【初中数学一题多解专练】八年级 专题08平行四边形（解析版）
文档属性
| 名称 | 【初中数学一题多解专练】八年级 专题08平行四边形（解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-02 12:51:08 | ||
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文档简介
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绝密★启用前
专题08平行四边形
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，AE平分，AE交CD于点F，，垂足为点E，，垂足为点G，点H在边BC上，，连接AH，FH，FH与AC交于点M，以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
①②、证明△ABH≌△ADF，得AF＝AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH＝HM＝MF＝FD，则FH＝2BH；所以①②都正确；
③可以直接求出FC的长，计算S△ACF≠1，错误；
④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；
⑤利用相似先得出，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG＝CG，所以⑤也正确．
【详解】
方法1 ∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∵AE平分，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
∴，．
∵AE平分，
∴，
∴，
故选项①②正确．
在中，，
∴是等腰直角三角形．
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，
．
故选项③不正确．
∵，
由图易知，
∴．
∴，
∴，
∴，
故选项④正确．
⑤在中，，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴．
故选项⑤正确．
综上所述，本题正确的结论有4个，故选C．
方法2 如下图所示，延长AD，CE交于点N，连接FN．
∵AE平分，，
∴．
∴，．
∴AE垂直平分CN．
∴．
易证．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∴AC垂直平分FH，．
故选项②正确．
∴．
∵AE平分，，，
∴．
∴．
故选项①正确．
在中，，
∴．
易证．
∴．
∴，
故选项④正确．
∵正方形边长为2，
∴．
∴．
∴．
故选项③正确．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
故选项⑤正确．
综上所述，本题正确的结论有4个，故选C．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
2．如图所示，在中，，D为AB的中点．E为线段AC上一点，，F为EC的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】
方法1，连接BE，取BE的中点M，连接MF，MD，根据中位线定理得出//，且，//，且，所以，，因为，得出，即可求证；
方法2，延长AC至点N，使，连接BN，得出//，且，因为，所以，即可求证
【详解】
方法1 如图所示，连接BE，取BE的中点M，连接MF，MD．
∵F为EC的中点，D为AB的中点，
∴//，且，
//，且．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
方法2 如图所示，延长AC至点N，使，连接BN，
，
，
∵F为EC的中点，
∴．
∴．
∴//，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
3．已知，△ABC中，∠BAC=45°，以AB为腰以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE，连结BE、DC，两条线段相交于点F，试猜想∠EFC的度数并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】
作CG//BE交AB的延长线于G，连接DG，首先证明四边形BECG为平行四边形，然后证明，最后证明是等腰直角三角形即可得到答案.
【详解】
方法1 如图7－17所示，过点D作，交EA的延长线于点H，连接CH．
易证四边形BEHD为平行四边形．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
方法2 如图7－18所示，过点C作，交AB的延长线于点G，连接DG，易证四边形BECG为平行四边形，．
∴，∴．
∵为等腰直角三角形，E为直角顶点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和AEB中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
易证．
∵，
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】1），；（2）成立，理由见解析
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．
【详解】
（1）如图1；
∵M是EC的中点，
∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DM=BM．
∵M是EC的中点，
∴MC=EC，
∴BM=MC=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案为BM=DM且BM⊥DM．
（2）成立．
方法1 如下图所示，分别取AC，AE的中点H，F，连接HM，FM．
则，．
∵点M为CE的中点，
∴，，，．
∴，，．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
．
∴BM、DM的数量关系与位置关系是：，．
方法2 倍长中线法
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．
在△EMD和△CMF中，
∵
∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．
∴∠8=∠BAD．
在△ABD和△CBF中，
∵，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．
5．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【分析】
（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；
（2）先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；
【详解】
（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵AB＝1，DG＝2，
∴由勾股定理得BD＝，DF＝．
∵B、D、F共线，
∴BF＝．
∵H是BF的中点，
∴BH＝BF＝；
（2）方法1 倍长中线法
如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH＝∠MFH．
又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH＝MH，AB＝MF．
∵AB＝AD，
∴AD＝MF．
∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．
又∵∠DGM+∠MGF＝90°，
∴∠AGD+∠DGM＝90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．
∵AH＝MH，
∴AH＝GH，AH⊥GH．
方法2 如下图所示．连接AC，GE，分别交BF于点M，N．
∵四边形ABCD和DEFG是正方形，且B，D，F三点共线，
∴，，，．
∴，．
∵H是BF的中点，
∴ ，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.．
在和中,
，
∴，
∴，.
