第23章《图形的相似》单元测试卷（困难)（含答案）

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华师大版初中数学九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第23章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、、与交于点，则下列结论：四边形是菱形；；；其中正确的结论有 ( )
A. B. C. D.
如图，在 中，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为，若，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点，连结，延长至点，使得，以为边作正方形，则即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 不能确定
如图所示，菱形∽菱形，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，为，为，截去一个矩形图中阴影部分，若剩下矩形与原矩形相似，则剩下矩形的面积是【】
A. B. C. D.
如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接，下列结论：；；：：；，其中正确的是 ( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，点是边上一动点，关于的对称点为，过作于，连接，若为等腰直角三角形，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
如果顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形( )
A. 一定是矩形 B. 一定是菱形
C. 对角线一定互相垂直 D. 对角线一定相等
如图，、是线段上的两点，且，，，点是线段上的一动点，分别以、为斜边在同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为、，如图所示，连接并取中点，连，点从点出发运动到点，则线段扫过的图形面积为( )
A. B. C. D.
如图，已知与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则：的值为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，正方形的顶点在原点，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点落在点处，于点，则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点；；；；；，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已经点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是______
如图，中，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第个三角形的周长是______．
如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；，其中正确的有______把正确结论的序号都填上
如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形周长为，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，方格纸上的小正方形的边长均为个单位长度，点，都在格点上两条网格线的交点叫格点，请用无刻度直尺完成下列问题：
将线段绕点逆时针旋转，得到旋转后的线段；
连接，则的面积_________；
在线段上画出点，使要求只能通过连接格点方式作图．
在中，，，现有若干张长为宽为的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内，纸片均不能重叠和超出三角形三边
如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；
三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．
如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，若各种对开的矩形都相似，则对开纸矩形与原纸矩形的相似比是多少？
如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与、与、与、与之间的距离分别为，
，矩形∽矩形吗，为什么？
若矩形∽矩形，应满足什么等量关系？请说明理由．
如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知：：，．
求的长；
当，时，求的长．
问题背景如图，在中，点，分别在，上，，，求证：；变式迁移 如图，在四边形中，，，，分别交，于点，，求证：；
拓展应用 如图，在四边形中，，，，且，直接写出的值．
已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周．
如图，连接、，求的值；
当正方形旋转至图位置时，连接、，分别取、的中点、，连接、试探究：与的关系，并说明理由；
连接、，分别取、的中点、，连接，，请直接写出线段扫过的面积．
如图，点是平行四边形的边的中点，点是边上的一个动点，，，分别交于点、交于点，如果：：，试判断四边形的形状，并说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的，并写出点的坐标；
以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点、的对应点、的坐标；
判断与能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，
，
，故正确，
，
，
，故错误，
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
四边形的面积为，的面积为，
：：故正确，
故选：．

2.【答案】
【解析】解：的平分线交于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，，
根据勾股定理得，，
故选：．
先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出，从而得到，，再用平行线分线段成比例定理求出，然后用等腰三角形的三线合一求出，最后用勾股定理求解即可．
此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是，正方形的四边都相等．设正方形的边长为，根据勾股定理求出，求出，求出，再根据面积公式求出、即可．
【解答】
解：四边形是正方形，
，
设正方形的边长为，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即，
，
，
即，
故选C．

4.【答案】
【解析】解：如图，连结．
菱形∽菱形，
，，
是等边三角形，
，设，则，
，
又易知，
．
，
∽，
，
，解得或，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
，故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】
解：如图所示：
依题意，在矩形中截取矩形，
则矩形∽矩形，
则
设，得到：

