直线和圆的方程
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
题型一:判断直线与圆的位置关系
1.(2021·全国高二单元测试)直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.与的值有关
2.(2021·浙江高二期末)直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.与a的大小有关
3.(2021·北京房山·高二期末)已知直线和圆:,则直线与圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
题型二:由直线与圆的位置关系求参数
4.(2021·云南省云天化中学高二期末(文))直线是圆的一条对称轴,则( )
A. B.1 C. D.3
5.(2021·内蒙古赤峰市·)若直线被圆截得的弦长为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.(2020·大连市红旗高级中学)若直线与圆相切,则直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
题型三:圆的弦长问题
7.(2021·汕头市澄海中学高二月考)若圆被直线截得的弦长为6,则( )
A.26 B.31 C.39 D.43
8.(2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中)圆与直线相交所得弦长为( )
A.1 B. C.2 D.2
9.(2021·湖北十堰市·高二期末)直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
题型四:圆的弦长求参数或者切线方程
10.(2021·上海闵行中学高二期末)圆截直线所得的弦长为,则( )
A. B. C. D.2
11.(2021·广西河池市·高二期末(文))已知斜率为的直线被圆:截得的弦长为,则直线的方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
12.(2021·长春市第二十九中学高二期末(理))直线被截得弦长为6,则ab的最大值是( )
A.9 B.4 C. D.
题型五:直线与圆的应用
13.(2021·广东深圳市·高三月考)一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面3米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽度最接近( )
A.13.1米 B.13.7米 C.13.2米 D.13.6米
14.(2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中)如图,某个圆拱桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米;当水面下降1米后,桥在水面的跨度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
15.(2020·重庆市万州沙河中学高二月考)一艘海监船上配有雷达,其监测范围是半径为26 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为( ) 小时
A.1 B.2 C.3 D.4
题型六:直线与圆的位置关系的综合应用
16.(2021·贵州遵义市·高二期末(理))已知圆心在直线上,且过点、.
(1)求的标准方程;
(2)已知过点的直线被所截得的弦长为4,求直线的方程.
17.(2020·永丰县永丰中学高二期中(文))已知圆经过点,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)若为圆上的动点,求的取值范围.
18.(2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中(文))已知线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,是线段的中点,且直线过定点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记(1)中求得的图形的圆心为,
(i)若直线与圆相切,求直线的方程;
(ii)若直线与圆交于两点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.
【双基达标】
一、单选题
19.(2021·嘉兴市第五高级中学高二期中)直线截圆所得的弦长是( )
A.2 B. C. D.1
20.(2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考)经过点作圆的弦,使得点平分弦,则弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
21.(2021·云南保山市·高二期末(文))若直线:被圆所截得的弦长为2,则点与直线上任意一点的距离的最小值为( )
A.1 B. C. D.
22.(2021·四川省乐至中学高二期末)圆关于直线对称,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
23.(2021·全国高二专题练习)直线与圆相交于,两点,若,则的值是( )
A. B.0 C.0或 D.
24.(2021·广西桂林市·(理))圆到直线的距离为的点有( )
A.个 B.个
C.个 D.个
25.(2021·全国)已知圆的方程为,过直线上任意一点作圆的切线.若切线长的最小值为,则直线的斜率为( )
A.4 B.-4 C. D.
26.(2021·全国高二期中)在平面直角坐标系中,动圆与直线相切,则面积最大的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
27.(2021·山西晋中·高二期末(理))已知圆,直线,P为l上的动点,过点P作圆C的两条切线PA、PB,切点分别A、B,当最小时,直线AB的方程为( )
A. B.
C. D.
28.(2021·克拉玛依市第一中学高二月考)已知圆及直线,设直线与圆相交所得的最长弦长为,最短弦为,则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
【高分突破】
一:单选题
29.(2021·全国高二专题练习)已知圆的圆心在直线上,则该圆的面积为( )
