此选项不合题意；
C．（）﹣1＝﹣8，故此选项符合题意；
D．（﹣8）0＝1，故此选项不合题意；故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算， 正确化简各数是解题关键．
2．（3 分）中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅 0.015
毫米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力．数据“0.015 毫米”
用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 米 C．1.5×10﹣6 米 B．0.015×10﹣3 米 D．15×10﹣4 米
【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【解答】解：0.015 毫米＝0.000015 米＝1.5×10﹣5 米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|
＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
3．（3 分）我市某一周的日最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则该周的日最高温度的中位数与众数分别是（ ）
A．26.5，27 B．27，28 C．27，27 D．27.5，28
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：处于这组数据中间位置的那个数是 27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 27．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中 28 是出现次数最多的，故众数是
28．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数
4．（3 分）如图，函数 y＝kx﹣3m 的图象经过点（﹣4，0），则关于 x 的不等式 k（x+1）＞
3m 的解集是（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当 x＞﹣4 时，kx﹣3m＞0， 所以关于 x 的不等式 kx﹣3m＞0 的解集是 x＞﹣4，
所以关于 x 的不等式 k（x+1）＞3m 的解集为 x+1＞﹣4， 即：x＞﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线 y＝kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．（3 分）已知：如图，M 是正方形 ABCD 内的一点，且 MC＝MD＝AD，则∠AMB 的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性质求得∠MAD 的度数，从而求得∠BAM＝∠ABM 的度数，利用三角形的内角和求得∠ AMB 的度数．
【解答】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，
∴△MDC 是等边三角形，
∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADM＝30°，
∴∠MAD＝∠AMD＝75°，
∴∠BAM＝15°，
同理可得∠ABM＝15°，
∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．
6．（3 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，对于下列条件：①∠1+∠
3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形 ABCD 是矩形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD 是矩形，故①正确；
②∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD 是矩形，故②正确；
③∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD 是矩形，故③正确；
④∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD 是菱形，故④错误；
能判定四边形 ABCD 是矩形的个数有 3 个， 故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、 等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7．（3 分）已知一次函数 y＝kx+b（k≠0），如表是 x 与 y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
x … ﹣1.5 0 1 2 …
y … 6 3 1 ﹣1 …
A．y 随 x 的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限C．关于 x 的方程 kx+b＝1 的解是 x＝1
D．该函数的图象与 y 轴的交点是（0，2）
【分析】先把两个点的坐标代入 y＝kx+b，求出 k、b 的值，得出函数解析式是 y＝﹣2x+3， 再逐个判断即可．
【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入 y＝kx+b 得：， 解得：k＝﹣2，b＝3，
即函数的解析式是 y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k＝﹣2，b＝3，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当 y＝1 时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1，
即方程 kx+b＝1 的解是 x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3，
∴函数的图象与 y 轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
8．（3 分）如图，点 D、E 分别是△ABC 的 BC、AC 边的中点，延长 DE 到 F，使 EF＝DE，连结 AF、AD、CF，下列说法不正确的是（ ）
当 AB＝AC 时，四边形 ADCF 是矩形
当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是菱形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ADCF 是正方形
