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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
第二十四章圆章节测试1
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是( )
A．23° B．44° C．46° D．57°
5．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
6．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
7．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
8．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B． C．5 D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是___．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是______．
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.
15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边 BC 相交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长FE、AC相交于点D，若CD=4，AF=6，则BF 的长为_____.
16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=6cm，AC=8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为___________．
三、解答题
17．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．
（1） 求证：直线 CE 是⊙O 的切线；
（2） 若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的长．
18．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．连接AD，BD．求四边形ABCD的面积.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，求弧DE的长；
（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．
21．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
22．如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N．
（1）求证：∠AOC=135°；
（2）若NC=3，BC=，求DM的长．
23．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，点F是弧AD的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．
（1）求证：BD∥OE；
（2）若OE＝3，tanC＝，求⊙O的半径．
试卷第1页，共3页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
第二十四章圆章节测试1
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【详解】
解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B.
【点睛】
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理进行求解即可得.
【详解】
∵，
∴∠ABC=∠AOC=×80°=40°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半”是解题的关键.
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得三角形ABC是直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AB的长即可求得答案.
【详解】
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，
∴OA=OB=4，
故选A．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是( )
A．23° B．44° C．46° D．57°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，由切线的性质可得∠OCD=90°，由圆周角定理可求得∠COD的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案.
【详解】
连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠COD=2∠A=46°，
∴∠D=90°﹣46°=44°，
故选B．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
5．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【点睛】
本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
6．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，∠AOB=60°，
则∠APB=∠AOB=30°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．
7．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出点P与原点O的距离，然后再根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】
∵点P的坐标是(3，4)，
∴OP==5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上，
故选C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
8．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
分别直线与⊙O只有一个交点、有两个交点两种情况分别讨论进行求解即可.
【详解】
∵若直线l与⊙O只有一个交点，即为点P，则直线l与⊙O的位置关系为：相切；
若直线l与⊙O有两个交点，其中一个为点P，则直线l与⊙O的位置关系为：相交；
∴直线l与⊙O的位置关系为：相交或相切，
故选D．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系．注意掌握设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交d＜r；②直线l和⊙O相切d=r；③直线l和⊙O相离d＞r．
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据切线长定理进行求解即可.
【详解】
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连结EO并延长交AD于F，连接AO，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=AD=6，由题意可证四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（8-r）2+62=r2，再解方程求出r即可．
【详解】
如图，连结EO并延长交AD于F，连接AO，
∵⊙O与BC边相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=AD=6，
∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC，
∴四边形ABEF为矩形，
∴EF=AB=8，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，
在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2，
∴（8-r）2+62=r2，
解得r=，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是___．
【答案】60°．
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形对角互补进行求解即可得.
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A=60°，
故答案为60°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握是解题的关键.
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是______．
【答案】100°．
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°，
故答案为100°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出△ADC和△ABC是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，进而求出即可．
【详解】
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=1，
∴∠BCD=∠DAB=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AC=AD=1，
∵AB=1，
∴△ADC的高为，AC=1，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
，
∴△ADH≌△ACG(ASA)，
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD==，
故答案为．
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边 BC 相交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长FE、AC相交于点D，若CD=4，AF=6，则BF 的长为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
连接AE,作CM⊥FD,根据三线合一的性质得出BE=EC，根据直径所对的圆周角为90°，得出AB∥CM，再根据解直角三角形得出结果即可.
【详解】
连接AE,作CM⊥FD, ∵AB=AC,AE⊥BC, ∴BE=EC,AB∥CM, ∴CM=BF,
∴ ,
∴ , ∴CM=2或CM=-12(舍去)，∴BF=2.
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直径所对的圆周角为90°，平行线的判定，熟练掌握这些性质是解题的关键.
