2021-2022学年人教版九年级数学暑假预习（2）（Word版含答案）

2021-2022学年人教版八年级数学暑假抢先知（2）
一、知识详解
直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
2.方程的根
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根
（2）当时，方程有两个相等的实数根
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
【注意】
（1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程.
（2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根.
（3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即.
配方法解一元二次方程
1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.可化为的形式的一元二次方程的根
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
3.用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法 示例
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边.
二化 二次项系数化为1 左右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左右两边同时加上一次项系数一半的平方 ，即
四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方
【注意】
配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
（1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号.
（2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号.
（3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即
；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根.
【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）移项：将方程化为一般式；
（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解.
【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根.
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
常见类型 因式分解为 方程的解
(a，b为常数)
根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即.
2.一元二次方程根的情况判断
方程的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
上面结论反过来也成立，即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程没有实数根时，.
【注意】一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时，不要漏掉等号.
【拓展】对于一元二次方程，当异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当时，方程一定有一个根为0.
3.一元二次方程根的判别式的应用
（1）不解方程，判断方程根的情况；
（2）根据方程根的情况，确定方程系数中的字母的取值范围；
（3）应用判别式证明方程根的情况.
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
数学语言 若的两个根为，则，
文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
使用条件 （1）方程时一元二次方程，即二次项系数不为0； （2）方程有实数根，即.
重要结论 （1）若一元二次方程的两根为，则，. （2）以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是.
二、练习
1.用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.已知，是关于x的方程的两实数根，且，，则的值是( )
A. B. C.4 D.-1
4.方程的根是( )
A.1，-2 B.3，-2 C.3 D.1
5.用公式法解方程，得到( )
A. B. C. D.
6.方程的根为___________.
7.若代数式的值与代数式的值相等，则x的值为______________.
8.解方程：
（1）；
（2）；
（3）（用配方法）.
答案以及解析
1.答案：D
解析：解：，
，
，
，
故选：D.
2.答案：B
解析：一元二次方程有两个不相等的实数根.
3.答案：A
解析：，是关于x的方程的两实数根，，，，，.
4.答案：B
解析：由原方程可得，解得，，所以方程的根为3，-2，故选B.
5.答案：C
解析：，，，，，，.故选C.
6.答案：，
解析：将方程左边因式分解得，或，，.
7.答案：0或1
解析：依题意有，整理得，，或，解得，.
8.答案：解：（1）原方程可化为，
移项得，
因式分解得，
即，
或，
，.
（2）整理得.
这里，，，
.
.
，.
（3）两边都除以2，得.
移项，得.
配方，得，.
所以，，.
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