∵,
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出△ABH≌△MFH，△ADG≌△MFG，是一道中等难度的中考常考题．
6．如图所示，在四边形ABCD中，，，AC，BD为对角线，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
方法1、由旋转的性质可得，由全等性质得，利用相似三角形判定得，由相似的性质和四边形内角和得，利用勾股定理，等量代换得出结论．
方法2、过点C作，截取，连接DG，BG．通过证，可推出，进而证得，得到，则答案可证；
方法3、分别延长AB，AD至点E和点F，使，．连接CF，CE，EF，则BD是的中位线，从而．先判断出，由已知条件可推出，最后用勾股定理即可求解；
方法4、过点B作，使得，连接AF，CF，易得，从而可证，进而证得，得出，可得，等量代换得出结论．
【详解】
方法1、旋转法 如图7－41所示．
∵，
∴将绕点A按顺时针方向旋转到，连接CF．
∴，
∴，，
，，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
方法2、截长补短法
如图7－42所示．过点C作，截取，连接DG，BG．
∵，
∴，即．
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
方法3、如图7－43所示，分别延长AB，AD至点E和点F，使，．连接CF，CE，EF，则BD是的中位线，从而．
∵，，
∴，
∴．
∴，．
同理，得，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
方法4、如图7－44所示，过点B作，使得，连接AF，CF，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，，
∴，．
∴，
∴，
∴．
∴．
7．在平面直角坐标系中有点，点，点P是x轴上一动点，在直线上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为
【分析】
本题可分为两种情况讨论：在以A，B，P，Q为顶点的平行四边形中，AB可能是边，也可能是对角线．若AB是边，则PQ也一定是边，则AB∥PQ且，即PQ可以看作由AB平移得到，由点A、点B的坐标，确定点Q所在的直线；若AB是对角线，则PQ也是对角线，AP与BQ为对边，则AP∥BQ，由此可确定点Q的位置，根据平行四边形对角线互相平分可知，PQ过AB中点，由此可确定点P的位置．或者设出点P、点Q的坐标，再分AB是平行四边形的边或对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】
方法1 存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
情况一
若AB是边，则PQ也一定是边，AB∥PQ且，即PQ可由AB平移得到，由于点，点，故点Q在直线或直线上，如图7－1中点和点所示．
当点Q在直线上时，点Q即为点，点P即为点．点也在直线上，所以点的坐标为．过点作轴于点，可得，，所以点的坐标为．
当点Q在直线上时，点Q即为点，点P即为点，点也在直线上，所以点的坐标为．过点作轴于点，可得，，所以点的坐标为．
情况二
若AB是对角线，则PQ也是对角线，AP与BQ为对边，则AP∥BQ，由此可确定点Q位置：点Q为直线 与直线的交点，即为图7－1中的点，点的坐标为．此时点P即为点，，所以点的坐标为．
综上所述，存在以A、B、P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若AB是边，对应的点P，点Q的坐标分别为，或，；若AB是对角线，对应的点P、点Q的坐标分别为，．
方法2 存在以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．
∵点P是x轴上一动点，点Q在直线，
∴设点P，Q的坐标分别为，．
若AB，PQ是对角线，则AB与PQ互相平分，即AB与PQ的中点重合．
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴AB中点的坐标为，PQ中点的坐标为．
∴，解得．
∴点P的坐标为，点Q的坐标为．
若AP，BQ是对角线，则AP与BQ互相平分，即AP与BQ的中点重合．
∵AP中点的坐标为，BQ中点的坐标为，
∴，解得．
∴点P的坐标为，点Q的坐标为．
若AQ，BP是对角线，则AQ与BP互相平分，即AQ与BP的中点重合．
∵AQ中点的坐标为，BP中点的坐标为．
∴，解得，
∴点P的坐标为，点Q的坐标为．
综上所述：点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=，则GE的长为_____，并简述求GE长的思路．
【答案】(1)①答案见解析；②BC=CG，理由见解析； (2) ．
【分析】
（1）①依题意补全图形，如图1所示；
②判断出△BAD≌△CAF即可；
（2）先判断出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）①依题意补全图形，如图1所示，
②BC⊥CG，BC=CG；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CG；
∵点G是BA延长线上的点，
BC=CG
（2）方法1 由(1)中G为CF中点画出图形，如下图所示．
与（1）中②同理，得，，．
由，G为CF的中点，可得；
过点A作于点M，过点E作于点N，可证，可得，NE为FG的垂直平分线，；
在中，，，可得，即 ．
方法2：如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF﹣∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CF；
