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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题16二次函数y=ax +bx+c的图象
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
2．（2022·浙江·九年级专题练习）若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
3．（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2
4．（2022·江苏宿迁·九年级期末）二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建福州·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·山东德州·九年级期末）把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5 B．y＝3（x+3）2-5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5 D．y＝3（x+3）2+5
7．（2022·河南南阳·九年级期末）把抛物线的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏扬州·九年级期末）对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣3）2 B．y＝﹣（x+3）2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
10．（2022·浙江杭州·九年级期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x＋3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2＋2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
11．（2022·广东梅州·九年级期末）若点（0，a），（4，b）都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
12．（2022·辽宁大连·九年级期末）关于抛物线，下列结论：①抛物线开口向下； ②当＞1时，随的增大而减小； ③抛物线的对称轴是直线；④函数的最大值为2．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2022·河南新乡·九年级期末）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
14．（2022·山东聊城·九年级期末）抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B． C． D．
15．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
16．（2022·全国·九年级专题练习）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．（2022·安徽合肥·九年级期末）将函数y=2x+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是( )
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
20．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(1，0) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－1，2)
21．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
22．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2022·云南红河·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为，且其与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上有三点，，，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
24．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022·河南信阳·九年级期末）将函数的图像向下平移两个单位长度，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．与轴的交点不变 D．随的变化情况不变
26．（2022·湖北襄阳·九年级期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④当时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
27．（2022·江苏淮安·九年级期末）将函数y＝2x2＋x的图象向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_________．
28．（2022·河南驻马店·九年级期末）将抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为_____．
29．（2022·山东德州·九年级期末）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞___时，y随x的增大而增大．
30．（2022·湖南株洲·九年级期末）二次函数的最大值是______．
31．（2022·湖北宜昌·九年级期末）抛物线与x轴的公共点是，，该抛物线的对称轴是直线________．
32．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知点是抛物线上的两点，则a，b的大小关系是_____．
三、解答题
33．（2022·浙江·九年级专题练习）在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．
34．（2022·广东湛江·一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
35．（2022·湖北宜昌·九年级期末）已知二次函数的图象与x轴交于两点（1，0）、（4，0）．求这个二次函数的解析式和顶点坐标．
36．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
37．（2022·安徽合肥·九年级期末）一个二次函数，当时，函数的最大值为2，它的图像经过点，求这个二次函数的表达式．
38．（2022·湖北鄂州·九年级期末）学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数y＝x2－2|x|＋1的图象和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．请根据函数图象完成以下问题：
(1)观察发现：
①写出该函数的一条性质 ；
②函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2－2|x|＋1＝0有 个实数根；
(2)分析思考：
③方程x2－2|x|＋1＝1的解为 ；
④关于x的方程x2－2|x|＋1＝m有4个实数根时，m的取值范围是 ；
(3)延伸探究：
⑤将函数y＝x2－2|x|＋1的图象经过怎样的平移可以得到函数y1＝(x－1)2－2|x－1|＋3的图象，写出平移过程．
39．（2022·广东梅州·九年级期末）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)抛物线的对称轴上存在点P，且点P在x轴上方时，满足∠APB=∠ABC，求PG的长．
40．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值；
41．（2022·云南红河·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点，，现将矩形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到矩形．直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图像经过点C、M、N．
(1)请直接写出点B与点的坐标；
(2)求出抛物线的解析式；
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求当面积最大时点P的坐标及面积的最大值．
42．（2022·四川绵阳·九年级期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
(3)设的顶点为M，与y轴相交于C，连结MC、MA、AC，求．
43．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线过A、B两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于点M，交这条抛物线于点N．求当t取何值时，MN有最大值 最大值是多少
