人教A版2019选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）

直线和圆的方程
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
题型一：判断直线与圆的位置关系
1．（2021·全国高二单元测试）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与的值有关
2．（2021·浙江高二期末）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的大小有关
3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
题型二：由直线与圆的位置关系求参数
4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B．1 C． D．3
5．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·大连市红旗高级中学）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
题型三：圆的弦长问题
7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆被直线截得的弦长为6，则（ ）
A．26 B．31 C．39 D．43
8．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆与直线相交所得弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
9．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆的弦长求参数或者切线方程
10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆截直线所得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．2
11．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线被截得弦长为6，则ab的最大值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
题型五：直线与圆的应用
13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（ ）
A．13.1米 B．13.7米 C．13.2米 D．13.6米
14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六：直线与圆的位置关系的综合应用
16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知圆心在直线上，且过点、．
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程．
17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆经过点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上的动点，求的取值范围．
18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中求得的图形的圆心为，
（i）若直线与圆相切，求直线的方程；
（ii）若直线与圆交于两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.
【双基达标】
一、单选题
19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线截圆所得的弦长是（ ）
A．2 B． C． D．1
20．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点作圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
22．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·全国高二专题练习）直线与圆相交于，两点，若，则的值是（ ）
A． B．0 C．0或 D．
24．（2021·广西桂林市·（理））圆到直线的距离为的点有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
25．（2021·全国）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线．若切线长的最小值为，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆及直线，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
29．（2021·全国高二专题练习）已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆，直线，点为上一动点，过点作圆的切线，（切点为，），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆上到直线的距离为的点恰有三个，则（ ）
A． B． C． D．8
33．（2021·四川（理））已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．16
34．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线，，，其中，，，，为实数，，不同时为零，，，不同时为零，且．设直线，交于点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
36．（2021·全国高二专题练习）已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
37．（2020·河北武强中学高二月考）直线经过点，且与圆相交，截得弦长为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
38．（2021·全国高二专题练习）设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）
A．与可能相离 B．不可能将的周长平分
C．当时，被截得的弦长为 D．被截得的最短弦长为
39．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C恒有两个公共点
B．圆心C到直线l的最大距离是
C．存在一个m值，使直线l经过圆心C
D．当时，圆C与圆关于直线l对称
三、填空题
40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线与圆交于两点，则__________．
41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点在圆上，则的最大值是________．
42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________．
43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.
四、解答题
44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆，其圆心C在直线上．
（1）求m的值；
（2）若过点的直线与圆C相切，求直线的方程．
45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆经过，两点，圆心在直线上，过点且斜率为的直线与圆相交于，两点.
（1）求圆的方程；
（2）若（为坐标原点），求直线的方程.
46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆，直线．
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）设与圆交与不同两点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）若直线过点，且点分弦为，求此时直线的方程．
47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，直线l的方程为．
（1）求圆C的方程；
（2）证明：直线l与圆C一定相交；
（3）求直线l被圆C截得的弦长的取值范围．
48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点，， 动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的、两点，且 (为坐标原点)，求直线的斜率；
（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
【答案详解】
1．A
【详解】
过定点，且，
故在圆内，
故直线和圆相交.
故选：A
2．A
【详解】
直线l：，即恒过，而，故点在圆内，
故直线与圆必然相交．
故选：A．
3．A
【详解】
直线方程整理为，即直线过定点，
而，在圆内，
∴直线与圆相交．
故选：A．
4．B
【详解】
由，得，
则圆心坐标为，
又直线是圆的一条对称轴，
由圆的对称性可知，该圆的圆心在直线上，
则，
故选：B．
5．D
【详解】
由圆的方程，可得圆心坐标为，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
可直线必过圆心，代入可得，
又因为，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
6．A
【详解】
由圆方程知其圆心，半径为，
直线与圆相切，，解得：，
由圆方程知其圆心，半径，
圆心到直线距离；
当时，，即，
此时圆与直线相交；
当时，，即，
此时圆与直线相交；
综上所述：圆与直线相交.
故选：A.
7．C
【详解】
将圆化为，
所以圆心到直线的距离，
该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，
所以，解得
故选：C
8．D
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故弦长为：，
故选：D.
9．C
【详解】
由可得，
则圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以所求弦长为.
故选：C.
