(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
第二章一元函数的导数及其应用 单元检测卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
直接利用平均变化率公式进行求值.
【详解】
因为，
所以在区间上的平均变化率为.
故选：B
【点睛】
本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据导数的计算公式，以及导数的运算法则，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误．
故选：B．
3．已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再代入求解即可.
【详解】
解：由函数，
则，
又，
则，
即1，
故选：B.
【点睛】
本题考查了导函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
4．函数在上可导,且,则
A．0 B．1 C．-1 D．不确定
【答案】C
【解析】
求出代入求出，进而求出，即可求解.
【详解】
，得，
，
.
故选:C
【点睛】
本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.
5．已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
判断的奇偶性，利用导数判断上的单调性，根据单调性以及奇偶性比较大小即可.
【详解】
易知为偶函数
∴
∵，当时，，∴在上为增函数
∴
∴
故选：A
6．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.
【详解】
容易得定义域为关于原点对称，
又，
故函数是偶函数，
的图象关于轴对称，
故排除B，
又，
故排除D.
当时，，令 ，解得；
故当时，单调递减，在单调递增.
此时
故排除C.
故选：.
【点睛】
本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.
7．已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
设切点为,利用导数的几何意义与在与上联立求解即可.
【详解】
设切点为,则,又直线与曲线相切故,消去有,代入第一个式子有
.易得.代入有.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.
8．设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
利用导数求得函数的单调性，得到，把不等式恒成立，转化为得对任意的恒成立，求得，结合选项，即可求解．
【详解】
由题意，函数，可得，
令，解得或，当时，可得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
又当时，，所以在上为减函数，
又，所以，
由不等式对任意的恒成立，
得对任意的恒成立，
所以恒成立，解得，即，
结合选项知，可得的可能取值是．
故选：D．
【点睛】
易错警示：利用单调性解决相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误．
9．已知定义在，上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．
【详解】
解：令，，则，
因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，因此，即，即，故A错；，所以，所以在上恒成立，因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D错；
故选：C．
二、多选题
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】
根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.
【详解】
选项A中，若，则，故A正确；
选项B中，若，则，
令，则，解得，故B正确；
选项C中，若，则，故C正确；
选项D中，若，则x，故D错误．
故选:ABC
【点睛】
1.常见的基本初等函数的导数公式
(1) (C为常数);
(2)；
(3); ；
(4);，且)；
(5)； ，且)．
2.常用的导数运算法则
法则1： ．
法则2：．
法则3：
11．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间单调递增
B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】ABD
【解析】
根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.
【详解】
根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.
所以A,B,D选项正确，C选项错误.
故选：ABD
【点睛】
本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题
12．若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
首先求函数的导数，，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，在有2个不同的实数根，则设函数，根据导数判断函数的范围，求得的取值范围.
【详解】
依题意得，
若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根，
令，则，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，当时，，故，
故选：BD．
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是得到在上有2个不同的实数根，进而研究不含参数的函数图像特征解决问题即可.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、双空题
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________；曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
根据奇函数得到，计算，求得时的解析式为，求导得到切线方程.
【详解】
是定义在上的奇函数，则，故，
，
当时，，故，，
，，故切线方程为： ，
即.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，求函数值，函数的切线方程，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
四、填空题
14．已知，则_________．
【答案】
【解析】
利用导数的定义可得答案．
【详解】
∵，
∴原式
．
故答案为：
15．已知函数在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出的导函数，然后令在上小于等于零恒成立，由二次函数的性质求出函数值的范围，即可得到的取值范围．
【详解】
由可得：，
函数在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
根据二次函数图像的性质可知要使在上恒成立，
则： ，解得： ，
的取值范围是，
故答案为
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性的知识，考查学生转化划归思想的运用能力，属于中档题．
16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由函数的解析式，得出，令，
利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】
因为，所以不妨设．
当时，，当时，，
根据，可知，所以，
所以，故，
所以．
记，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
又当时，，所以的值域是．
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到、的关系．进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围．
五、解答题
17．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，令，得，
令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）易知，
因为
,
所以．
（或由，可得）,
又当时，，
所以函数在区间上的值域为．
【点睛】
确定函数单调区间的步骤：
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求；
第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
18．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；
（2）若，对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）对求导，，解方程组求出，即可．（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可．
【详解】
（1），，
由，得，
（2）因为，，
等价于，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题．
19．已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
【答案】（1）极大值为 ，没有极小值；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）构造函数，证明函数在时恒成立.
【详解】
（1）
,
当时,；
当时,
当变化时,的变化情况如下表：
单调递增 单调递减
因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.
（2）令函数,
由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.
又
故在存在唯一零点.设为,则
当时,；当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减
又，
所以，当时,.
故.
20．如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设，总造价为(单位：百万元).
（1）求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.
【答案】（1），()（2）最小值为，此时
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到；
（2）构造函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值．
【详解】
(1),
，，
，
(2)设
则
令，又，所以.
当,,,单调递减；
当,,,单调递增；
所以的最小值为.
答：的最小值为(百万元)，此时
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题，合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
【答案】（1）①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析
【解析】
（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；
（2）根据斜率公式，由题意，得到，再由，将证明的问题转化为证明，令，即证时，成立，设，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.
【详解】
（1）函数的定义域为，
且
①当时，，此时在单调递增；
②当时，令可得或（舍），，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上：①当时，函数在上单调递增；
②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意得，
所以
又，
要证成立，
即证：成立，
即证：成立.
令，即证时，成立.
设
则
所以函数在上是增函数，
所以，都有，
即，，
所以
【点睛】
本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
【答案】（1），切线方程为和；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由，求得，得到函数的零点，求得函数的导数，结合导数的几何意义，即可求得曲线在处的切线方程；
（2）利用导数求得函数的单调性，根据（1）得到当时，，结合分析法，即可作出证明.
【详解】
（1）由题意，函数，令，得，
所以函数的零点，
又由，可得，，
所以曲线在处的切线方程为．
又由，所以曲线在处的切线方程为．
（2）由（1）知，
令，即，解得，
当时，；
当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
由（1）知，当或时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，由，即，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
所以对任意恒成立，
当时，．
由，可得，记，
不妨设，则，
所以，
要证，只需证，即证，
又因为，只需证，即，
因为，所以，所以只需证，
令，则．
当时，，函数为单调递减函数；
当时，，函数为单调递增函数，
所以，所以，
所以.
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
第二章一元函数的导数及其应用 单元检测卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．函数在上可导,且,则
A．0 B．1 C．-1 D．不确定
5．已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在，上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间单调递增
B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
12．若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、双空题
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________；曲线在点处的切线方程为__________.
四、填空题
14．已知，则_________．
15．已知函数在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.
16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__________．
五、解答题
17．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域．
18．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；
（2）若，对恒成立，求的取值范围．
19．已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
20．如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设，总造价为(单位：百万元).
（1）求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
