人教A版2019选择性必修第一册2.4 圆的方程 同步练习（Word版含解析）

直线和圆的方程
2.4　圆的方程
考点一：求圆的标准方程
1．与圆同圆心，且面积为面积的一半的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知、，则以线段为直径的圆的方程是　　
A． B．
C． D．
3．若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
考点二、点与圆的位置关系
4．若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是
A．(1,1) B．(0,1) C． D．
6．已知圆，点在圆上，点在圆外，则的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
考点三：圆的一般方程的问题（参数）
7．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若直线平分圆的周长，则（ ）
A．9 B．-9 C．1 D．-1
9．圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
考点四：求圆的方程类型
10．已知方程表示一个圆．
（1）求的取值范围；
（2）若圆的直径为6，求的值．
11．已知点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆过点，且与圆相切于点，求圆的标准方程．
12．已知圆的方程为：．
（1）求的取值范围;
（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
考点五：圆的对称问题
13．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则（ ）
A．-2 B． C．-4 D．
14．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
考点六：动点的轨迹方程
15．当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求的中点的轨迹方程.
【双基达标】
一、单选题
17．已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
18．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．已知直线经过圆的圆心且与直线平行，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
21．方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
23．已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．若，则方程能表示的不同圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为( )
A．（x–1）2+（y–1）2=4 B．
C．（x–1）2+（y–1）2=2 D．（x–1）2+（y–2）2=5
26．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　　)
A．a<－2或a> B．－C．－227．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
28．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（ ）
A．9 B．8
C．4 D．2
【高分突破】
一：单选题
29．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
30．已知的三个顶点为，，，过点作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
31．圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
32．已知圆，则下列说法正确的有（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
33．已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为
A． B． C． D．
34．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
35．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
36．已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
37．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
38．已知过点的圆C和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为________________．
39．已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．
40．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是___________
41．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________.
42．已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________.
四、解答题
43．已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
44．求满足下列条件的各圆的标准方程：
（1）圆心为点，且经过点．
（2）经过，两点，且圆心在直线上．
45．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6＝0，点T（-1，1）在AD边所在直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆E的方程；
（3）已知点P是（2）中圆E上一动点，点Q（8，0），求线段PQ的中点R的轨迹方程.
46．已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的外接圆的方程．
47．已知点及圆.
(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案详解】
1．D
【详解】
由题得圆，所以圆的圆心为，半径为6.
设所求的圆的半径为，所以.
所以所求的圆的方程为.
故选：D
2．B
【详解】
解：由、，设圆心为，
则圆心的坐标为，即；
所以，则圆的半径，
所以以线段为直径的圆的方程是．
故选：．
3．D
【详解】
因为圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，可设圆心为，，则圆心到原点的距离等于到这条直线的距离，即，解得，则半径为，圆心为，圆的方程为：
故选：D
4．C.
【详解】
由题意，得，即，又易知，所以.
故选：C
5．A
【详解】
因为点在圆的内部，则，解得.故选A.
6．C
【详解】
圆的标准方程为：，又，
，故的最大值为7，当且仅当三点共线时等号成立.故选C.
7．C
【详解】
因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平
分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆
的半径，所以，圆的方程为，
即.
故选：C.
8．B
【详解】
因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B.
9．B
【详解】
圆，即.
圆心到直线的距离，
∴.
故选：B
10．（1）；（2）．
【详解】
（1）由题意，方程表示圆，
则满足，解得，
即实数的取值范围.
（2）由圆的直径为6，可得，解得．
11．（1）；（2）.
【详解】
解：（1）将点代入圆，可得，
所以圆，
化为标准方程可得．
（2）设圆的标准方程为，圆心为，
直线的方程为，即，
把代入得，
又，解得，，
所以，
故圆的标准方程为．
12．
【详解】
（1）由题知：，解得
（2）假设存在得以为直径的圆过原点，设，，
，
，解得，又因为，所以.
，.
.
因为以为直径的圆过原点，则，
即，整理可得，
即，解得.
所以存在得以为直径的圆过原点.
13．C
【详解】
本题考查圆的方程和圆的几何性质.
圆的圆心是坐标原点，半径为1，易得点关于直线对称的点的坐标为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，化为一般式为，所以，即.
故选：C
14．C
【详解】
由题意反射光线过圆心，又点与圆心连线与轴平行，所以入射光线与的交点的横坐标为，即入射光线与轴交点为．
所以反射光线所在的直线方程为，即．
故选：C．
15．B
【详解】
设，线段的中点为，（如图）
则即，
点在圆上变动，即
即
故选：B
16．（1）；（2）.
【详解】
（1）设圆心的坐标为，则有，
整理求得，
故圆心为，半径满足，
则圆的方程为；
（2）设线段中点，，
由可知，，
∵点在圆上运动，∴，
∴的轨迹方程为.
D
解：由圆的标准方程得：
圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：
．
故选：．
18．A
由，得．
故选：A．
19．C
【详解】
由圆，可得圆心坐标，
又由直线与直线平行，可设直线，
因为直线经过圆的圆心，
代入可得，解得，即的方程是.