10．B
【详解】
由题意圆心到直线的距离为
故选：B
11．B
【详解】
圆的标准方程为，设直线的方程为，可知圆心到直线的距离为，有，有或，直线的方程为或．
故选：B
12．D
【详解】
将化为标准形式：，
故该圆圆心为，半径为3.
因为直线截圆所得弦长为6，
故直线过圆心，所以，
即，所以（当且仅当时取等号），
故选：D.
13．C
【详解】
如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，
则圆的方程为，
∵ 拱顶离水面3米，水面宽12米，
∴ 圆过点,
∴ ，
∴
∴ 圆的方程为，
当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，
则， ∴ ，
∴ 当水面下降1米后，水面宽度为，约为13.2，
故选：C.
14．C
【详解】
以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，，
则该圆的方程为，
记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；
由题意可得，，则，解得，
所以圆的方程为，
水面位下降米后，可知点纵坐标为，
所以，解得，
则此时的桥在水面的跨度为米.
故选：C.
15．B
根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为轴，正北方向为轴，
所以，圆，记从处开始被监测，到处监测结束，
所以，即，
因为到的距离为，
所以，所以监测时间持续小时，
故选：B.
16．（1）；（2）或.
由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
17．（1）；（2）.
【详解】
（1）设所求圆的方程为
由题意得，解得
所以，圆的方程为
（2）由（1）得，则圆心为，半径为1；
而表示圆上的点与定点连线的斜率，
当过点的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
因此的取值范围是；
18．
【详解】
（1）设，，
是线段中点，，整理可得：，
在圆上，，
整理可得点轨迹方程为：.
（2）（i）由（1）知：圆心，半径，
当直线斜率不存在时，方程为，是圆的切线，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为，即，
圆心到直线距离，解得：，；
综上所述：直线的方程为或；
（ii）由直线与圆交于两点知：直线斜率存在且不为，
设其方程为：，即，
圆心到直线距离，
（当且仅当，即时取等号），
由得：，解得：或，
面积的最大值为，此时方程为：或.
19．C
圆心（0,0）到直线的距离，因为圆的半径为1，则弦长为.
故选：C.
20．A
【详解】
由题意，圆，可得圆心坐标为，
点在圆C内，则过点且被点平分的弦所在的直线和圆心与的连线垂直，
又由，所以所求直线的斜率为1，且过点，
可得所求直线方程为，即．
故选：A
21．B
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
22．A
【详解】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
圆心坐标为，半径，
根据题意可知：圆心在已知直线上，
把圆心坐标代入直线方程得：，即，
则设，
当时，有最大值，最大值为，即的最大值为，
则的取值范围是，．
故选：．
23．C
由题意，知，圆心为(3，2).设圆的半径为，则，
所以圆心到直线的距离.
由点到直线的距高公式，得，解得或.
故选：C.
24．B
【详解】
由，得，则圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离为，且，
所以圆到直线的距离为的点有2个，
故选：B
25．C
【详解】
解：由，得圆心，过直线上任意一点作圆的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线的距离最小，根据题意作图，如图所示：
圆的半径为1，切线长为，
圆心到直线的距离等于，
由点到直线的距离公式得，解得，此时直线的斜率为．
故选：C．
26．B
【详解】
解：根据题意，直线，恒过定点，
动圆，其圆心为，半径为，
若圆的面积最大，即圆心到直线的距离最大，且其最大值，
即圆的面积最大时，圆的半径，
此时圆的方程为：，
故选：B．
27．A
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为.
依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以
，而，
当直线PC⊥l时，最小，此时最小.
结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即.
故选：A
28．A
【详解】
将圆方程整理为：，则圆心，半径；
将直线方程整理为：，则直线恒过定点，且在圆内；
最长弦为过的圆的直径，则；
最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，
，，直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，；
四边形的面积.
故选：A.
29．A
【详解】
圆的方程可化为，其圆心为.
依题意得，，解得，
圆的半径为，面积为，
故选：A
30．A
【详解】
解:将圆的方程化为标准形式得圆,
所以圆心坐标为,半径为
因为圆上存在到直线的距离等于1的点，
所以圆心到直线的距离满足,即,解得:
故选:A
31．C
【详解】
设四边形的面积为，
，，
所以，当最小时，就最小，，
所以． 此时.
