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绝密★启用前
第二十一章 一元二次方程 章节测试
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是( )
A．－1 B．1 C．3 D．3或－1
2．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1
3．如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
6．已知a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，则=（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
7．某中学有一块长，宽的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
8．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（ ）
A．x1＝3，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝11，x2＝15
10．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．方程x2－3＝0的根是__________．
12．一元二次方程的两根为，则________________
13．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是_____．
14．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
15．t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____．
三、解答题
16．解方程
（1） （2）
17．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
19．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
20．某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内每部汽车的进价与销售量有如下关系；若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为25万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.6万元；销售量在10辆以上，每辆返利1.2万元．
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元；
（2）若该公司当月售出5辆汽车，且每辆汽车售价为元，则该销售公司该月盈利________万元（用含的代数式表示）．
（3）如果汽车的售价为25.6万元/辆，该公司计划当月盈利16.8万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润+返利）
试卷第1页，共3页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
第二十一章 一元二次方程 章节测试
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是( )
A．－1 B．1 C．3 D．3或－1
【答案】B
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0，
解得m=-1或m=3．
m=3不符合题意，舍去，
所以它的一次项系数-m=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1
【答案】D
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝5或x＝1，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
①，即系数和为0，说明原方程有一根是1，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了；
④把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．
【详解】
解：①若，方程有一根为1，又，则，正确；
②由两根关系可知，，整理得：，正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确；
④由，，所以④正确．
故选．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程根的判别式．
4．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，且 =2-4>0，可通过解方程得解.
【详解】
是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，
所以，且 =2-4>0
又，
所以，=；
解得m1=3,m2=2,
当m=2时， =0，不合题意
故m=3
故选B
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．
5．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【答案】C
【解析】
【分析】
设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可．
【详解】
解：设平均每月的增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2=288，
（1+x）2=1.44，
x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
所以，平均每月的增长率为20%．
故选：C．
【点睛】
本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系.
6．已知a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，则=（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出a+b和ab的值，然后把通分后代入计算即可．
【详解】
解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴=．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的通分，以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
7．某中学有一块长，宽的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等量关系：空白区域的面积=矩形空地的面积，列方程即可求解．
【详解】
由题意得到等量关系：空白区域的面积=矩形空地的面积，代入x得：
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，理清题意找准等量关系是解题的关键．
8．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;
【详解】
解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程
9．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（ ）
A．x1＝3，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝11，x2＝15
【答案】B
【解析】
【分析】
利用整体思想可得2x+5＝3或2x+5＝5，从而求出结论．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，
∴方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5，
解得：x＝﹣1或x＝0，
即x1＝﹣1，x2＝0，
故选：B．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握整体思想是解决此题的关键．
10．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m＝4，则a*b＝a（4﹣b）．利用新定义得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，从而得到a+b的值．
