12.3 第3课时角平分线的性质及判定综合 课件（共19页）

(共19张PPT)
12.3 角的平分线的性质
第3课时 角平分线的性质及判定综合
精品同步教学课件
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
求点O到△ABC三边的距离和；
12
如图，△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB外角平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
变式2：课本练习2
解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF=PG，PG=PH，
∴PF=PG=PH，
∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
课本练习1
如图12.3-12，在△ ABC 中，点O 是∠ ABC，∠ ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=20. 过O 作OD ⊥ BC 于点D. 且OD=3, 求△ ABC 的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
例
解：如图12.3-12，过点O 作OE ⊥ AB 于点E，
OF ⊥ AC于点F, 连接OA.
∵点O 是∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，∴ OE=OD, OF=OD，即OE=OF=OD=3.
∴ S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= AB·OE+ BC·
OD+ AC·OF= ×3×( AB+BC+AC)= ×3×20=30.
练习. 如图， 有一块三角形的空地ABC. 其三边长AB，AC，BC 分别为30 m，40 m，50m. 现要把它分成面积比为3 ∶ 4 ∶ 5 的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
解：方案如图．分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地．
理由：∵P为△ABC的三个内角平分线的交点，
∴点P到AB，AC，BC的距离均相等．
∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比．
1.用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M，N作OA，OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么
解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP = ∠ONP = 90°．
在 Rt△MOP 和 Rt△PON 中，
∴ Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）.
∴∠MOP = ∠NOP，
即 OP 是∠AOB 的平分线．
本节教材习题讲解
证明：∵AD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠BAD = ∠CAD．
又∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD = ∠BAD，∠FPD = ∠CAD．
∴∠EPD = ∠FPD．
即PD平分∠EPF．
∴点 D 到 PE 和 PF 的距离相等．
4.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE∥
AB,交BC于点E,PF∥AC,交BC于点F,求证:点D到PE和PF的距
离相等.
证明：∵OC 平分∠AOB，且 PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD = PE，∠DOP = ∠EOP，∠ODP = ∠OEP=90°．
又∠DPF =∠DOP+∠ODP，∠EPF=
∠EOP+∠OEP，∴∠DPF =∠EPF．
在△DPF 和 △EPF 中，
PD = PE，∠DPF =∠EPF，PF = PF．
∴△DPF ≌ △EPF (SAS)．∴DF = EF．
5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥
OB,垂足分别为D,E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF=EF.
解：AD 与 EF 垂直．证明如下：
∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠ADE = ∠ADF．
又 ∵DG = DG，
∴△GDE ≌ △GDF (SAS)．
∴∠DGE = ∠DGF．
∵∠DGE + ∠DGF = 180°，
∴∠DGE = ∠DGF = 90°，即 AD⊥EF．
6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,
F,连接EF,EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗 证明你的结论.
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F．
∵∠B = ∠C = 90°，∴ EC⊥CD，EB⊥AB．
∵DE 平分∠ADC，∴ EF = EC．
又∵ E 是 BC 的中点，∴ EC = EB．
∴ EF = EB．
∵ EF⊥AD，EB⊥AB，
∴ 点 E 在∠DAB 的平分线上，即 AE 是∠DAB 的平分线.
F
7.如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE
是∠DAB的平分线.(提示:过点E作EF⊥AD,垂足为F.)
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