解得：，
则剩下的矩形面积是：．
故选B

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识。
正确，只要证明，推出，再利用三角形中位线定理即可判断；错误，先证明∽，得到，推出即可判断；正确，设，求出，即可判断；正确，求出，，用表示，通过计算证明即可。
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
平分，
是等边三角形，
，则
，
，故正确；
∽
，故错误；
设，则，
，在中，由勾股定理得，，
：，故正确，
，
，故正确，
综上所述，正确。
故选B。
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考常考题型．如图作于交于首先证明四边形是正方形，设为，则，，在中，根据，构建方程求出，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】
解：如图作于，延长线交于．
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
为等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
设为，则，，
在中，，
，
解得，
，
由对称可得，
在矩形中，，，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
【解答】
解：如图，
根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，
，，，
．
原四边形一定是对角线相等的四边形
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强分别延长、交于点，易证四边形为矩形，得出为中点，则的运行轨迹为三角形的中位线再求出的长，运用中位线的性质求出的长度即可，最后根据梯形的面积公式解答即可．
【解答】
解：如图，分别延长、交于点，作于．
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
与互相平分．
为的中点，
也正好为中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
所以的运行轨迹为三角形的中位线．
，
，即的移动路径长为．
线段扫过的图形为梯形，
为等腰直角三角形，
，
梯形的高为，
梯形的面积为．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
由经过位似变换得到，点是位似中心，根据位似图形的性质得到：：，进而得出答案．
【解答】
解：与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，
，，
，
．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：延长、交于，过作轴于，如图：
点的坐标为，
，
在中，，
，，，
，
在中，
，，
，
在中，，
，，
，
故选：．
延长、交于，过作轴于，在中，，可得，即得，在中，可得，即得，在中，得，，可得答案．
本题考查正方形中的旋转变换，解题的关键是能熟练应用含角的直角三角形三边的关系．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．
由、、可得规律：当下标为的整数倍时，横坐标为，纵坐标为，据此可解．
【解答】
解：由、、可得规律：当下标为的整数倍时，横坐标为，纵坐标为，
，
，
则点的坐标是．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：点在平面直角坐标系的第四象限，
，
解得：，
故答案为：．
根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：中，，，，
的周长是，
，，分别是边，，的中点，
，，分别等于、、的一半，
的周长是，
同理，的周长是，
，
以此类推，的周长是，
的周长是．
故答案为：．
由三角形的中位线定理得：，，分别等于、、的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推，利用规律可求出的周长．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故正确；
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
平分，
，故正确；
，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
≌，
，，
，
，
，故错误；
综上所述，正确的是．
故答案为：．
设，则，用表示出长度可判断；证明即可判断；证明≌可判断；用含的式子表示与比较即可判断．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；设，用含的式子表示出相关的线段是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，分别是边，，的中点，
，，，，
四边形为平行四边形，
四边形周长为，
，
．
故答案为．
根据三角形的中位线可得，，判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可求解．
本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，判定四边形为平行四边形是解题的关键．
17.【答案】解：如图线段即为所求
如图，点即为所求答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．
利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可
根据割补法求出面积；
利用平行线分线段成比例定理把五等分可得到点．
【解答】
解：见答案
，
见答案．
18.【答案】解：最多能铺块
理由：，，
，
，
，
，
，
，
最多能平铺张完整的矩形纸片；
假设最高铺到
，
，
，
，
，
最多能平铺层完整的矩形纸片
，最上面一层能铺张完整的矩形纸片
，第层能铺张完整的矩形纸片
第层能铺张完整的矩形纸片
第层能铺张完整的矩形纸片
第层能铺张完整的矩形纸片
三角形内最多可以平铺的完整的矩形纸片为：张．
【解析】此题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例等知识点，掌握好相关知识是解题的关键．
根据平行线分线段成比例得出，得出，再利用，即可得出最多能平铺张完整的矩形纸片；
根据平行线分线段成比例得出，得出，得出最多能平铺层完整的矩形纸片，再利用，得出最上面一层，第层，第层，第层，第层能铺完整的矩形纸片，即可得出结果．
19.【答案】解：矩形与相似，
，
又，
，
解得：或舍去，
对开纸矩形与原纸矩形的相似比为．
【解析】本题考查了相似多边形的性质，根据矩形相似可得出对应边成比例，再由矩形边长的关系代入即可得出相似比．
20.【答案】解：不相似，
，，，
，
，
：：，
：：，
对应边不成比例，故不相似；
要使矩形∽矩形，
就要，即，
即，
，

【解析】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键，
分别计算对应边的比，对应边不成比例，故不相似；
由使矩形∽矩形，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．
21.【答案】解：，：：，，
，
，
，
；
解：2
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．
根据，推出，代入求出即可求出；
根据，得出，求出、，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
22.【答案】解：，，
，
，
，，
，
在与中，
，
证明：延长，交于点，
由得，
，
∽，
∽，
，，
．
在延长线上截取，连接，
，，
，
，
可得，
即∽，得，
，
可设，，
则，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，正确的理解题意是解题的关键
根据题意得，再证明，即可证明与全等，即可得出结论；
延长，交于点，由得，证明∽和∽，进而可得，即可得出结论；
先证明，可得，结合已知可得∽得到，设，则，即可得出结论．
23.【答案】解：如图，连接，，
四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，，
∽，
；
，，
理由如下：如图，连接，过点作，交直线于，连接，设与交点为，与交点为，
，
，
点是的中点，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，点是中点，
，，
，；
如图，取中点，连接，，，
，
，
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
，，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
线段扫过的面积．
【解析】通过证明∽，可得；
过点作，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，，由三角形中位线定理可得结论；
取中点，连接，，，由三角形中位线定理可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：四边形为矩形；分
，，
四边形为平行四边形，分
四边形是平行四边形，
，
是边的中点，
，
：：，
，分
，，分
，
，，分
，，
，
，分
，
，分
平行四边形为矩形．分
【解析】先证四边形是平行四边形，再利用边之间的等量关系，易得，再利用等边对等角，易得
，，结合四边形是 ，易证，，
而与同旁内角互补易得，即，从而可证四边形为矩形．
本题利用了 的判定和性质、等边对等角、平行线的性质、矩形的判定．
25.【答案】解：如图所示，；
如图所示，， ；
如图所示，与是关于点为位似中心的位似图形．此时．
【解析】如图所示，画出平移后的，找出的坐标即可；
如图所示，画出位似图形，求出、的坐标即可；
根据题意得到与是关于点为位似中心的位似图形，找出坐标即可．
此题考查了作图位似变换，平移变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
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