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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
第七章随机变量及其应用 单元检测卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知某一随机变量的分布列如下表所示，若，则的值为
7 9
0.1 0.4
A．4 B．5 C．6 D．7
2．随机变量，其均值等于，标准差等于，则、的值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为
附：若，则，
A．3413 B．1193 C．2718 D．6587
5．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
6．若离散型随机变量的分布列为：
0 1
则常数的值为A．或 B． C． D．1
7．设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=
A．2 B．3
C．6 D．7
8．现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为
A． B． C． D．
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为( )
A． B． C． D．
10．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是
A． B． C． D．以上都不正确
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、双空题
11．若随机变量X服从两点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.
12．王先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，若走路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为__________；若走路线，王先生遇到红灯次数的数学期望为__________．
13．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．
⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为____________；
⑵记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为_________．
14．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为_______．
三、填空题
15．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为__.
ξ 1 2 3 4
P m n
16．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．
17．已知随机变量，若，则_______.
四、解答题
18．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
19．在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为，记.
（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求随机变量的分布列
20．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
21．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:
年入流量
发电量最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
22．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望.
试卷第1页，共3页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
第七章随机变量及其应用 单元检测卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知某一随机变量的分布列如下表所示，若，则的值为
7 9
0.1 0.4
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据随机变量ξ的分布列的性质，求得，再利用期望的计算公式，即可求解，得到答案.
【详解】
根据随机变量ξ的分布列的性质，可知，所以，
又，所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2．随机变量，其均值等于，标准差等于，则、的值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二项分布的期望和方差公式可得出关于和的方程组，由此可解得、的值.
【详解】
由题意得，随机变量，其均值等于，方差等于，
所以，解得 ，.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数，考查计算能力，属于基础题.
3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【详解】
，又，故选B.
4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为
附：若，则，
A．3413 B．1193 C．2718 D．6587
【答案】D
【解析】
【详解】
由题意,
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，
∴落入阴影外部（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为10000-3413=6587．
故选D．
5．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．
考点：次独立重复试验．
6．若离散型随机变量的分布列为：
0 1
则常数的值为A．或 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可解出符合题意的的值.
【详解】
由随机变量的分布列的性质知，
，
，
，故选C.
【点睛】
本考查分布列的应用，属于简单题. 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题,题目做起来不难，运算量也不大.分布列的随机变量的概率要滿足两个条件，一是每个概率都在区间,二是所有概率和为1.
7．设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=
A．2 B．3
C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【详解】
∵随机变量，∴，
解得，∴，∴，
故选C.
8．现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：当取三张都是两元的得奖金额是元；当取两张两元一张五元得奖金额是元； 当取一张两元两张五元得奖金额是元.故得奖金额为,对应的概率分别是,故其数学期望是,应选B.
考点：概率和数学期望的计算.
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
由于对称轴在轴左侧，故，故同号，基本事件有.的可能性有三种，，，.故期望值为.故选.
10．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是
A． B． C． D．以上都不正确
【答案】A
【解析】
【详解】
设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，
则所求的概率即P(A|B).
又，
由公式.
本题选择A选项.
点睛：条件概率的求解方法：
(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、双空题
11．若随机变量X服从两点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.
【答案】 0.25 0.5
【解析】
【详解】
.
12．王先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，若走路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为__________；若走路线，王先生遇到红灯次数的数学期望为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
走路线最多遇到1次红灯的概率为，
依题意X的可能取值为0，1，2，
则由题意，
，
，
∴.
故答案为,.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
13．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．
⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为____________；
⑵记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为_________．
【答案】
X 1 2 3
P 0.2 0.6 0.2
【解析】
【详解】
（1）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题；
甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，
由题意得X的可能取值为1，2，3，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P 0.2 0.6 0.2
（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，乙能正确完成每道题的概率为 ,且每道题完成与否互不影响，由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且 ,
或．
14．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为_______．
【答案】
【解析】
【详解】
分析：根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率公式可得任取此公司的一件产品为不良品的概率；利用条件概率公式可得在已知此产品为不良品前提下此产品由所生产出的概率.
详解：，
，故答案为.
点睛：本题主要考查独立事件的概率公式与互斥事件的概率公式以及条件概率公式，属于中档题.
三、填空题
15．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为__.
ξ 1 2 3 4
P m n
【答案】
【解析】
【详解】
，，所以，且概率和，解得.
16．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．
【答案】3×2－10
【解析】
【详解】
由∴
∴P(X＝1)＝C12112＝3×2－10.
17．已知随机变量，若，则_______.
【答案】0.1
【解析】
根据已知及二项分布的概率公式求参数p，再应用正态分布的对称性知：即可求出.
【详解】
∵随机变量，
∴，解得或(舍)，又，
∴，
故答案为：0.1
四、解答题
18．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【解析】
【详解】
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．从而．
的分布列为
0 1 2 3
的数学期望．
19．在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为，记.
（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求随机变量的分布列
【答案】（1）最大值为3，概率为；（2）分布列答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到x、y可能的取值为1、2、3，根据x、y得到的范围，从而得到随机变量的最大值；
（2）的所有取值为0，1，2，3，分别求每种情况的概率，列出分布列即可.
【详解】
（1），
，且或时，，
因此，随机变量的最大值为3.
因为有放回地先后取得2个小球共有9种情况，
.
（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3.
时，只有这一种情况；
时，有或或或四种情况；
时，有或两种情况；
时，有或两种情况；
，，
，，
故随机变量的分布列：
0 1 2 3
【点睛】
本题主要考查对变量进行分类讨论，求离散型随机变量的分布列的问题.
20．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得随机变量的分布列为
0 1 2 3 4 6
P
所以数学期望.
【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
21．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:
年入流量
发电量最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先求，，，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数.
（1）依题意，，
，，
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：
.
（2）记水电站年总利润为（单位：万元）
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润，.
②安装2台发电机.
当时，一台发电机运行，此时，
因此，
当时，两台发电机运行，此时，
因此.由此得的分布列如下：
4200 10000
0.2 0.8
所以.
③安装3台发电机.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
此时，
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此得的分布列如下：
3400 9200 15000
0.2 0.7 0.1
所以.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
考点：二项分布，随机变量的均值.
22．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式求出即可.
【详解】
（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为，
两人都付40元的概率为，
两人都付80元的概率为，
故两人所付费用相同的概率为.
（2）由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：
，
，
，
，
.
的分布列为：
0 40 80 120 160
.
【点睛】
本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，考查运算求解能力，属于常规题目，难度不大.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