故选：C.
20．D
【详解】
法1：以线段为直径的圆的直径式方程为，
整理得到：，
故选：D.
法2：因为圆以为直径，故圆心为的中点，
又，故圆的半径为5，
故以线段为直径的圆的方程为：.
故选：D.
21．D
【详解】
方程 表示的图形是半径为的圆，
，求得，
故圆心，在第四象限，
故选：D．
22．A
【详解】
因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
23．D
【详解】
设圆的方程为，
把点，，代入得
，
解得，，，
所以圆的方程是．
故选：D．
24．B
【详解】
由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
25．C
【解析】
因为圆心在弦的中垂线上，所有可设，由于为等腰直角三角形，所以圆心坐标为 ，圆的半径为，所以圆的方程为，故选C.
26．D
【分析】
先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a的范围.
【详解】
由题意可得圆的标准方程，由解得，选D.
【点睛】
圆的一般方程，化标准方程为（其中），圆心为，半径．
27．D
【详解】
设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到.
故选：D.
28．A
【详解】
圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
故选：A
29．D
【详解】
由得，
因此圆心为，半径为，
当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，
因此圆心到坐标原点的距离为，
即原点在圆外，
根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.
故选：D.
30．B
【详解】
设的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得
，解得 .
∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，
点（3，5）在圆内部，
由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，
点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．
根据勾股定理得最短的弦|BD|＝，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S＝|AC| |BD|＝×10×＝．
故选：B．
31．A
【详解】
由题意有，圆的圆心C，半径为3，设所求圆的圆心为，
由圆C和圆C’关于直线l对称得，点C和点C’关于直线l对称，
则，解得，
则所求圆的标准方程是．
故选：A．
32．ABC
【详解】
，所以圆心的坐标为，半径为．
A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；
B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确．
故选：ABC．
33．AB
【详解】
圆的标准方程为：，故.
又因为弦的中点为，
故点在圆内，所以即.
综上，.
故选：AB.
34．AD
【详解】
由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
35．AD
【详解】
根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
故选：AD.
36．AD
【详解】
依题意，直线的方程为，化为一般式方程：，
点到直线的距离，
又直线的方程为，直线的方程为，
因此点到直线的距离为，到直线的距离为，
当以原点为圆心的圆与直线相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；
此时圆的半径为，所以圆的方程为；
又，，，
由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点，
即圆的半径为，则圆的方程为.
故选：AD.
37．CD
【详解】
由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点的斜率的值，
设过点的直线为，即，
则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，
所以，即的最大值为，最小值为.
故选：CD.
38．
【详解】
由题意，设，则，
∴圆C的标准方程为，又在圆上，
∴，整理得，即，
∴圆C的标准方程为.
故答案为：
39．
【详解】
方程表示圆，
所以，解得或，
当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；
当时，方程，即，此时，方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是．
故答案为：．
40．（去掉两点）
【详解】
设，由题意知，，
因是以为底边的等腰三角形，于是有，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
又点构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B及点B关于点A对称的点，
所以点的轨迹方程为(去掉两点).
故答案为：(去掉两点)
41．
【详解】
由于半径相等，易求，由圆的圆心坐标为O(0，0)，
圆的标准方程为，可得圆心，
则OA的中点坐标为，且OA的斜率为，可得所求直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
42．15
【详解】
令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3），
∴|AB|＝5，
由x2＋y2-10x-12y＋52＝得，
所以圆的半径为3，圆心为，
圆心到直线的距离，
所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为，
所以的最大值为，最小值为，
所以△ABC面积的最大值和最小值之差为.
故答案为：15
43．（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．
【详解】
（1）设圆方程为，
则，解得 ，
所以圆方程为，即；
（2）由（1），设，则由 得，，即 ，，．
又在圆内部，
所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）．
44．（1）；（2）．
【详解】
（1）设圆的标准方程为，
因为圆心为点，即，，
又由圆经过点，则
所以圆的标准方程为．
（2）线段的中垂线方程为，
由得圆心的坐标，所以半径，
圆的方程为.
45．（1）3x＋y＋2＝0；（2）（x-2）2＋y2＝8；（3）（x-5）2＋y2＝2.
【详解】
解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为-3.
又因为点T（-1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y-1＝-3（x＋1），即3x＋y＋2＝0；
（2）由解得点A的坐标为.
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）.
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又.
从而矩形ABCD外接圆E的方程为（x-2）2＋y2＝8；
（3）设点P（x0，y0），点R（x，y），则由中点坐标公式得，，
即x0＝2x-8，y0＝2y.
因为点P在圆E上，所以，故有，
即，即点R的轨迹方程为圆.
46．（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0
【详解】
（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为-2，则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0
47．（1）或；（2）；（3）不存在.
【详解】
(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.
所以直线方程为，即.
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．
即直线的方程为或.
(2)由于，而弦心距，
所以.
所以恰为的中点．
故以为直径的圆的方程为.
(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.
由于直线交圆于两点，
故，
即，解得.
则实数的取值范围是．
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心 必在上．所以的斜率，
而，
所以.由于 ，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
试卷第1页，总3页