所以，四边形是正方形，
由题得直线的方程为，
联立得，
所以线段的中点坐标为，
由题得直线的斜率为
所以直线的方程为，
化简得直线的方程为.
故选：C
32．C
【详解】
解：因为圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为在圆上到直线的距离为的点恰有三个，
所以．
故选：．
33．D
【详解】
因为圆与直线相切，
所以，所以，
所以，
取等号时，
所以的最小值为.
故选：D.
34．C
【详解】
由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即
曲线表示圆心，半径为1的圆，
圆心到直线的距离应小于等于半径，
，即，解得.
故选：C.
35．D
【详解】
由于，，且，，
易知直线过原点，
将直线的方程化为，由，解得，
所以，直线过定点，所以，
因为，则，直线的方程为，
直线的方程可化为，由，解得，
所以，直线过定点，如下图所示：
设线段OM的中点为点E，则，
若点P不与O或M重合，由于，由直角三角形的性质可得；
若点P与O或M重合，满足.
由上可知，点P的轨迹是以OM为直径的圆E，该圆圆心为，半径为.
设点E到直线的距离为d，当时，；
当EN不与垂直时，.
综上，.
所以，点P到直线的距离的最大值为.
故选：D.
36．BC
【详解】
解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
37．BD
【详解】
圆心为原点，半径为，
依题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
所以或.
所以直线的方程为或，
即或.
故选：BD
38．BD
【详解】
对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误；
对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确；
对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
所以，直线被截得的弦长为，C选项错误；
对于D选项，圆心到直线的距离为，
所以，直线被截得的弦长为，D选项正确.
故选：BD.
39．AD
【详解】
解：由直线，即，
得，解得，则直线过定点，，
圆化为，圆心坐标为，
，点在圆内部，直线与圆恒有两个公共点，故A正确；
圆心到直线的最大距离为，故B错误；
直线系方程不包含直线（无论取何值），
而经过，的直线只有过，故C错误；
当时，直线为，圆的圆心坐标为，半径为1，
圆的圆心坐标为，半径为1，两圆的圆心关于直线对称，半径相等，
则当时，圆与圆关于直线对称，故D正确．
故选：AD．
40．
【详解】
圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，所以，
故答案为：
41．
【详解】
令，则，表示直线在轴上的截距，
所以的最大值是直线在轴上截距的最大值，
此时直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，
解得.
故答案为：
42．x=2或.
【详解】
圆的标准式为：，容易验证x=2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：，于是圆心到直线的距离，则切线：.
故答案为：x=2或.
43．
解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，
所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，
要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，
根据题意可知两圆的圆心距为，
所以的最大值为，
故答案为：
44．（1）；（2）或．
【详解】
解：（1）圆的标准方程为：，
所以，圆心为
由圆心在直线上，得．
所以，圆的方程为：．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，即，
由于直线和圆相切，得
解得：
所以，直线方程为：或．
45．（1）；（2）.
【详解】
解：（1）设圆的方程为，则依题意，得
解得∴圆的方程为
（2）设直线的方程为，设，，将，代入并整理，得，
∴，
∴，
即，解得，
又当时，∴，∴直线的方程为
46．
（1）圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）
当与不重合时，连接，则，所以，
设，则，
整理得，
当与重合时，也满足，
故弦的中点的轨迹方程为;
（3）设，由，得，所以，即，又，消去得，所以，，
由得，
将带入得，
所以此时直线的方程为或.
47．
（1）因为，
所以的中垂线为上，
由，解得，所以圆心为，
又半径，
∴圆C的方程为．
（2）直线l的方程可化为，
令可得，，
∴直线l过定点，
由可知M在圆内，
∴直线l与圆C一定相交．
（3）设圆心C到直线l的距离为d，弦长为L，
则，
∵，即，
∴，
即弦长的取值范围是．
48．（1）；（2）；（3）存在，.
（1）由题，设点的坐标为，
因为，即，
整理得，
所以所求曲线的轨迹方程为．
（2）依题意，，且，
由圆的性质，可得点到边的距离为1，
即点到直线的距离为，解得，
所以所求直线的斜率为．
（3）依题意，，则都在以为直径的圆上，
是直线上的动点，设，
则圆的圆心为，且经过坐标原点，
即圆的方程为，
又因为在曲线上，
由，可得，
即直线的方程为，
由且，可得，解得，
所以直线过定点．