华师大版初中数学九年级上册期末测试卷（困难）（含答案）

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华师大版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知，则化简二次根式的正确结果是( )
A. B. C. D.
的值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
关于的方程至少有一个正整数解，且是整数，则满足条件的的值的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 且
定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称为函数的不动点．例如：函数，当时，，因为成立，所以为函数的不动点．因此对于函数，将函数图象向下平移个单位长度，时，平移后函数不动点的个数有几个( )
A. B. C. D.
若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必然是( )
A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形
C. 正方形 D. 对角线相等的四边形
如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接则的最大值与最小值的差为( )
A. B. C. D.
正方形、、，按如图的方式放置，、、、和点、、，分别在直线和轴上，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，点，分别为，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
下列算式：；；；；运算结果正确的概率是
A. B. C. D.
如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点，连接，则的周长最小值是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知关于的一元二次方程：，有下列结论：
当时，方程有两个不相等的实根；
当时，方程不可能有两个异号的实根；
当时，方程的两个实根不可能都小于；
当时，方程的两个实根一个大于，另一个小于．
以上个结论中，正确的个数为______．
如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______．
如图是第届夏季奥运会的会徽，它是由三种不同规格的全等矩形组成，代表了不同的国家、文化和思维方式，表达了多样性的融合．图和图为该会徽中的某一部分，如图，三种矩形分别由三种不同的菱形依次连结各边中点得到，其中，如图，点恰好在的延长线上，则______度．若，则点，间的距离为______．
已知，，是的三条边长，化简_____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在四边形中，，，，，并且，满足，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题：
______，______．
设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形是矩形．
如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．
已知关于的方程没有实数根，试判断关于的方程是否一定有两个不相等的实数根，并说明理由．
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数图象交于、两点点在点左侧．
若．
求、两点的坐标；
过轴正半轴上一动点作平行于轴的直线，分别与一次函数、反比例函数的图象相交于、两点，若，求的值；
若一次函数图象与轴交于点，，直接写出的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，将三角形沿轴正方向平移一段距离，平移后的图形为三角形，连接．
观察发现
如图，点到轴的距离为，到轴的距离为直接写出点的坐标 ．
探究证明
如图，若平分线与交于点，连接，则，，三个角满足的关系是什么并说明理由．
拓展延伸
如图，是线段上一点，连接，，取平面内一点，连接，，若，，请直接写出的值．
如图，等边的边长是，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
求证：四边形是平行四边形；
求的长．
如图，是的边的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于．
若四边形是菱形，试证明是直角三角形；
求证：．
如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点为的中点，
【观察猜想】图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
【探究证明】把绕点逆时针旋转到图的位置，中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
【拓展延伸】把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段长度的最大值和最小值．
电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售、、、四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表所示．
表：四种款式电脑的利润
电脑款式
利润元台
表：甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式
甲店销售数量台
乙店销售数量台
试运用统计与概率知识，解决下列问题：
从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于元的概率为______；
经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的化简，根据二次根式的非负性进行化简即可．
【解答】
解：，，
，，
．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的运算，涉及绝对值的性质，二次根式的性质．根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【解答】
解：原式
，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．根据公式法解方程，根据方程的解为正整数及为整数，即可确定出的值．
【解答】
解：，
，
，
，，
关于的方程至少有一个正整数解，且是整数，
，，
或或或，
则满足条件的的值的个数是个，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
根据方程有实根得出，求出不等式的解集，结合二次根式的意义求得答案即可．
【解答】解：当时，变为，
此时方程有实数根；
当时，，
由题意知，，且，
且．
当时，关于的方程有实数根．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：向下平移后的函数为：，
当时，，函数没有不动点；
当时，
令，
整理得，，
，整理得，
，，
，
当时，，平移后函数不动点的个数为个；
当时，不是二次函数；
当时，，平移后函数不动点的个数为个．
综上可知，当时，平移后函数不动点的个数为个；当时，平移后函数不动点的个数为个．
故选：．
本题主要考查二次函数与一元二次方程关系，根的判别式，新定义型，分类讨论思想等知识，关键是由新定义转化为两函数的交点问题．当时，函数为，函数没有不动点；当时，化简根的判别式，对根的判别式的正负进行判定即可．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】
解：如图，
四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，即四边形是对角线相互垂直的四边形．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】
解：如图，取的中点，连接、、，作于．
四边形是平行四边形，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为．
故选C．

8.【答案】
【解析】解：，
，
在直线上，
，
，
，同理可得，
所以，
所以的坐标为；
故选：．
先求出，，，的坐标，探究规律后即可解决问题．
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，学会利用规律解决问题，属于压轴题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值．
【解答】
解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，
此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
，
的最小值为，
故选B．
10.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，
点是的中点，，
，
，
，
在中，，
，
的面积，
是斜边的中点，
面积，
设点到的距离为，则，
，
解得，
点到的距离为．
故选：．
由正方形的性质及三角形的中位线的性质可求得，利用勾股定理及直角三角形的斜边上的中线的性质可求解，的长，进而求出面积为，设点到的距离为，则，可得点到的距离．
本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识，解题的关键是求出面积，用等面积法解决问题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根、合并同类项、单项式乘多项式、概率公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故正确；
，故错误，
故运算结果正确的概率是：．
故选．