A. B. C. D.
30.(2021·南昌市豫章中学(文))若圆上存在到直线的距离等于1的点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
31.(2021·浙江丽水·高二期中)已知圆,直线,点为上一动点,过点作圆的切线,(切点为,),当四边形的面积最小时,直线的方程为( )
A. B. C. D.
32.(2021·云南师大附中(理))已知在圆上到直线的距离为的点恰有三个,则( )
A. B. C. D.8
33.(2021·四川(理))已知圆与直线(,为非零实数)相切,则的最小值为( )
A.10 B.12 C.13 D.16
34.(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟(理))若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
35.(2021·全国高二专题练习)已知三条直线,,,其中,,,,为实数,,不同时为零,,,不同时为零,且.设直线,交于点,则点到直线的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题
36.(2021·全国高二专题练习)已知直线和圆,则( )
A.直线l恒过定点
B.存在k使得直线l与直线垂直
C.直线l与圆O相交
D.若,直线l被圆O截得的弦长为4
37.(2020·河北武强中学高二月考)直线经过点,且与圆相交,截得弦长为,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
38.(2021·全国高二专题练习)设直线与圆,则下列结论正确的为( )
A.与可能相离 B.不可能将的周长平分
C.当时,被截得的弦长为 D.被截得的最短弦长为
39.(2021·山东菏泽·高二期末)已知直线,圆,则下列结论正确的是( )
A.直线l与圆C恒有两个公共点
B.圆心C到直线l的最大距离是
C.存在一个m值,使直线l经过圆心C
D.当时,圆C与圆关于直线l对称
三、填空题
40.(2021·合肥百花中学高二期末(理))设直线与圆交于两点,则__________.
41.(2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学(文))已知点在圆上,则的最大值是________.
42.(2021·上海高二期中)在平面直角坐标系中,过点且与圆相切的直线方程为__________.
43.(2021·江苏南京市·南京一中高二期末)已知直线:与直线:相交于点,点是圆上的动点,则的最大值为___________.
四、解答题
44.(2021·合肥百花中学高二期末(理))已知圆,其圆心C在直线上.
(1)求m的值;
(2)若过点的直线与圆C相切,求直线的方程.
45.(2021·荆州市沙市第五中学高二期中)已知圆经过,两点,圆心在直线上,过点且斜率为的直线与圆相交于,两点.
(1)求圆的方程;
(2)若(为坐标原点),求直线的方程.
46.(2021·台州市书生中学高二期中)已知圆,直线.
(1)求证:对,直线与圆总有两个不同交点;
(2)设与圆交与不同两点,求弦的中点的轨迹方程;
(3)若直线过点,且点分弦为,求此时直线的方程.
47.(2020·安徽六安市·立人中学高二期中(理))已知圆C经过两点,且圆心C在直线上,直线l的方程为.
(1)求圆C的方程;
(2)证明:直线l与圆C一定相交;
(3)求直线l被圆C截得的弦长的取值范围.
48.(2020·吉安县立中学(文))已知两个定点,, 动点满足,设动点的轨迹为曲线,直线:.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若与曲线交于不同的、两点,且 (为坐标原点),求直线的斜率;
(3)若,是直线上的动点,过作曲线的两条切线、,切点为、,探究:直线是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.
【答案详解】
1.A
【详解】
过定点,且,
故在圆内,
故直线和圆相交.
故选:A
2.A
【详解】
直线l:,即恒过,而,故点在圆内,
故直线与圆必然相交.
故选:A.
3.A
【详解】
直线方程整理为,即直线过定点,
而,在圆内,
∴直线与圆相交.
故选:A.
4.B
【详解】
由,得,
则圆心坐标为,
又直线是圆的一条对称轴,
由圆的对称性可知,该圆的圆心在直线上,
则,
故选:B.
5.D
【详解】
由圆的方程,可得圆心坐标为,半径为,
因为直线被圆截得的弦长为,
可直线必过圆心,代入可得,
又因为,则,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:D.