(3)在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标．
44．（2022·河南驻马店·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
(1)抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
(2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定有两个交点；
(3)若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是2，则当﹣2≤x≤2，y的最小值是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
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绝密★启用前
专题16二次函数y=ax +bx+c的图象
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【解析】
【分析】
设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】
解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．
【详解】
解：∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0）．
∵当x＝2时，y＝4，
∴4＝4k，
解得，k＝1，
∴该函数解析式为：y＝x2，
把x＝﹣3代入得，y＝9，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2
【答案】A
【解析】
【分析】
把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【详解】
解：根据题意得：
，解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
4．（2022·江苏宿迁·九年级期末）二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】
解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为（1， 1），
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握将抛物线解析式化为顶点式的方法．
5．（2022·福建福州·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式求出二次函数的顶点坐标即可．
【详解】
∵二次函数的解析式为，知二次函数开口向下，
∴当时，，即二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故选A．
【点睛】
本题考查了求二次函数的顶点坐标，本题直接给出了顶点式，直接求出即可；一般情况下，给出的是二次函数的一般式，需要先用配方法化为顶点式．
6．（2022·山东德州·九年级期末）把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5 B．y＝3（x+3）2-5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5 D．y＝3（x+3）2+5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】
解：由题意，所得到的图象的解析式为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）是解题关键．
7．（2022·河南南阳·九年级期末）把抛物线的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是，即．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解题的关键．
8．（2022·江苏扬州·九年级期末）对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】
解：y=x2-2x=（x-1）2-1，
A．由a=1＞0可知抛物线开口向上，此选项错误；
B．抛物线的对称轴为直线x=1，此选项错误；
C．当x=0时，y=0，即此抛物线经过原点，此选项正确；
D．由a＞0且对称轴为直线x=1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据抛物线的顶点式得出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等性质．
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣3）2 B．y＝﹣（x+3）2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=-x2的图象向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是：y=-（x+3）2，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．（2022·浙江杭州·九年级期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x＋3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2＋2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为y=（x+3）2+2．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
11．（2022·广东梅州·九年级期末）若点（0，a），（4，b）都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用待定系数法将两点坐标代入二次函数解析式中求解即可比较大小．
【详解】
点（0，a），（4，b）在二次函数上，
，．
．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征的理解与运用能力．明确二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系是解本题的关键．
12．（2022·辽宁大连·九年级期末）关于抛物线，下列结论：①抛物线开口向下； ②当＞1时，随的增大而减小； ③抛物线的对称轴是直线；④函数的最大值为2．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
把抛物线的解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，故①正确；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，故③正确；
∵-1＜0，
∴当时，随的增大而减小；故②正确；
∵，-1＜0，
∴当时，函数有最大值，最大值为，故④错误；
∴正确的有3个．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．（2022·河南新乡·九年级期末）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移5个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-5．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．（2022·山东聊城·九年级期末）抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先得出二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性判断即可．
【详解】
解：∵y=x2-4x-m，
∴对称轴为直线
∴C（4，y3）关于直线x=2的对称点为（0，y3），
∵a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵-3＜0＜1＜2，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
15．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数对称轴公式和二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线的解析式，并将解析式化为顶点式求出点M的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为x＝ 3，点N（ 1，1）是抛物线上的一点，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴PN∥y轴，且PN＝1，
∴△PMN的面积为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数顶点坐标的求法，熟练掌握基础知识是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级专题练习）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】