12.【答案】
【解析】解：连接，取的中点，连接，
由折叠可知，，，，
在中，是的中点，
，
是的中点，
，
的周长，
，
的周长，
当、、三点共线时，最小，
在中，，
的周长的最小值为，
故选：．
连接，取的中点，连接，根据折叠的性质，，，，要求的周长的最小值，只需求的最小值，当、、三点共线时，最小，在中，勾股定理求出，即可求解．
本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、轴对称最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
当时，，方程有两个不相等的实根，故正确，
当时，两根之积，方程的两根异号，故错误，
方程的根为，
，
方程的两个实根不可能都小于，故正确，
若方程的两个实根一个大于，另一个小于．
则有，
，故正确，
故答案为．
根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设，交于，
四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：，
，
；
如图，三种矩形分别由三种不同的菱形依次连结各边中点得到，，
萎形的边长为，
，，
过点作于点，
，，
，
；
，
在中：
，
；
过点作于点，交于点，
点恰好在的延长线上，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答室为：，．
利用已知条件求出的度数，利用三角形的内角和定理可求出的度数；然后结合图和图，可得到的度数；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出，的度数，抽象图形，过点作于点，利用角所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长，利用勾股定理求出的长，从而可求出的长；在中利用勾股定理求出的长，即可得到的长；过点作于点，交于点，根据点恰好在的延长线上，可求出和的度数，利用三角形的内角和定理求出的度数，同时可证得，利用直角三角形的性质求出的长；利用勾股定理求出的长；然后根据，代入计算求出的长．
本题综合性较强，主要考查矩形、菱形的性勾股定理，对学生要求较高，尤其是计算能力，解题关键是要在平时的学习中打好基础．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，理解是关键．利用三角形的三边关系可得：两边之和大于第三边，即可得到，，根据平方根的定义即可化简求值．
【解答】
解：、、为的三条边长，
，，
原式．
故答案为．

17.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
故答案为：，；
根据题意可知：，，
，
当四边形是矩形，，
，
解得，
答：当为秒时，四边形是矩形；
根据题意可知：，，
，，
当，，，四点组成的四边形是平行四边形，，
当时，，，
，
解得不符合题意，舍去；
当时，，，
，
解得；
当时，，，
，
解得；
当时，，，
，
解得．
综上所述：当为秒或秒或秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
根据二次根式定义即可解决问题；
根据题意可得，，所以，当四边形是矩形，，进而列方程即可解决问题；
当，，，四点组成的四边形是平行四边形，，分种情况列式计算即可解决问题．
此题考查了直角梯形的性质，二次根式定义，平行四边形的判定，矩形的性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18.【答案】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积，
，
．
【解析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
19.【答案】解：方程没有实数根，
，
，
对于关于的方程，
，
，
，即，
方程一定有两个不相等的实数根．
【解析】首先根据方程没有实数根求出的取值范围，然后求出方程根的判别式，进而作出判断．
本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
20.【答案】解：联立，解得，
点在点左侧，
，；
过轴正半轴上一动点作平行于轴，
点，的纵坐标都为，
将代入与得，
，，
，
分两种情况：
当时，，，
，
，
整理得到
解得或舍去，
当时，，，
，
，
整理得到
解得或舍去，
综上，的值为或
反比例函数的图象与一次函数图象交于、两点，
，
即，
，，
设，，
当时，，
即，
，
，
当时，反比例函数的图象与一次函数的图象有两个交点，
则，
，
综上，的取值范围是，或．
【解析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识，利用根的判别式是解决问题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
联立两个函数解析式，解方程可得答案；
分或两种情形，分别表示出点和的横坐标，从而得出和的长，列方程即可解决问题；
设，，联立两个函数解析式，可得，，当时，，利用两点间距离公式表示出，当时，反比例函数的图象与一次函数的图象有两个交点，利用根的判别式可得答案．
21.【答案】解：
．
理由如下：
如图，由平移得，
过点作，
则，
，，
，
即，
平分，
，
．
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面直角坐标系相关知识，平移的基本性质，平行公理及推论与平行线的性质．
根据点到坐标轴的距离和点在第一象限即可得出答案．
过点作平行于，利用平行线公理推论和平行线的基本性质得到，，然后为的角平分线，再根据，，，利用等量代换即可得出答案；
利用的结论得到，，再根据已知条件得到，进而得到即可得出答案．
【解答】
解：点到轴的距离为，到轴的距离为，点在第一象限，
见答案；
由得：，，
，，
，，
，
，
．
22.【答案】证明：、分别为、的中点，
为的中位线，
，
延长至点，使，
，，
四边形是平行四边形．
解：，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，等边的边长是，
，，，
．
【解析】直接利用三角形中位线定理得出，，进而得出；
利用平行四边形的判定与性质得出，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出的长．
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理、勾股定理等知识，得出，是解题关键．
23.【答案】解：四边形是菱形，是的中线，
，
、，
，
，
是直角三角形；
过点作交于点，
是的边的中线，
，
，
是的中位线，
是的中点，
，
，是的中点，
是的中位线，
是的中点，
，
．
【解析】由菱形定义及是的中线知，从而得、，根据可得答案．
作交于点，分别证是的中位线和是的中位线得，从而得出答案．
本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点．
24.【答案】 ；
结论成立．
理由：如图中，延长到，使得，连接延长交于．
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
的最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图中，设交于点证明≌，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
结论成立．如图中，延长到，使得，连接延长交于证明≌，即可解决问题．
利用三角形的三边关系求出的取值范围，即可解决问题．
【解答】
解：如图中，设交于点．
，，，
≌，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
25.【答案】解：；
甲店每售出一台电脑的平均利润值为元，
乙店每售出一台电脑的平均利润值为元，
，
乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；
又两店每月的总销量相当，
应对甲店作出暂停营业的决定．
【解析】
【分析】
用利润不少于元的数量除以总数量即可得；
先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得．
本题考查了概率公式的应用，平均数，解题的关键是熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比及加权平均数的定义．
【解答】
解：从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于元的概率为，
故答案为：；
见答案．
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