【详解】
解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式知识，因式分解的知识，仔细弄懂题意，掌握以上知识是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．方程x2－3＝0的根是__________．
【答案】x1＝，x2＝－
【解析】
【详解】
x2－3＝0
移项得x2=3，
开方得x1=，x2=-．
故答案为：x1=，x2=-
12．一元二次方程的两根为，则________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系表示出和即可；
【详解】
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
13．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是_____．
【答案】﹣2或2﹣2或﹣2﹣2
【解析】
【分析】
根据题意可以把a，b看作方程x2-2x-1=0的两个根，而，然后分类讨论并利用根与系数的关系就可以求出代数式的值．
【详解】
解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，
①当a＝b＝1+或1﹣时，原式＝＝2﹣2或﹣2﹣2；
②当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根．
由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1．
则原式＝﹣2．
故答案为：﹣2或2﹣2或﹣2﹣2．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题时要注意分情况考虑，特别不要忘记a=b这种情况，同时也要利用根与系数的关系．
14．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
【答案】11或﹣8
【解析】
【分析】
根据题意设较小的数为x，表示出较大的数，列出方程求出解即可．
【详解】
解：设较小的数为x，则较大的数为x+3，
根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，
分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，
解得：x＝8或x＝﹣11，
∴x+3＝11或﹣8，
则较大的数为11或﹣8，
故答案为：11或﹣8．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意并根据题意列出方程求出解是解答本题的关键．
15．t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简（a2-1）（b2-1）即可求解．
【详解】
∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根，
∴可得a+b=2，ab=t-1≥0，
∴t≥1，
又△=4-4（t-1）≥0，可得t≤2，
∴2≥t≥1，
又（a2-1）（b2-1）=（ab）2-（a2+b2）+1=（ab）2-（a+b）2+2ab+1，
∴（a2-1）（b2-1），
=（t-1）2-4+2（t-1）+1，
=t2-4，
又∵2≥t≥1，
∴0≥t2-4≥-3，
故答案为-3．
三、解答题
16．解方程
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】
（1）先移项，再直接开平方即可；
（2）先移项，再因式分解即可．
【详解】
解：（1）
移项得
两边直接开平方得，
（2）
移项得
提取公因式得
即
∴或
解得，
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的几种常用的方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适，简便的方法是解题的关键．
17．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
【答案】（1）；（2）有最大值，最大值为32.
【解析】
【分析】
（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】
解：（1）∵，由，
得 ；
∴代数式的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32.
【点睛】
本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，
依题意，得：x（33-3x）=90，
解得：x1=6，x2=5．
当x=6时，33-3x=15，符合题意，
当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=（33-3y）m，
依题意，得：y（33-3y）=100，
整理，得：3y2-33y+100=0．
∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）与的函数关系式为；（2）该设备的销售单价应是27 万元．
【解析】
【分析】
（1）根据图像上点坐标,代入,用待定系数法求出即可.
（2）根据总利润=单个利润销售量列出方程即可.
【详解】
解：（1）设与的函数关系式为，
依题意，得解得
所以与的函数关系式为．
（2）依题知．
整理方程，得．
解得．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴（舍），所以．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
【点睛】
本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.
20．某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内每部汽车的进价与销售量有如下关系；若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为25万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.6万元；销售量在10辆以上，每辆返利1.2万元．
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元；
（2）若该公司当月售出5辆汽车，且每辆汽车售价为元，则该销售公司该月盈利________万元（用含的代数式表示）．
（3）如果汽车的售价为25.6万元/辆，该公司计划当月盈利16.8万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润+返利）
【答案】（1）24.6；（2）（5m－121）；（3）7
【解析】
【分析】
（1）根据题意每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/辆，即可得出当月售出3辆汽车时，每辆汽车的进价；
（2）先表示出当月售出5辆汽车时每辆汽车的进价，再根据利润＝售价－进价即可求得该月盈利；
（3）首先表示出每辆汽车的销售利润，再利用当0≤x≤10，当x＞10时，分别得出答案．
【详解】
解：（1）∵当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为25万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，
∴该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为25－2×0.2＝24.6万元；
故答案为：24.6；
（2） ∵当月售出5辆汽车，
∴每辆汽车的进价为25－4×0.2＝24.2万元，
∴该月盈利为5（m－24.2）＝5m－121，
故答案为：（5m－121）；
（2）设需要售出x辆汽车，由题意可知，每辆汽车的销售利润为：
25.6－[25－0.2（x－1）]＝（0.2x＋0.4）（万元），
当0≤x≤10，根据题意，得x （0.2x＋0.4）＋0.6x＝16.8，
整理，得x2＋5x－84＝0，
解这个方程，得x1＝－12（不合题意，舍去），x2＝7，
当x＞10时，根据题意，得x （0.2x＋0.4）＋1.2x＝16.8，
整理，得x2＋8x－84＝0，
解这个方程，得x1＝－14（不合题意，舍去），x2＝6，
因为6＜10，所以x2＝6舍去．
答：需要售出7辆汽车．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每部汽车的销售利润是解题关键．
试卷第1页，共3页
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