当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形 ABDF 是正方形
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形 ADCF 是平行四边形，进而利用矩形，菱形， 正方形的判定判断即可．
【解答】解：∵点 D、E 分别是△ABC 的 BC、AC 边的中点，
∴AE＝EC，
∵EF＝DE，
∴四边形 ADCF 是平行四边形，
A、当 AB＝AC 时，∴AD⊥BC，∴四边形 ADCF 是矩形，说法正确，不合题意；
B、当∠BAC＝90°时，∴AD＝DC，∴四边形 ADCF 是菱形，说法正确，不合题意； C、当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，无法得出四边形 ABDF 是正方形，说法错误，符合题意；
D、当 AB＝AC，∠BAC＝90°时，∴AD⊥BC，AD＝DC，∴四边形 ABDF 是正方形，说法正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查正方形的判定，关键是利用矩形，菱形，正方形的判定解答．
9．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、点 A，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例函数 y＝（x＜0）图象上，则 k 的值为（ ）
A．﹣42 B．﹣21 C．21 D．42
【分析】过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，证明△AOB≌△BEC，可得点 C 坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵当 x＝0 时，y＝ x+4＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4；
∵当 y＝0 时，0＝x+4，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO． 在△AOB 和△BEC 中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝4+3＝7，
∴C 点坐标为（﹣7，3），
∵点点 C 在反比例函数 y＝（x＜0）图象上，
∴k＝﹣7×3＝﹣21． 故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
10．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，点 P 从顶点 A 出发，沿 A→B
→C 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C．图 2 是点 P 运动时，△PEC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的图象，则 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】从图 2 中点（4，0）得到正方形的边长＝2，当点 P 在 AB 上运动时，列出 y 的函数式，判断出点 P 在 B 点处时，△PEC 的面积最大；当点 P 在 BC 上运动时，CP 越来越小，△PEC 的面积 y 也越来越小，所以当点 P 运动到点 B 时，△PEC 的面积最大， 从而得到 a 的值．
【解答】解：∵函数图象经过点（4，0），
∴AB+BC＝1×4＝4（cm），
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∵点 E 是边 AD 的中点，
∴DE＝AE＝1，
当点 P 在 AB 上运动时，即 0＜x≤2 时，
AP＝x，BP＝2﹣x，
y＝S 正方形 ABCD﹣S△ECD﹣S△AEP﹣S△PCB
＝
＝ ，
∵ ，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝2 时，即点 P 与点 B 重合时，y 最大＝2； 当点 P 在 BC 上运动时，
这时△PEC 的高不变，底边 CP 越来越小，
∴△PEC 的面积也越来越小，
即 y 越来越小．
综上所述，点 P 运动时，△PEC 的面积的最大值是 2，则 a＝2． 故选：B．
【点评】本题考查的是动点函数图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的范围是 x≥1 且 x≠2 ．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的取值范围即可．
【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，解得 x≥1 且 x≠2． 故答案为：x≥1 且 x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
12．（3 分）点 A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线 y＝的图象上的两点，若 x1＜x2 时，
y1＞y2，则点 B（x2，y2）在第 四 象限．
【分析】根据反比例函数 y＝（k≠0）的图象与 k 的关系，确定双曲线 y＝ 的图象，再根据图象的点的坐标特征解决此题．
【解答】解：∵k2≥0，
∴﹣k2﹣1＜0．
∴双曲线 y＝的图象在第二、四象限．
∵x1＜x2 时，y1＞y2，
∴点 B（x2，y2）在第四象限． 故答案为：四．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特点，熟练掌握反比例函数 y＝（k
≠0）的图象与 k 的关系是解决本题的关键．
13．（3 分）某外贸公司要出口一批规格为 200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，
它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它
们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是甲 （填“甲”或“乙”）．
【分析】由于平均质量相同，根据图中所示两组数据波动大小可得两组数据的方差，波动越小，方差越小越稳定．
【解答】解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小， 所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小， 所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小， 表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，以点 B 为圆心、BC 的长为半径画弧
