12.3 第1课时 角平分线的性质 课件（共26页）

(共26张PPT)
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
精品同步教学课件
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？
导入新课
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如图是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
问题：如果没有此仪器，我们用尺规作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
A
B
C
(E)
D
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作法：
（1）以点O为圆心，适当
长为半径画弧，交OA于
点M，交OB于点N.
（2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
A
B
O
C
练习. 如图是利用尺规作∠ AOB 的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.它们之间有什么数量关系？
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
方法归纳
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
定理的作用：
证明线段相等（角分双垂得等距）
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知），
∴ = ,
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m， AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；
（2）若AC=10，△ABP的面积与
△ACP的面积比是多少？
（3）若AC=10，△ABC的面积是48，求m的值
D
m
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
如图12.3-4，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN.
例2
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.
证明：∵OD平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.
在△ BOD 和△ AOD 中，
∴△ BOD ≌△ AOD(SAS).
∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA.
又∵ P 为DO 上一点，且PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，
∴ PM=PN.
B
练习.[中考·台州] 如图，点P 是∠ AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥ OB，垂足为D. 若PD=2，则点P 到边OA 的距离是( )
A. 1 B. 2
C. D. 4
如图12.3-5，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AD平分∠ CAB，交BC 于点D，DE ⊥ AB，垂足为E. 若AB=8 cm，求△ DEB 的周长.
解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB 的周长转化为线段AB 的长.
例 3
解：在△ ABC 中，∠ C=90°，
∴ DC ⊥ AC.
又∵ DE ⊥ AB，AD 平分∠ CAB，
∴ DC=DE.
在Rt △ ACD 和Rt △ AED 中，
∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED(HL). ∴ AC=AE.
∵ AC=BC，∴ AE=BC.
∴△ DEB 的周长=DE+DB+EB=
DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8 cm.
练习. 如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E，有下列结论：
① CD=ED；② AC+BE=AB；
③∠ BDE= ∠ BAC；④ DA 平分∠ CDE.
其中正确的结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
如图12.3-6，BD 是△ ABC 的角平分线，DE ⊥ AB 于E，S△ ABC=90 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求DE 的长.
例4
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
解：过点D 作DF ⊥ BC，垂足为F，如图12.3-6.
∵ BD 是∠ ABC 的平分线，DE ⊥ AB，∴ DE=DF.
又∵ S △ ABC=S △ ABD+S △ BDC=
×18×DE+ ×12×DF=90 (cm2)，
∴ DE=6 cm，即DE 的长为6 cm.
练习[中考· 湖州] 如图，已知在四边形ABCD中， ∠ BCD=90 °，BD平分∠ ABC，AB=6，BC=9，CD=4， 则四边形ABCD 的面积是( )
A.24 B.30
C.36 D.42
B
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