16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=6cm，AC=8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为___________．
【答案】，
【解析】
【分析】
应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．
【详解】
解：∵AB是直径，
∴∠C=90°，
又∵BC=6cm，AC=8
∴AB=10，
则AP=（10-2t）cm，AQ=t，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴0＜t≤5，
①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则
△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
解得t=，
②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，
则，解得
故答案为，．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．
三、解答题
17．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．
（1） 求证：直线 CE 是⊙O 的切线；
（2） 若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC＝2或4．
【解析】
【分析】
(1)如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
(2)证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可.
【详解】
(1)如图，连接OC
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；
(2)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，
∴BC AC=DC AB=4×10=40，
∵BC2+AC2=100，
∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC AC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC AC=20，
∴BC+AC=6，AC﹣BC=2或BC﹣AC=2，
∴BC=2或4．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
18．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．连接AD，BD．求四边形ABCD的面积.
【答案】S四边形ADBC＝49（cm2）．
【解析】
【分析】
根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD、BD、AC的值，再根据S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC进行计算即可.
【详解】
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD，
∵直角△ABD中，AD=BD，AD2+BD2=AB2=102，
则AD=BD=5，
则S△ABD=AD BD=×5×5=25(cm2)，
在直角△ABC中，AC==6(cm)，
则S△ABC=AC BC=×6×8=24(cm2)，
则S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=25+24=49(cm2)．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的面积等，正确求出相关的数值是解题的关键.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，求弧DE的长；
（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）弧DE的长为π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；
(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切.
【详解】
(1)连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
(2)∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°，
∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，
∴弧DE的长=；
(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，
理由如下：∵∠BAC=54°，
∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF为⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝1．
【解析】
【分析】
(1)由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证；
(2)连接OC，结合已知求得OE的长即可求得答案.
【详解】
(1)∵直径AB⊥弦CD，
∴,
∴∠A=∠BCD；
(2)连接OC，
∵直径AB⊥弦CD，CD=6，
∴CE=ED=3，
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5，
在Rt△COE中，∵OC=5，CE=3，
∴OE==4，
∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
21．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案．
【详解】
（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵AB=8，
∴DE=4；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH=AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
22．如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N．
（1）求证：∠AOC=135°；
（2）若NC=3，BC=，求DM的长．
【答案】（1）见解析；（2）DM=1．
【解析】
【分析】
(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，
∴OM=OE，
即：E为⊙O的切点；
∴OE=ON，
又∵OE⊥AC，ON⊥CD，
∴OC平分∠ACD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠OAC+∠OCA=45°，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，
即：∠AOC=135°，
（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，
∵AB=AC，
∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x，
∵CD=3+x，
在Rt BCD中，由勾股定理得：，
即：，
解得：x=1或x=-1（舍去），
即DM=1．
【点睛】
本题考查切线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程．
23．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，点F是弧AD的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．
（1）求证：BD∥OE；
（2）若OE＝3，tanC＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径的长3．
【解析】
【分析】
(1)如图，由圆的半径相等可得∠1=∠3，再由圆周角定理可得∠1=∠2，从而可得∠2=∠3，继而可得结论；
(2)连接OD，如图，根据切线的性质可得OD⊥CD，根据tanC=，设OD=3k，CD=4k，继而可得BC=2k，由平行线分线段成比例定理可得 ，继而可求得DE=6k，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出k的值即可得答案.
【详解】
(1)∵OB=OF，
∴∠1=∠3，
∵点F是的中点，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BD∥OE；
(2)连接OD，如图，
∵直线CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
在Rt△OCD中，∵tanC=，
∴设OD=3k，CD=4k．
∴OC=5k，BO=3k，
∴BC=2k．
∵BD∥OE，
∴，
即,
∴DE=6k，
在Rt△ODE中，∵OE2=OD2+DE2，
∴(3)2=(3k)2+(6k)2，
解得k=,
∴OB=3，
即⊙O的半径的长3．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、三角函数、平行线分线段成比例定理等，熟练掌握相关定理是解题的关键.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