6.A
【详解】
由圆方程知其圆心,半径为,
直线与圆相切,,解得:,
由圆方程知其圆心,半径,
圆心到直线距离;
当时,,即,
此时圆与直线相交;
当时,,即,
此时圆与直线相交;
综上所述:圆与直线相交.
故选:A.
7.C
【详解】
将圆化为,
所以圆心到直线的距离,
该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形,
所以,解得
故选:C
8.D
【详解】
圆的圆心坐标为,半径为,
圆心到直线的距离为,
故弦长为:,
故选:D.
9.C
【详解】
由可得,
则圆心坐标为,半径,
所以圆心到直线的距离为,
所以所求弦长为.
故选:C.
10.B
【详解】
由题意圆心到直线的距离为
故选:B
11.B
【详解】
圆的标准方程为,设直线的方程为,可知圆心到直线的距离为,有,有或,直线的方程为或.
故选:B
12.D
【详解】
将化为标准形式:,
故该圆圆心为,半径为3.
因为直线截圆所得弦长为6,
故直线过圆心,所以,
即,所以(当且仅当时取等号),
故选:D.
13.C
【详解】
如图建立平面直角坐标系,则圆心在y轴上,设圆的半径为r,
则圆的方程为,
∵ 拱顶离水面3米,水面宽12米,
∴ 圆过点,
∴ ,
∴
∴ 圆的方程为,
当水面下降1米后,可设水面的端点坐标为,
则, ∴ ,
∴ 当水面下降1米后,水面宽度为,约为13.2,
故选:C.
14.C
【详解】
以圆拱桥的顶点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上,设该圆的圆心为,,
则该圆的方程为,
记水面下降前与圆的两交点为,;记水面下降米后与圆的两交点为,;
由题意可得,,则,解得,
所以圆的方程为,
水面位下降米后,可知点纵坐标为,
所以,解得,
则此时的桥在水面的跨度为米.
故选:C.
15.B
根据题意以海监船的位置为坐标原点,其正东方向为轴,正北方向为轴,
所以,圆,记从处开始被监测,到处监测结束,
所以,即,
因为到的距离为,
所以,所以监测时间持续小时,
故选:B.
16.(1);(2)或.
由点、可得中点坐标为,,
所以直线的垂直平分线的斜率为,
可得直线的垂直平分线的方程为:即,
由可得:,所以圆心为,
,
所以的标准方程为,
(2)设直线的方程为即,
圆心到直线的距离,
则可得,
即,解得:或,
所以直线的方程为或,
即或
17.(1);(2).
【详解】
(1)设所求圆的方程为
由题意得,解得
所以,圆的方程为
(2)由(1)得,则圆心为,半径为1;
而表示圆上的点与定点连线的斜率,
当过点的直线与圆相切时,不妨设直线方程为:,即,
则圆心到直线的距离为,解得,
因此的取值范围是;
18.
【详解】
(1)设,,
是线段中点,,整理可得:,
在圆上,,
整理可得点轨迹方程为:.
(2)(i)由(1)知:圆心,半径,
当直线斜率不存在时,方程为,是圆的切线,满足题意;
当直线斜率存在时,设其方程为,即,
圆心到直线距离,解得:,;
综上所述:直线的方程为或;
(ii)由直线与圆交于两点知:直线斜率存在且不为,
设其方程为:,即,
圆心到直线距离,
(当且仅当,即时取等号),
由得:,解得:或,
面积的最大值为,此时方程为:或.
19.C
圆心(0,0)到直线的距离,因为圆的半径为1,则弦长为.
故选:C.
20.A
【详解】
由题意,圆,可得圆心坐标为,
点在圆C内,则过点且被点平分的弦所在的直线和圆心与的连线垂直,
又由,所以所求直线的斜率为1,且过点,
可得所求直线方程为,即.
故选:A
21.B
【详解】
根据题意,圆的圆心为,半径为2,
设圆心到直线的距离为,则,
若直线被圆所截得的弦长为2,则,
所以,又,解得,
所以,解得,
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离,
故选:B.