交 AD 于点 E，再分别以点 C，E 为圆心、大于CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F， 作射线 BF 交 CD 于点 G，则 CG 的长为 ．
【分析】根据作图过程可得 BF 是∠EBC 的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出 CG 的长．
【解答】解：如图，连接 EG，
根据作图过程可知：BF 是∠EBC 的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG， 在△EBG 和△CBG 中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在 Rt△ABE 中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝ ＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在 Rt△DGE 中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2， 解得 CG＝．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
15．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 16 或 4 ．
【分析】根据翻折的性质，可得 B′E 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i）当 B′D＝B′C 时，
过 B′点作 GH∥AD，则∠B′GE＝90°，
当 B′C＝B′D 时，AG＝DH＝DC＝8， 由 AE＝3，AB＝16，得 BE＝13．
由翻折的性质，得 B′E＝BE＝13．
∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，
∴B′G＝ ＝ ＝12，
∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，
∴DB′＝ ＝ ＝4
当 DB′＝CD 时，则 DB′＝16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合）．
当 CB′＝CD 时，则 CB＝CB′，由翻折的性质，得 EB＝EB′，∴点 E、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分 BB′，由折叠，得 EF 也是线段 BB′的垂直平分线，
∴点 F 与点 C 重合，这与已知“点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符， 故此种情况不存在，应舍去．
综上所述，DB′的长为 16 或 4．
故答案为：16 或 4．
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定． 三、解答题（共 75 分）
16．（10 分）（1）化简（﹣a﹣1）÷ ；
（2）解分式方程： ﹣ ＝1．
【分析】（1）原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝[﹣]÷
＝ ÷
＝
＝﹣a（a﹣1）
＝a﹣a2；
（2）去分母得：2x（5x﹣2）﹣5（2x+5）＝（2x+5）（5x﹣2），整理得：10x2﹣4x﹣10x﹣25＝10x2﹣4x+25x﹣10，
解得：x＝﹣ ，
检验：把 x＝﹣代入得：（2x+5）（5x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为 x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
17．（9 分）为落实教育部“双减“政策，某市从 2021 年 9 月起，各中小学全面开展课后延时服务．为了了解该市甲、乙两所中学延时服务的情况，在这两所学校分别随机抽查了100 名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为 x，将所得数据分为 5 个等级
（A“很满意”：90≤x≤100；B“满意“：80≤x＜90；C“比较满意“：70≤x＜80；D “不太满意”：60≤x＜70；E“不满意“：0≤x＜60；），将数据进行整理后，得到如图统计图和统计表．
②乙中学延时服务得分频数分布统计表
等级 满意度 得分 频数
A 很满意 90≤x≤100 15
B 满意 80≤x＜90
C 比较满意 70≤x＜80 30
D 不太满意 60≤x＜70 10
E 不满意 0≤x＜60 5
③甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
学校 平均数 中位数 众数
甲 78 79.5 80
乙 80 b 85
④乙中学的等级“B”的分数从高到低排列，排在最后的 10 个数据分别是：84，84，83，
83，83，81，80，80，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
直接写出 a 和 b 的值；
课后延时服务综合得分在 70 分及以上为合格；请你估计甲中学 3000 名家长中认为该校课后延时服务合格的人数．
小明说：“乙中学的课后延时服务比甲中学好”，你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
【分析】（1）先求出 B 等级对应百分比，再由百分比之和为 1 可得 a 的值，根据中位数的定义可得 b 的值；
总人数乘以样本中该校课后延时服务合格的人数所占比例即可；
根据平均数和中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）B 等级对应百分比为×100%＝40%，
∴a%＝1﹣（40%+25%+18%+7%）＝10%，即 a＝10，
b＝ ＝82；
（ 2 ） 估计甲中学 3000 名家长中认为该校课后延时服务合格的人数为 3000 ×
（10%+40%+25%）＝2250（人）；
（3）同意，
因为乙学校学生延时服务得分的平均数大于甲学校， 所以乙学校延时服务得分的平均水平比甲学校高．
【点评】此题考查了中位数、众数的意义以及用样本估计总体，正确理解各概念的含义以及运算公式是解题的关键．
18．（8 分）如图所示△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC 的平分线相交于 D 点，DE⊥
BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F．
求证：四边形 CEDF 为正方形；
若 AC＝6，BC＝8，则 CE 的长为 2 ．