解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
17．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
18．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【详解】
解：根据题意得：二次函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线的顶点为D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线开口向下，
∴当x>-1时，y随x增大而减小，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和-2，0）之间，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故③正确；
∵抛物线的顶点为D（－1，2），抛物线开口向下，
∴函数的最大值为2，
∴当m>2时，抛物线与直线y=m没有交点，
∴方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，故④正确；
∵抛物线的顶点为D（-1，2），抛物线开口向下，
∴当x=-1时，，，
∴，故⑤正确，
∴正确的有4个．
故选：C
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合思想解答，属于中考常考题型．
19．（2022·安徽合肥·九年级期末）将函数y=2x+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是( )
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【答案】C
【解析】
【分析】
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【详解】
函数y=2x+4x+1的图象向下平移两个单位，开口方向不改变，对称轴位置不改变，与y轴的交点改变，故A、B、D错误；
y随x的变化情况不变，故C正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
20．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(1，0) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－1，2)
【答案】A
【解析】
【分析】
题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标．
【详解】
解：可转化为，
与抛物线的顶点式对比，
可以得出，顶点坐标为
故选A．
【点睛】
本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化．
21．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．
【详解】
解：根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据已知条件列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．
【详解】
∵对称轴为直线x=1，-2∴3＜x2＜4，①正确，
∵ = 1，
∴b=- 2а，
∴3a＋2b= 3a-4a= -a，
∵a＞0，
∴3a+2b<0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
23．（2022·云南红河·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为，且其与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上有三点，，，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称性求得抛物线与轴的另一个交点为，可得，即可判断①③，根据抛物线与轴有2个不同交点可得；根据时，可得，根据对称轴为直线，则时，y随x的增大而增大；根据离对称轴越远函数值越大，比较三点，，与的距离即可求解．
【详解】
解：已知抛物线的对称轴为直线，且其与x轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点为，
即
，故①不正确，③正确；
∵抛物线与轴有2个不同交点；
∴，故②正确；
∵时，可得，故④不正确
∵抛物线对称轴为直线，开口向上，
∴时，y随x的增大而增大；故⑤不正确
抛物线上有三点，，，对称轴为，
又
．
故⑥正确，
故正确的有②③⑥．
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
24．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．
【详解】
如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1，
∴ 当移动的距离为时，在内，，
当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，
根据题意得AD=x，AB=3,
∴DB=AB-AD=3-x，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，
∵当时，，当时，，
故选：C．
【点睛】
本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
25．（2022·河南信阳·九年级期末）将函数的图像向下平移两个单位长度，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．与轴的交点不变 D．随的变化情况不变
【答案】C
【解析】
【分析】
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【详解】
解：A、将函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，此选项不符合题意；
B、将函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，此选项不符合题意；
C、将函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像向下平移两个单位，与y轴原来的交点也向下平移两个单位，新交点变了，此选项符合题意；
D、将函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像与性质，涉及到函数平移变换、二次函数的性质综合等知识点，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
26．（2022·湖北襄阳·九年级期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④当时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝ 2a，
∴2a＋b＝0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（ 1，0），
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x 轴的一个交点坐标为（ 1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当y＞0 时，x 的取值范围是 1＜x＜3，故③正确；
当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，故④错误；
由图象知：抛物线的顶点横坐标为1，
∴当时，最大，
∴若t为任意实数，当x＝t时则有，即，故⑤正确；
∴正确的结论有①③⑤，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
27．（2022·江苏淮安·九年级期末）将函数y＝2x2＋x的图象向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_________．
【答案】y＝2x2＋x－2
【解析】
【分析】
利用二次函数的平移规律即可得出新函数的表达式．
【详解】
解：由函数y＝2x2＋x的图象向下平移2个单位长度得到新函数的图象，
则新函数的表达式是y＝2x2＋x－2，
故答案为：y＝2x2＋x－2．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象的平移变换,熟练掌握“上加下减,左加右减”的平移规律是解题的关键．
28．（2022·河南驻马店·九年级期末）将抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据“左加右减，上加下减”的规律解答．
【详解】
解：将抛物线y=-x2向上平移2个单位得到的抛物线是y=-x2+2．
故答案为：y=-x2+2．
【点睛】
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