∵AB=，BC=CD=CG=GF=2，
∴在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=，
∴在Rt△AGH中，根据勾股定理的，DG=2，
∵AD=，
∴AH=，HG=，
∴GI=AD﹣HG=，
∴GE=
故答案为．
方法3 如下图所示，过点A作于点K，连接DK，AE．
∵，
又∵，
∴．
∵，∴，得．
根据条件，得，于是可证得．
∴．
在中运用勾股定理，可得，∴．
方法4 如下图所示，过点G作于点M．
可证四边形AGMC是正方形，又根据已知数据可得，．
所以在中，，，所以由勾股定理求得．
方法5如下图所示，建立平面直角坐标系．
分别过点A，E向x轴作垂线，垂足为M，H，可证得．
根据，结合图形的几何特征条件，可求得点H的坐标为，点E的坐标为，点G的坐标为，运用两点间距离公式可得．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出角相等．
9．如图所示，已知，点C、点D在线段AB上且．P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边三角形和等边三角形，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，求点G移动的路径的长．
【答案】3
【分析】
将现有图形看成一个残缺的等边三角形，可通过延长AE，BF补全此三角形，在补全的图形中，点G是某平行四边形一条对角线的中点，可利用平行四边形对角线互相平分的性质考虑点G的运动情况．
【详解】
解：如图所示．延长AE，BF交于点H，则易证四边形EPFH是平行四边形．
∵点G是EF的中点，
∴点G也是HP的中点．
连接HC，HD，分别取HC，HD的中点M，N，连接MN，MG，
∴，，
∴点G在线段MN上．
当点P从点C运动到点D时，点G从点M移动到点N，
∴点G移动的路径的长为．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，三角形中位线的性质，平行四边形的性质，添加辅助线，构造等边三角形以及平行四边形是解题的关键．
10．阅读下面问题的解决过程：
问题：已知在中，P为BC边上的一个定点，过点P作一直线，使其等分的面积．
解决：情形1：如图1所示，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可；
情形2：如图2所示，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．
问题解决：如图3所示，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．
【答案】见解析
【分析】
方法1：根据取对角线AC的中点O，得出折线BOD能平分四边形ABCD的面积，再利用OE//BD，得出S△BEC=S四边形ABED即可得出答案；
方法2：先利用，然后根据等底同高的三角形的面积相等得出，再利用三角形的中线把三角形的面积平分即可得出答案．
【详解】
方法1 如图所示，连接OA，取对角线AC的中点O，连接BO，DO，BD．
∴折线BOD能平分四边形ABCD的面积．
过点O作交CD于点E，连接BE．
∵（或），
∴，∴．
∴直线BE即为所求直线．
方法2 如图所示，连接BD，过点A作交CD的延长线于点M，连接BM，
则，．
取MC的中点E，连接BE，则BE能平分的面积．
∴，
∴直线BE即为所求的直线．
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专题08平行四边形
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，AE平分，AE交CD于点F，，垂足为点E，，垂足为点G，点H在边BC上，，连接AH，FH，FH与AC交于点M，以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
①②、证明△ABH≌△ADF，得AF＝AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH＝HM＝MF＝FD，则FH＝2BH；所以①②都正确；
③可以直接求出FC的长，计算S△ACF≠1，错误；
④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；
⑤利用相似先得出，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG＝CG，所以⑤也正确．
【详解】
方法1 ∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∵AE平分，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
∴，．
∵AE平分，
∴，
∴，
故选项①②正确．
在中，，
∴是等腰直角三角形．
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，
．
故选项③不正确．
∵，
由图易知，
∴．
∴，
∴，
∴，
故选项④正确．
⑤在中，，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴．
故选项⑤正确．
综上所述，本题正确的结论有4个，故选C．
方法2 如下图所示，延长AD，CE交于点N，连接FN．
∵AE平分，，
∴．
∴，．
∴AE垂直平分CN．
∴．
易证．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∴AC垂直平分FH，．
故选项②正确．
∴．
∵AE平分，，，
∴．
∴．
故选项①正确．
在中，，
∴．
易证．
