12.3 第2课时 角平分线的判定 课件（共21页）

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12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
精品同步教学课件
例：（P51习题第2题）已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
角平分线的判定
一
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
∵ PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，PD= PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
新结论
几何语言：
猜想:
思考：这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识总结
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO = ∠CEO = 90°．
又∵∠DOB = ∠EOC，OB = OC，
∴△DOB ≌ △EOC（AAS）．
∴ OD = OE．
∴ 点 O 在∠BAC 的平分线上．
∴∠1 = ∠2．
例2（P51习题第3题）如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O,OB=OC.求证∠1=∠2.
典例精析
例3如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个贸易市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
练习
如图12.3-9，BE=CF，BF ⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D. 求证：AD 平分∠ BAC.
解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，
紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
例4
证明：∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴∠ DEB= ∠ DFC=90°.
在△ BDE 和△ CDF 中，
∴△ BDE ≌△ CDF(AAS). ∴ DE=DF.
又∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴ AD 平分∠ BAC.
练习. 如图， 在△ ABC中，BD ⊥ AC 于D，CE ⊥ AB 于E， 且BO=CO. 求证：AO 平分∠ BAC.
练习. 如图，D，E，F 分别是△ ABC 三边上的点，CE=BF，△ DCE和△ DBF的面积相等. 求证：AD平分∠ BAC.
如图12.3-10，∠ MAC 和∠ NCA 是△ ABC 的外角，
∠ ABC 的平分线BD 与∠ MAC 的平分线AD 交于点D.求证：CD 平分∠ ACN.
解题秘方：紧扣“到CA，CN 的距离相等的点在∠ ACN 的平分线上”进行证明.
例 5
证明： 如图12.3-10， 过点D 作DE ⊥ BM 于点E，
DF ⊥ BN 于点F，DG ⊥ AC 于点G.
∵ BD 平分∠ ABC，∴ DE=DF.
∵ AD 平分∠ MAC，
∴ DE=DG. ∴ DG=DF，
∴ CD 平分∠ ACN.
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