22.A
【详解】
解:把圆的方程化为标准方程得:,
圆心坐标为,半径,
根据题意可知:圆心在已知直线上,
把圆心坐标代入直线方程得:,即,
则设,
当时,有最大值,最大值为,即的最大值为,
则的取值范围是,.
故选:.
23.C
由题意,知,圆心为(3,2).设圆的半径为,则,
所以圆心到直线的距离.
由点到直线的距高公式,得,解得或.
故选:C.
24.B
【详解】
由,得,则圆心为,半径,
因为圆心到直线的距离为,且,
所以圆到直线的距离为的点有2个,
故选:B
25.C
【详解】
解:由,得圆心,过直线上任意一点作圆的切线,要使切线长最小,即要使圆心到直线的距离最小,根据题意作图,如图所示:
圆的半径为1,切线长为,
圆心到直线的距离等于,
由点到直线的距离公式得,解得,此时直线的斜率为.
故选:C.
26.B
【详解】
解:根据题意,直线,恒过定点,
动圆,其圆心为,半径为,
若圆的面积最大,即圆心到直线的距离最大,且其最大值,
即圆的面积最大时,圆的半径,
此时圆的方程为:,
故选:B.
27.A
【详解】
圆的标准方程为,圆心为,半径为.
依圆的知识可知,四点P,A,B,C四点共圆,且AB⊥PC,所以
,而,
当直线PC⊥l时,最小,此时最小.
结合图象可知,此时切点为,所以直线的方程为,即.
故选:A
28.A
【详解】
将圆方程整理为:,则圆心,半径;
将直线方程整理为:,则直线恒过定点,且在圆内;
最长弦为过的圆的直径,则;
最短弦为过,且与最长弦垂直的弦,
,,直线方程为,即,
圆心到直线的距离为,;
四边形的面积.
故选:A.
29.A
【详解】
圆的方程可化为,其圆心为.
依题意得,,解得,
圆的半径为,面积为,
故选:A
30.A
【详解】
解:将圆的方程化为标准形式得圆,
所以圆心坐标为,半径为
因为圆上存在到直线的距离等于1的点,
所以圆心到直线的距离满足,即,解得:
故选:A
31.C
【详解】
设四边形的面积为,
,,
所以,当最小时,就最小,,
所以. 此时.
所以,四边形是正方形,
由题得直线的方程为,
联立得,
所以线段的中点坐标为,
由题得直线的斜率为
所以直线的方程为,
化简得直线的方程为.
故选:C
32.C
【详解】
解:因为圆的圆心为,半径为,
圆心到直线的距离,
因为在圆上到直线的距离为的点恰有三个,
所以.
故选:.
33.D
【详解】
因为圆与直线相切,
所以,所以,
所以,
取等号时,
所以的最小值为.
故选:D.
34.C
【详解】
由题意,易知,直线的斜率存在,设直线的方程为,即
曲线表示圆心,半径为1的圆,
圆心到直线的距离应小于等于半径,
,即,解得.
故选:C.
35.D
【详解】
由于,,且,,
易知直线过原点,
将直线的方程化为,由,解得,
所以,直线过定点,所以,
因为,则,直线的方程为,
直线的方程可化为,由,解得,
所以,直线过定点,如下图所示:
设线段OM的中点为点E,则,
若点P不与O或M重合,由于,由直角三角形的性质可得;
若点P与O或M重合,满足.
由上可知,点P的轨迹是以OM为直径的圆E,该圆圆心为,半径为.
设点E到直线的距离为d,当时,;
当EN不与垂直时,.
综上,.
所以,点P到直线的距离的最大值为.
故选:D.
36.BC
【详解】
解:对于A、C,由,得,令,解得,
所以直线恒过定点,故A错误;
因为直线恒过定点,而,即在圆内,
所以直线l与圆O相交,故C正确;
对于B,直线的斜率为,则当时,满足直线与直线垂直,故B正确;
对于D,时,直线,圆心到直线的距离为,
所以直线l被圆O截得的弦长为,故D错误.
