【初中数学一题多解专练】九年级 专题01一元二次方程（解析版）

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专题01一元二次方程
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
一、解答题
1．解下列方程：
【答案】
【分析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
方法1 去括号，化简成一般形式后，利用求根公式求解．
原方程可变形为，
其中，，，，
．
利用求根公式，解得，
即，．
所以，原方程的根是，．
方法2 去括号，化简成一般形式后，利用因式分解求解．
原方程可变形为，把上面方程的左边分解因式，方程化为，
解得，．
所以，原方程的根是，．
方法3 直接因式分解求解．
原方程可变形为，
提取公因式，可得，
解得，．
所以，原方程的根是，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法．本题中方法1采取了化一般形式，利用求根公式求解的做法；这是解一元二次方程的通用解法，但是计算量较大．方法2和3都采用了因式分解法．通过对比方程中的二次三项式能够用因式分解法来解，还是比较直接简捷的．方法3直接利用因式分解更能体现方法的简捷性．本题中还要注意不能将方程中的直接约去，造成错误题解．
2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m=1．
【详解】
试题分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
方法1 （1）利用判别式
（1）证明：．
∵不论m为何值，，即．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程，得
，∴，．
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．
又∵方程的两个根不相等，∴，∴．
方法2（1）直接解一元二次方程求出根
（1）证明：解关于x的一元二次方程，
得，，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程，得
，∴，．
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．
又∵方程的两个根不相等，∴，∴．
3．已知方程关于x的一元二次方程的一个根是－2，求k和方程另一个根的值．
【答案】k的值为，方程另一个根的值为．
【分析】
方法1，根据方程的根的意义，先求得的值，再解一元二次方程求得另一个根，方法2 ，根据根与系数的关系，列出方程组，解方程即可求得的值．
【详解】
方法1，根据方程的根的意义可知，，则．
∴原方程为，解得，．
∴k的值为，方程另一个根的值为．
方法2 ，根据根与系数的关系得，解得．
∴k的值为，方程另一个根的值为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，方程的根的意义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法，根与系数的关系是解题的关键．
4．在宽为20米，长为32米的长方形地面上铺540平方米的草坪，并留出如图所示的宽度相同的通道，通道的宽度为多少？
【答案】2米
【分析】
方法1：可以利用整体面积减去部分面积的方法列出方程求解，方法2：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】
方法1 利用整体面积减去部分面积的方法．
设通道的宽度为x米．
，
化简得，
解得，．
∵不合题意，舍去，
∴．
答：通道的宽度为2米．
方法2 利用“图形经过移动，它的面积、大小不会改变”的道理．
设通道的宽度为x米．
，
解得，．
∵不合题意，舍去，
∴．
答：通道的宽度为2米．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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