数学人教A版2019必修第一册5.1 任意角和弧度制 课件（共33张ppt）

(共33张PPT)
第五章《三角函数》
5.1.1 任意角
对比：初高中“角”的概念
角(高中)：射线OA绕着端点O从起始位置OA按一定方向旋转到终止位置OB，形成∠AOB.
始边
终边
角(初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形.
思考1：如何刻画圆周运动中的动点位置？
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
P
A
O
圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;
1.如何刻画点P的位置变化？
是什么引起点P的变化？
始边OA
旋转角α的度数
旋转方向(逆时针)
终边OP
P为射线OP
与圆的交点
α
思考2：如何刻画圆周运动？
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;
1.如何刻画点P的位置变化？
是什么引起点P的变化？
始边OA
旋转角α的度数
旋转方向(逆时针)
终边OP
P为射线OP
与圆的交点
2.如何描述点P逆时针旋转了一周半？
射线OP逆时针旋转了540°
扩大角的范围
任意角
生活中的任意角
时钟慢了1小时10分钟，
校准时分针要___时针旋转____°
顺
420
体操运动员单手侧空翻转体540°
体操运动员前空翻转体720°
主动轮逆时针旋转80°
被动轮顺时针旋转80°
旋转的方向
旋转的度数
新知1：任意角的定义
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
如：α=﹣540 ，α=﹣120 .
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
如：α=60 ，α=425 .
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
已知一条射线的起始位置OA：
[注]①在不引起混淆的情况下，“角 ”或“∠ ”可以简写成“ ”;
②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，… ;
③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” ( 与﹣ 互为相反角) ;
④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β.
⑤角的减法：α－β=α+(﹣β )
巩固：任意角的定义
①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
②终边与始边重合的角是零角.( )
③小于90°的角是锐角.( )
[练习1]判断正误：
顺时针旋转30°，即为﹣30°
始边终边重合的角可为0°, 360°, 720°, -360°等，即k·360°
小于90°的角可为45°，-120°，0°等；
锐角是大于0°小于90°的角.
新知2：象限角的定义
我们通常在直角坐标系内讨论角。
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则
角的终边在第几象限，就说该角是第几象限角。
如：α=﹣130°的终边在第三象限，则α是第三象限角.
锐角是第一象限角，钝角是第二象限角.
角的终边在坐标轴上，则认为此角不属于任何一个象限.
[练习2]已知A={第一象限的角},B={锐角},C={小于90 的角},
则下列正确的是( )
A. A=B=C
B. B∪C=A
C. A∩C=B
D. B∪C=C
D
新知3：终边相同的角
思考：在直角坐标系中，
给定一个角，则该角对应的终边唯一确定；
反之，若给定终边位置OB，则该终边对应的角唯一吗？
与45°终边相同的角为____________________
45°+k·360°(k∈Z)
y
x
o
45°
与角α终边相同的所有角组成的集合：
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
巩固：终边相同的角
例2.写出终边在y轴上的角的集合.
①终边在y轴正半轴的角的集合:
②终边在y轴负半轴的角的集合:
则终边在y轴上的角的集合:
[变式1]写出终边在x轴上的角的集合.
[变式2]写出终边在直线y=x上的角的集合.
巩固：象限角与终边相同的角
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
[练习3]若角α的终边在如图所示的阴影部分(包括边界)，请指出角α的取值范围.
巩固：象限角与终边相同的角
D
C
y
x
巩固：象限角与终边相同的角
二等分
逆时针标1-4
三等分
第五章《三角函数》
5.1.2 弧度制
新知引入：多样的单位制
度量长度：米、英尺、码等单位制
度量重量：千克、磅等单位制
度量角：角度、……
角的度量是否也能用不同的单位制？
能否用十进制的实数来度量角？
度/分/秒的换算：六十进制 1度=60分 1分=60秒
角度制
角度(°)
实数
换算
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°，
若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
半径r r=1 r=2 r=3 r=4
圆弧长l
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=45°，
若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
半径r r=1 r=2 r=3 r=4
圆弧长l
探究：角度与弧长的关系
结论 : 同一圆心角α所对的圆弧长l与半径r之比为同一常数.
α的角度数
确定的常数l/r
称为“α的弧度数”
新知1：弧度制的定义
规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角,
记作1 rad表示，读作1弧度。
②今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可略去不写，如：α=1，β=2π
即：对于圆心角α，若l=r，则|α|=l/r=1 rad.
l=3r
|α|=l/r=3 rad
l=2πr
|α|=l/r=2π rad
正角的弧度数是正数
负角的弧度数是负数
零角的弧度数是0
新知1：弧度制的定义
规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角,
记作1 rad表示，读作1弧度。
即：对于圆心角α，若l=r，则|α|=l/r=1 rad.
弧度与角度的换算
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°)
弧度 (rad) 0
巩固：弧度与角度的换算P174
(3)与α终边相同的角的集合
(4)终边在直线y=x上的角的集合
注：角度和弧度不能混用
巩固：判断角的终边所在象限
二
三
二
课外知识——度量角的单位制
军事上还常用“密位制”
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线“－”。如：
7密位：0－07（读作零，零七）
312密位：3－12
3000密位：30－00
007是风靡全球的一系列谍战电影。
007不仅是影片的名称，更是主人公特工詹姆斯·邦德的代号。
在故事里，邦德是英国情报机构军情六处的间谍，代号007，被授予可以除去任何妨碍行动的人的权力。
新知3：扇形计算公式的推导
新知3：扇形计算公式的推导
扇形的弧长：
扇形的面积：
新知3：扇形计算公式的运用
新知3：扇形计算公式的运用
已知一个扇形的周长为20cm，
(1)若扇形面积为9cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是多少？
(2)当圆心角α的弧度数是多少时，该扇形面积最大？
新知3：扇形计算公式的运用
P176-12已知相互啮(niè)合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
(1)当大轮转动1周时，小轮转动的角是____rad.
(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是______cm.
大轮的转速为3 r/s(转/秒)
151.2π
151.2π
新知3：扇形计算公式的运用
谢 谢