∴．
∴，
故选项④正确．
∵正方形边长为2，
∴．
∴．
∴．
故选项③正确．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
故选项⑤正确．
综上所述，本题正确的结论有4个，故选C．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
2．如图所示，在中，，D为AB的中点．E为线段AC上一点，，F为EC的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】
方法1，连接BE，取BE的中点M，连接MF，MD，根据中位线定理得出//，且，//，且，所以，，因为，得出，即可求证；
方法2，延长AC至点N，使，连接BN，得出//，且，因为，所以，即可求证
【详解】
方法1 如图所示，连接BE，取BE的中点M，连接MF，MD．
∵F为EC的中点，D为AB的中点，
∴//，且，
//，且．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
方法2 如图所示，延长AC至点N，使，连接BN，
，
，
∵F为EC的中点，
∴．
∴．
∴//，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
3．已知，△ABC中，∠BAC=45°，以AB为腰以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE，连结BE、DC，两条线段相交于点F，试猜想∠EFC的度数并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】
作CG//BE交AB的延长线于G，连接DG，首先证明四边形BECG为平行四边形，然后证明，最后证明是等腰直角三角形即可得到答案.
【详解】
方法1 如图7－17所示，过点D作，交EA的延长线于点H，连接CH．
易证四边形BEHD为平行四边形．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
方法2 如图7－18所示，过点C作，交AB的延长线于点G，连接DG，易证四边形BECG为平行四边形，．
∴，∴．
∵为等腰直角三角形，E为直角顶点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和AEB中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
易证．
∵，
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】1），；（2）成立，理由见解析
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．
【详解】
（1）如图1；
∵M是EC的中点，
∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DM=BM．
∵M是EC的中点，
∴MC=EC，
∴BM=MC=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案为BM=DM且BM⊥DM．
（2）成立．
方法1 如下图所示，分别取AC，AE的中点H，F，连接HM，FM．
则，．
∵点M为CE的中点，
∴，，，．
∴，，．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
．
∴BM、DM的数量关系与位置关系是：，．
方法2 倍长中线法
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．
在△EMD和△CMF中，
∵
∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．
∴∠8=∠BAD．
在△ABD和△CBF中，
∵，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．
5．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【分析】
（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；
（2）先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；
【详解】
（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵AB＝1，DG＝2，
∴由勾股定理得BD＝，DF＝．
∵B、D、F共线，
∴BF＝．
∵H是BF的中点，
∴BH＝BF＝；
（2）方法1 倍长中线法
如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH＝∠MFH．
又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH＝MH，AB＝MF．
∵AB＝AD，
∴AD＝MF．
∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．
又∵∠DGM+∠MGF＝90°，
∴∠AGD+∠DGM＝90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．
∵AH＝MH，
∴AH＝GH，AH⊥GH．
方法2 如下图所示．连接AC，GE，分别交BF于点M，N．
∵四边形ABCD和DEFG是正方形，且B，D，F三点共线，
∴，，，．
∴，．
∵H是BF的中点，
∴ ，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.．
在和中,
，
∴，
∴，.