故选:BC.
37.BD
【详解】
圆心为原点,半径为,
依题意可知直线的斜率存在,
设直线的方程为,即,
所以或.
所以直线的方程为或,
即或.
故选:BD
38.BD
【详解】
对于A选项,直线过定点,且点在圆内,则直线与圆必相交,A选项错误;
对于B选项,若直线将圆平分,则直线过原点,此时直线的斜率不存在,B选项正确;
对于C选项,当时,直线的方程为,圆心到直线的距离为,
所以,直线被截得的弦长为,C选项错误;
对于D选项,圆心到直线的距离为,
所以,直线被截得的弦长为,D选项正确.
故选:BD.
39.AD
【详解】
解:由直线,即,
得,解得,则直线过定点,,
圆化为,圆心坐标为,
,点在圆内部,直线与圆恒有两个公共点,故A正确;
圆心到直线的最大距离为,故B错误;
直线系方程不包含直线(无论取何值),
而经过,的直线只有过,故C错误;
当时,直线为,圆的圆心坐标为,半径为1,
圆的圆心坐标为,半径为1,两圆的圆心关于直线对称,半径相等,
则当时,圆与圆关于直线对称,故D正确.
故选:AD.
40.
【详解】
圆的圆心为,半径为2,
则圆心到直线的距离为,所以,
故答案为:
41.
【详解】
令,则,表示直线在轴上的截距,
所以的最大值是直线在轴上截距的最大值,
此时直线与圆相切,
则圆心到直线的距离等于半径,即,
解得.
故答案为:
42.x=2或.
【详解】
圆的标准式为:,容易验证x=2与圆相切,若切线的斜率存在,则设其方程为:,于是圆心到直线的距离,则切线:.
故答案为:x=2或.
43.
解:因为直线:恒过定点,直线:恒过定点,且,
所以两直线的交点在以为直径的圆上,且圆的方程为,
要求的最大值,转化为在上找上一点,在上找一点,使最大,
根据题意可知两圆的圆心距为,
所以的最大值为,
故答案为:
44.(1);(2)或.
【详解】
解:(1)圆的标准方程为:,
所以,圆心为
由圆心在直线上,得.
所以,圆的方程为:.
(2)由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为:,即,
由于直线和圆相切,得
解得:
所以,直线方程为:或.
45.(1);(2).
【详解】
解:(1)设圆的方程为,则依题意,得
解得∴圆的方程为
(2)设直线的方程为,设,,将,代入并整理,得,
∴,
∴,
即,解得,
又当时,∴,∴直线的方程为
46.
(1)圆的圆心,半径为,所以圆心到直线的距离为,所以直线与圆相交,故对,直线与圆总有两个不同交点;
(2)
当与不重合时,连接,则,所以,
设,则,
整理得,
当与重合时,也满足,
故弦的中点的轨迹方程为;
(3)设,由,得,所以,即,又,消去得,所以,,
由得,
将带入得,
所以此时直线的方程为或.
47.
(1)因为,
所以的中垂线为上,
由,解得,所以圆心为,
又半径,
∴圆C的方程为.
(2)直线l的方程可化为,
令可得,,
∴直线l过定点,
由可知M在圆内,
∴直线l与圆C一定相交.
(3)设圆心C到直线l的距离为d,弦长为L,
则,
∵,即,
∴,
即弦长的取值范围是.
48.(1);(2);(3)存在,.
(1)由题,设点的坐标为,
因为,即,
整理得,
所以所求曲线的轨迹方程为.
(2)依题意,,且,
由圆的性质,可得点到边的距离为1,
即点到直线的距离为,解得,
所以所求直线的斜率为.
(3)依题意,,则都在以为直径的圆上,
是直线上的动点,设,
则圆的圆心为,且经过坐标原点,
即圆的方程为,
又因为在曲线上,
由,可得,
即直线的方程为,
由且,可得,解得,
所以直线过定点.