【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形 CEDF 为正方形；
（2）利用三角形面积求法得出 EC 的长．
【解答】（1）证明：过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F，
∴四边形 FCED 是矩形，
又∵∠A，∠B 的平分线交于 D 点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形 FCED 是正方形；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝10，
∵四边形 CEDF 为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC， 则 EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故 EC＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识， 得出 DF＝DE 是解题关键．
19．（9 分）如图，已知一次函数 y＝kx+b 与反比例函数的图象交于点 A（3，m）、B（n，
﹣3），Rt△AOC 的面积等于 3．
求一次函数的解析式；
直接写出不等式 的解集；
点 P 是一次函数 y＝kx+b 图象上的动点，若 CP 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，求点 P 的坐标．
【分析】（1）利用反比例函数系数 k 的几何意义求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求出 A，B 的坐标即可解决问题．
观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
由于 CD 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，CE 把△ABC 分成面积比等于 2： 3 的两部分，据此即可求得 P 点的坐标．
【解答】解：（1）∵Rt△AOC 的面积等于 3，
∴ c＝3，
∴c＝6，
∴反比例函数为 y＝，
∵反比例函数 y＝的图象经过点 A（3，m）、B（n，﹣3），
∴3×m＝6，﹣3n＝6， 解得 m＝2，n＝﹣2，
∴A（3，2），B（﹣2，﹣3），
把 A、B 的坐标代入 y＝kx+b 得， 解得 ，
∴一次函数的解析式为 y＝x﹣1．
观察图象，不等式 的解集为：﹣2＜x＜0 或 x＞3．
作 BM⊥x 于 M，BN⊥y 轴于 N，AF⊥y 轴于 F，则 AC∥BM，
∴ ＝ ，
∵A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∴AC＝2，BM＝3，
∴ ＝ ，
∴CD 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，
同理 ＝ ＝ ，
∴CE 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，
∵直线 y＝x﹣1 交坐标轴于 D、E，
∴D（1，0），E（0，﹣1），
∵CP 把△ABC 分成面积比等于 2：3 的两部分，
∴P（1，0）或（0，﹣1）．
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式， 一次函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想的应用．
20．（9 分）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 117 页的部分内容：如图
1，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
分析：要证四边形 AFCE 是菱形，由已知条件可知 EF⊥AC，所以只需证明四边形 AFCE
是 平行四边形 ，又知 EF 垂直平分 AC，所以只需证明 OE＝OF．
（2）【类比探究】如图 2，在 ABCD 中．
①尺规作图：作对角线 AC 的垂直平分线 EF，分别交 AD，AC，BC 与点 E，O，F，连接 AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）；
②试判断四边形 AECF 的形状并说明理由．
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（ASA），再由 EF⊥AC，即可证明四边形 AFCE 是菱形；
（2）分别以点 A，C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作
直线交 AD，AC，BC 于点 E，O，F，连接，即可作出图形；
（2）证明△AOE≌△COF（ASA），再由 EF⊥AC，即可证明四边形 AFCE 是菱形；
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝OF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形 AFCE 是菱形； 故答案为：平行四边形；
（2）解：①图形如图 2 所示，
②四边形 AFCE 是菱形；理由：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝OF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形 AFCE 是菱形．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质， 线段的垂直平分线的作法，判断出△AOE≌△COF 是解本题的关键．
(
运动鞋款式
甲
乙
进价（元
/
双）
m
m
+20
售价（元
/
双）
120
160
)21．（10 分）某鞋店计划购进甲、乙两种款式的运动鞋共 300 双进行销售，进价和售价如表所示：
已知用 2400 元购进甲种运动鞋的数量与用 3000 元购进乙种运动鞋的数量相同．
求 m 的值；
试写出总利润 y（元）与购进乙种运动鞋数量 x（双）之间的函数关系式；
在销售过程中发现乙款运动鞋滞销，鞋店决定每双降价 a 元，若甲款运动鞋的售价不变，且无论乙款购进多少双，销售完这 300 双运动鞋所获利润相同，求 a 的值．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验，
根据关系式，数量＝总价÷单价，利润＝（售价﹣进价）×数量，列方程可得结果．
根据题意和表格中的数据可以得到 y 与 x 的函数关系，无论 x 为何值时 y 的值均为
12000 时，a 的值．
【解答】解：（1）依题意得，＝，解得 m＝80，
经检验，m＝80 是原分式方程的解，且符合题意，
∴m 的值为 80；