29．（2022·山东德州·九年级期末）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞___时，y随x的增大而增大．
【答案】4
【解析】
【分析】
把二次函数解析式化为顶点式，找出函数的对称轴，根据函数的性质判断即可．
【详解】
解：y=x2-8x+9=（x2-8x+16）-7=（x-4）2-7，
∵a=1＞0，对称轴x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而增大，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，关键是求出函数的对称轴．
30．（2022·湖南株洲·九年级期末）二次函数的最大值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
把二次函数配成顶点式即可求解．
【详解】
解：由可得：，
∵，
∴该二次函数的最大值为1；
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
31．（2022·湖北宜昌·九年级期末）抛物线与x轴的公共点是，，该抛物线的对称轴是直线________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据点与的纵坐标都为0，可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的交点为，，
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解．
32．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知点是抛物线上的两点，则a，b的大小关系是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可得抛物线对称轴与开口方向，根据点A，B到抛物线对称轴的距离求解．
【详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，
∵1-0<4-1，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴a故答案为：a【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，
三、解答题
33．（2022·浙江·九年级专题练习）在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．
【答案】a，b、c的值分别是：﹣1、﹣3、﹣5．
【解析】
【分析】
将点（2，﹣15）、（1，﹣9），（﹣1，﹣3）分别代入二次函数的解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可．
【详解】
解：根据题意，得
，
解得 ，
∴a，b、c的值分别是：﹣1、﹣3、﹣5．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题时，利用了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上的点，一定满足该二次函数的解析式．
34．（2022·广东湛江·一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
【答案】(1)，顶点坐标为（1，4）；
(2)0＜y≤4
【解析】
【分析】
（1）将A与B的坐标代入解析式求出b与c的值，即可得到抛物线的解析式，将解析式化成顶点式可得顶点坐标；
（2）根据图象即可求出y的取值范围．
（1）解：将A（ 1，0）和B（3，0）代入y＝ x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝0，∴由函数图象可得：当0＜x＜3时，0＜y≤4．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的顶点坐标，二次函数的最值等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
35．（2022·湖北宜昌·九年级期末）已知二次函数的图象与x轴交于两点（1，0）、（4，0）．求这个二次函数的解析式和顶点坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】
利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式，求抛物线的顶点坐标．
【详解】
解：抛物线与轴交于点，．
所以，
解得．
所以，
因为，
，
所以二次函数图象的顶点坐标为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
36．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或或
【解析】
【分析】
（1）抛物线经过点，，根据待定系数法即可求解；
（2）先把抛物线解析式配方成顶点式得对称轴为直线和点，再由对称性求得，即可求得的长；
（3）设点，由，解得：，即可求解．
(1)
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
(2)
∵，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，
∵，
∴，
∴，，
∴．
(3)
存在，理由如下：
设，则点的纵坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
①当时，解得，；
②当时，解得，．
∴存在点使的面积等于6．点的坐标为：或或或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，解—元二次方程，其中第（3）问要注意分类求解，避免遗漏．
37．（2022·安徽合肥·九年级期末）一个二次函数，当时，函数的最大值为2，它的图像经过点，求这个二次函数的表达式．
【答案】二次函数的表达式为
【解析】
【分析】
设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解．
【详解】
解：设，
把代入得，
解得，
．
【点睛】
本题考查求函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
38．（2022·湖北鄂州·九年级期末）学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数y＝x2－2|x|＋1的图象和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．请根据函数图象完成以下问题：
(1)观察发现：
①写出该函数的一条性质 ；
②函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2－2|x|＋1＝0有 个实数根；
(2)分析思考：
③方程x2－2|x|＋1＝1的解为 ；
④关于x的方程x2－2|x|＋1＝m有4个实数根时，m的取值范围是 ；
(3)延伸探究：
⑤将函数y＝x2－2|x|＋1的图象经过怎样的平移可以得到函数y1＝(x－1)2－2|x－1|＋3的图象，写出平移过程．
【答案】(1)①图象关于y轴对称；②2，2
(2)③x1＝－2，x2＝0，x3＝2；④0＜m＜1
(3)⑤先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【解析】
【分析】
（1）直接根据图象即可求得；
（2）直接根据图形分析，得出结论即可；
（3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可得到结论．
(1)
观察发现：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
故答案为：函数图象关于y轴对称；
②函数图象与x轴有两个交点，所以对应的方程x2-2|x|+1=0有两个实数根；
故答案为2，2．
(2)
分析思考：
③方程x2-2|x|+1=1的解为x1=-2，x2=0，x3=2；
故答案为：x1=-2，x2=0，x3=2；
④关于x的方程x2-2|x|+1=m有4个实数根时，m的取值范围是0＜m＜1；
故答案为：0＜m＜1．
(3)
延伸探究：
⑤将函数y=x2-2|x|+1的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到函数y1=（x-1）2-2|x-1|+3的图象．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
39．（2022·广东梅州·九年级期末）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)抛物线的对称轴上存在点P，且点P在x轴上方时，满足∠APB=∠ABC，求PG的长．
【答案】(1)，对称轴为x=1
(2)2+
【解析】
【分析】
（1）根据题意待定系数法求解析式即可，根据二次函数的性质即可求得对称轴；
（2）先根据抛物线解析式求得OB=OC=3，并求出∠ABC=45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB=∠MBP，则由等腰三形判定得MP=MB，最后由勾股定理即可求解．
（1）把A（－1，0）、C（0，3）分别代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∴对称轴为，∴抛物线的解析式为，对称轴为x=1．