∵,
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出△ABH≌△MFH，△ADG≌△MFG，是一道中等难度的中考常考题．
6．如图所示，在四边形ABCD中，，，AC，BD为对角线，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
方法1、由旋转的性质可得，由全等性质得，利用相似三角形判定得，由相似的性质和四边形内角和得，利用勾股定理，等量代换得出结论．
方法2、过点C作，截取，连接DG，BG．通过证，可推出，进而证得，得到，则答案可证；
方法3、分别延长AB，AD至点E和点F，使，．连接CF，CE，EF，则BD是的中位线，从而．先判断出，由已知条件可推出，最后用勾股定理即可求解；
方法4、过点B作，使得，连接AF，CF，易得，从而可证，进而证得，得出，可得，等量代换得出结论．
【详解】
方法1、旋转法 如图7－41所示．
∵，
∴将绕点A按顺时针方向旋转到，连接CF．
∴，
∴，，
，，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
方法2、截长补短法
如图7－42所示．过点C作，截取，连接DG，BG．
∵，
∴，即．
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
方法3、如图7－43所示，分别延长AB，AD至点E和点F，使，．连接CF，CE，EF，则BD是的中位线，从而．
∵，，
∴，
∴．
∴，．
同理，得，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
方法4、如图7－44所示，过点B作，使得，连接AF，CF，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，，
∴，．
∴，
∴，
∴．
∴．
7．在平面直角坐标系中有点，点，点P是x轴上一动点，在直线上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为
【分析】
本题可分为两种情况讨论：在以A，B，P，Q为顶点的平行四边形中，AB可能是边，也可能是对角线．若AB是边，则PQ也一定是边，则AB∥PQ且，即PQ可以看作由AB平移得到，由点A、点B的坐标，确定点Q所在的直线；若AB是对角线，则PQ也是对角线，AP与BQ为对边，则AP∥BQ，由此可确定点Q的位置，根据平行四边形对角线互相平分可知，PQ过AB中点，由此可确定点P的位置．或者设出点P、点Q的坐标，再分AB是平行四边形的边或对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】
方法1 存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
情况一
若AB是边，则PQ也一定是边，AB∥PQ且，即PQ可由AB平移得到，由于点，点，故点Q在直线或直线上，如图7－1中点和点所示．
当点Q在直线上时，点Q即为点，点P即为点．点也在直线上，所以点的坐标为．过点作轴于点，可得，，所以点的坐标为．
当点Q在直线上时，点Q即为点，点P即为点，点也在直线上，所以点的坐标为．过点作轴于点，可得，，所以点的坐标为．
情况二
若AB是对角线，则PQ也是对角线，AP与BQ为对边，则AP∥BQ，由此可确定点Q位置：点Q为直线 与直线的交点，即为图7－1中的点，点的坐标为．此时点P即为点，，所以点的坐标为．
综上所述，存在以A、B、P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若AB是边，对应的点P，点Q的坐标分别为，或，；若AB是对角线，对应的点P、点Q的坐标分别为，．
方法2 存在以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．
∵点P是x轴上一动点，点Q在直线，
∴设点P，Q的坐标分别为，．
若AB，PQ是对角线，则AB与PQ互相平分，即AB与PQ的中点重合．
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴AB中点的坐标为，PQ中点的坐标为．
∴，解得．
∴点P的坐标为，点Q的坐标为．
若AP，BQ是对角线，则AP与BQ互相平分，即AP与BQ的中点重合．
∵AP中点的坐标为，BQ中点的坐标为，
∴，解得．
∴点P的坐标为，点Q的坐标为．
若AQ，BP是对角线，则AQ与BP互相平分，即AQ与BP的中点重合．
∵AQ中点的坐标为，BP中点的坐标为．
∴，解得，
∴点P的坐标为，点Q的坐标为．
综上所述：点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为或点P的坐标为，点Q的坐标为．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=，则GE的长为_____，并简述求GE长的思路．