（2）依题意，得 y＝（160﹣100）x+（120﹣80）（300﹣x），即 y＝20x+12000；
（3）依题意，得 y＝（160﹣100﹣a）x+（120﹣80）（300﹣x），即 y＝（20﹣a）x+12000，
当 20﹣a＝0 时，无论 x 为何值时 y 的值均为 12000，
∴a＝20，
∴当 a＝20 时，无论乙款购进多少双，销售完这 300 双运动鞋所获利润相同．
【点评】本题考察方程和函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质、分式方程的性质的知识解答．
22．（10 分）某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 x 次时，所需总费用为 y 元
分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；
在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A、B、C
的坐标；
请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【分析】（1）根据银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元，以及旅游馆普通票价 20 元
/张，设游泳 x 次时，分别得出所需总费用为 y 元与 x 的关系式即可；
利用函数交点坐标求法分别得出即可；
利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y＝10x+150，普通消费：y＝20x；
（2）由题意可得：当 10x+150＝20x， 解得：x＝15，则 y＝300，
故 B（15，300），
当 y＝10x+150，x＝0 时，y＝150，故 A（0，150），当 y＝10x+150＝600，
解得：x＝45，则 y＝600， 故 C（45，600）；
（3）如图所示：由 A，B，C 的坐标可得： 当 0＜x＜15 时，普通消费更划算；
当 x＝15 时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当 15＜x＜45 时，银卡消费更划算；
当 x＝45 时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当 x＞45 时，金卡消费更划算．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
23．（10 分）如图，四边形 OABC 为矩形，其中 O 为原点，A、C 两点分别在 x 轴和 y 轴上， B 点的坐标是（4，7）．点 D，E 分别在 OC，CB 边上，且 CE：EB＝5：3，将矩形 OABC沿直线 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上点 F 处．
求 F 点的坐标；
点 P 在第二象限，若四边形 PEFD 是矩形，则 D 点的坐标是 （0，2） ，P 点
的坐标是 （﹣，4） ；
若 M 是坐标系内的点，点 N 在 y 轴上，若以点 M，N，D，F 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点 N 的坐标．
【分析】（1）由 BC＝4，且 CE：EB＝5：3，求出 CE、BE 的长，再由折叠的特征求出
EF 的长，由勾股定理求出 BF 的长即可得到点 F 的坐标；
连结 CF、PF 分别交 DE 于点 Q、G，由 Q 为 CF 的中点，可求出点 Q 的坐标，用待定系数法求直线 DE 的解析式，得到点 D 的坐标，再由点 G 分别为 DE、PF 的中点求出点 P 的坐标；
以点 M、N、D、F 为顶点的四边形是菱形，则 FM∥DN，而点 N 在 y 轴上，点 F
在 AB 上，可知点 M 在直线 AB 上，由 F（4，5）、D（0，2）以及折叠得，DF＝CD＝7
﹣2＝5＝AF，按以 DF 为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点 M、N 的坐标即可．
【解答】解：（1）如图 1，∵矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，且 B（4，7），
∴A（4，0），C（0，7），
∵BC＝4，且 CE：EB＝5：3，
∴CE＝ BC＝ ×4＝ ，BE＝ BC＝ ×4＝ ， 由折叠得，FE＝CE＝ ，
∵∠B＝90°，
∴根据勾股定理得 BF＝2，
∴AF＝7﹣2＝5，
∴F（4，5）．
（2）如图 2，连结 CF、PF 分别交 DE 于点 Q、G， 由折叠得，DE 垂直平分 CF，
∴Q 为 CF 的中点，
∴Q（2，6）；
由（1）得，E（，7），
设直线 DE 的解析式为 y＝kx+b，
(
则
解得
，
)，
∴y＝2x+2，
当 x＝0 时，y＝2，
∴D（0，2），
∵四边形 PEFD 是矩形，
∴点 G 分别为 DE、PF 的中点，
∴G（，），
设 P（m，n），则 4﹣＝﹣m，5﹣＝﹣n，
∴m＝﹣ ，n＝4，
∴P（﹣，4）．
故答案为：（0，2），（﹣，4）．
（3）由（1）得，F（4，5），由（2）得，D（0，2），由折叠得，DF＝CD＝7﹣2＝5＝
AF，
∵以点 M、N、D、F 为顶点的四边形是菱形，
∴FM∥DN，
∵点 N 在 y 轴上，点 F 在 AB 上，
∴点 M 在直线 AB 上，
如图 3，四边形 MNDF 是菱形，点 M 与点 A 重合，则 DN＝DF＝5，
∴yN＝2﹣5＝﹣3，
∴M（4，0），N（0，﹣3）；
如图 4，四边形 MNDF 是菱形，点 N 与点 C 重合，则 FM＝DF＝5，
∴yM＝5+5＝10，
∴M（4，10），N（0，7）；
如图 5，四边形 MDNF 是菱形，设 DN＝FN＝DM＝FM＝r， 作 FH⊥DN 于点 H，则 H（0，5），∠FHN＝90°，FH＝4，
∴DH＝5﹣2＝3，
由 NH2+FH2＝FN2，得（r﹣3）2+42＝r2，
解得，r＝ ，
∴ON＝2+ ＝ ，AM＝5﹣ ＝ ，
∴M（4，），N（0，）， 如图 6，四边形 MDFN 是菱形，
∵点 M 与点 F（4，5）关于 y 轴对称，
∴M（﹣4，5）；连结 FM，
∵点 N 与点 D（0，2）关于直线 FM 对称，
∴N（0，8），
∴M（﹣4，5），N（0，8），
综上所述，N 的坐标为（0，﹣3）或（0，7）或（0， ）或 N（0，8）．
【点评】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、勾股定理、线段的中点坐标等知识与方法， 解第（3）题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题难度较大，属于考试压 轴题．
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