（2）令y=0得：，解得：，，∴OB=OC=3，∴∠ABC=45°，∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，∴∠PBA＝（180°－45°）＝67.5°，∴∠MPB＝∠APB＝22.5°，∵∠MBP=67.5°－45°=22.5°，∴∠MPB=∠MBP，∴MP=MB，在Rt△BMG中，BG=MG=2，由勾股定理可得：BM＝，∴MP＝，∴PG＝MG+MP＝2+．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
40．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，根据轴对称的性质可得此时EC+ED为最小，即为所求
（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，令解得，令解得，∴（3，0）、（0，3），∵抛物线经过点B、C，，解得，抛物线的解析式为；
（2），∴抛物线的顶点为D，如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，∴，当三点共线时，EC+ED的值最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，-3），
则EC+ED的最小值为DC′=．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，根据对称性求线段和的最小值，勾股定理求两点距离，掌握二次函数的性质是解题的关键．
41．（2022·云南红河·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点，，现将矩形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到矩形．直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图像经过点C、M、N．
(1)请直接写出点B与点的坐标；
(2)求出抛物线的解析式；
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求当面积最大时点P的坐标及面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3),面积的最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质结合坐标轴，即可求得点B的坐标，根据旋转的性质可得的坐标；
（2）待定系数法求得直线BB'的坐标，进而求得点M，N的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式；
（3）过点作轴，交于点，设，则，求得的长，根据二次函数的性质求得的最大值，即可求得当面积最大时点P的坐标及面积的最大值．
（1）∵矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），，∴B（-1，3），由旋转知，B'（3，1），
（2）设直线BB'的解析式为y=kx+b，将点B（-1，3），B'（3，1），代入得， 解得∴直线BB'的解析式为令，解得，令，解得，∴直线BB'与x轴的交点M（5，0），与y轴的交点N（0，），∵C（-1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），∵抛物线过点N，∴=a×（-5）×1，∴a=-，∴抛物线的解析式为；
（3）如图，过点作轴，交于点，设，则，；当时，取得最大值为，此时，面积的最大值为：．
【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
42．（2022·四川绵阳·九年级期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
(3)设的顶点为M，与y轴相交于C，连结MC、MA、AC，求．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求二次函数的开口方向和顶点坐标、利用二次函数的增减性可求得答案；
（3）作AD⊥y轴于D，MN⊥AD于N，根据S△AMC=S梯形MCDN+S△AMN-S△ACD求得即可．
（1）解：∵经过点∴ ∴
（2）∵ ∵，对称轴，∴y随x的增大而减小的x的取值范围是
（3）作AD⊥y轴于D，MN⊥AD于N， ∵y=-2x2+4x+2=-2（x-1）2+4， ∴M（1，4），C（0，2）， ∵A（3，-4）， ∴D（0，-4），N（1，-4），
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键．
43．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线过A、B两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于点M，交这条抛物线于点N．求当t取何值时，MN有最大值 最大值是多少
(3)在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，MN有最大值，MN的最大值为1
(3)点D的坐标是或或．
【解析】
【分析】
（1）先求出点A和点B的坐标，代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据题意可得直线与直线的交点M的坐标是，直线与抛物线的交点N的坐标是，求出MN的解析式来求解；
（3）根据（2）可知当时，MN有最大值，此时求出点M和点N的坐标，利用平行四边形的性质求解．
（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A的坐标是（0，2）、点B的坐标是（2，0）∵抛物线过A、B两点∴，解得 ，∴抛物线的解析式为：；
（2）解：直线与直线的交点M的坐标是．直线与抛物线的交点N的坐标是．∴，∴当时，MN有最大值，MN的最大值为1
（3）解：以M、A、N、D为顶点可作一个平行四边形，D点的可能位置有三种情形，当D不在y轴上时，如下图，当时，点M的坐标是（1，1），点N的坐标是（1，2）．∵点A的坐标是（0，2），∴点A与点N的纵坐标相同，∴轴．∵四边形AMDN是平行四边形，∴，轴，∴点 的坐标是（2，1）；当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由（2）可知，，，，如上图，由，得 ，解得，，∴， ．综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的最值，平行四边形的性质，求出二次函数的解析式是解答关键．
44．（2022·河南驻马店·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
(1)抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
(2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定有两个交点；
(3)若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是2，则当﹣2≤x≤2，y的最小值是多少？
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由对称轴方程x=，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x=0，求得y，答案可得；
（2）令x-2=ax2-2ax-1，说明Δ＞0即可；
（3）利用当-2≤x≤2时，y的最大值是1，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可求得当x=-2时，可以确定y的最小值．
(1)
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，
∴抛物线y=ax2-2ax-1的对称轴为==1．
令x=0，则y=-1．
∴抛物线y=ax2-2ax-1与y轴的交点为（0，-1）．
故答案为：x=1；（0，-1）．
(2)
令x-2=ax2-2ax-1，
整理得：ax2-（2a+1）x+1=0．
∵△=[-（2a+1）]2-4×a×1=4a2+1＞0，
∴直线y=x-2与抛物线y=ax2-2ax-1（a＜0）一定存在两个交点．
(3)
∵抛物线y=ax2-2ax-1（a＜0）的对称轴为x=1，
∴顶点在-2≤x≤2范围内．
∵y的最大值是2，
∴顶点坐标为（1，2）．
∵a＜0，
∴抛物线y=ax2-2ax-1的开口向下．
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
∵-2离对称轴x=1更远些，
∴当x=-2时，y有最小值．
将顶点（1，2）代入抛物线y=ax2-2ax-1中，
∴a-2a-1=2．
∴a=-3．
∴y=-3x2+6x-1．
∴当x=-2时，y=-3×4+6×（-2）-1=-25．
即y的最小值为-25．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合运用，二次函数的顶点坐标，对称轴，二次函数的极值，一元二次方程的根的判别式，熟练应用上述知识是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