【答案】(1)①答案见解析；②BC=CG，理由见解析； (2) ．
【分析】
（1）①依题意补全图形，如图1所示；
②判断出△BAD≌△CAF即可；
（2）先判断出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）①依题意补全图形，如图1所示，
②BC⊥CG，BC=CG；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CG；
∵点G是BA延长线上的点，
BC=CG
（2）方法1 由(1)中G为CF中点画出图形，如下图所示．
与（1）中②同理，得，，．
由，G为CF的中点，可得；
过点A作于点M，过点E作于点N，可证，可得，NE为FG的垂直平分线，；
在中，，，可得，即 ．
方法2：如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF﹣∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CF；
∵AB=，BC=CD=CG=GF=2，
∴在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=，
∴在Rt△AGH中，根据勾股定理的，DG=2，
∵AD=，
∴AH=，HG=，
∴GI=AD﹣HG=，
∴GE=
故答案为．
方法3 如下图所示，过点A作于点K，连接DK，AE．
∵，
又∵，
∴．
∵，∴，得．
根据条件，得，于是可证得．
∴．
在中运用勾股定理，可得，∴．
方法4 如下图所示，过点G作于点M．
可证四边形AGMC是正方形，又根据已知数据可得，．
所以在中，，，所以由勾股定理求得．
方法5如下图所示，建立平面直角坐标系．
分别过点A，E向x轴作垂线，垂足为M，H，可证得．
根据，结合图形的几何特征条件，可求得点H的坐标为，点E的坐标为，点G的坐标为，运用两点间距离公式可得．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出角相等．
9．如图所示，已知，点C、点D在线段AB上且．P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边三角形和等边三角形，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，求点G移动的路径的长．
【答案】3
【分析】
将现有图形看成一个残缺的等边三角形，可通过延长AE，BF补全此三角形，在补全的图形中，点G是某平行四边形一条对角线的中点，可利用平行四边形对角线互相平分的性质考虑点G的运动情况．
【详解】
解：如图所示．延长AE，BF交于点H，则易证四边形EPFH是平行四边形．
∵点G是EF的中点，
∴点G也是HP的中点．
连接HC，HD，分别取HC，HD的中点M，N，连接MN，MG，
∴，，
∴点G在线段MN上．
当点P从点C运动到点D时，点G从点M移动到点N，
∴点G移动的路径的长为．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，三角形中位线的性质，平行四边形的性质，添加辅助线，构造等边三角形以及平行四边形是解题的关键．
10．阅读下面问题的解决过程：
问题：已知在中，P为BC边上的一个定点，过点P作一直线，使其等分的面积．
解决：情形1：如图1所示，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可；
情形2：如图2所示，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．
问题解决：如图3所示，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．
【答案】见解析
【分析】
方法1：根据取对角线AC的中点O，得出折线BOD能平分四边形ABCD的面积，再利用OE//BD，得出S△BEC=S四边形ABED即可得出答案；
方法2：先利用，然后根据等底同高的三角形的面积相等得出，再利用三角形的中线把三角形的面积平分即可得出答案．
【详解】
方法1 如图所示，连接OA，取对角线AC的中点O，连接BO，DO，BD．
∴折线BOD能平分四边形ABCD的面积．
过点O作交CD于点E，连接BE．
∵（或），
∴，∴．
∴直线BE即为所求直线．
方法2 如图所示，连接BD，过点A作交CD的延长线于点M，连接BM，
则，．
取MC的中点E，连接BE，则BE能平分的面积．
∴，
∴直线BE即为所求的直线．
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