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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题14 二次函数的图象
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的图象和性质判断即可；
【详解】
解：的对称轴为x=0，开口向上，y的最小值为4，顶点坐标为（0，4），
故选： B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其图象特征是解题关键．
2．（2022·全国·九年级）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式求出与的值，比较大小即可．
【详解】
解：把，代入得，
，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是利用自变量的值求出函数值．
3．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可得顶点坐标．
【详解】
解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y=x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】
∵y=x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A．向上，轴 B．向上，轴
C．向下，轴 D．向下，轴
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质即可得到答案．
【详解】
解： ，
抛物线开口向上，
，
对称轴为 ，对称轴为轴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的图像，时，开口向下即可得到答案．
【详解】
解：抛物线 y= 2x2，
∵，
∴二次函数图像开口向下．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查抛物线的图像，a0时，开口向上，顶点（0，0）；时，开口向下，顶点（0，0）．
7．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y=-2x2+1的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴公式即可求解．
【详解】
∵，
∴，
∴对称轴．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴为是解题关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式解析式，即可计算出二次函数顶点坐标为（0，﹣1）．
【详解】
解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的基本性质，利用顶点式求出顶点坐标，同时本题中的函数也是一个特殊函数，b=0，所以抛物线顶点在y轴上，将x=0，代入函数解析式得：y=-1，也可以求出其顶点坐标为（0，﹣1）．
9．（2022·福建莆田·九年级期末）下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别计算自变量为1和2、3、4所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
解：当x=1时，y=-x2=-1，
当x=2时，y=-x2=-4，
当x=3时，y=-x2=-9，
当x=4时，y=-x2=-16，
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．（2022·河南信阳·九年级期末）已知抛物线上的两点和，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为，且开口向下，在时，y随x的增大而增大，且，即可求解．
【详解】
解：函数的对称轴为，抛物线开口向下，
函数在时，y随x的增大而增大，
∴，
而，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是：找到二次函数的对称轴，利用函数增减性进行比较．
11．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；
C．在 中，在每个象限内，y随x的增大而增大减小，故选项C符合题意；
D．在中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查正比例函数的性质、一次函数的性质，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和一次函数的性质解答．
12．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y＝x24x1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（2，5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】
解：∵，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为（2，-5），
∴当时，y随x的增大而增大，
故选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级课时练习）若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到的值．
【详解】
解：二次函数的图象经过点，
，
解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．（2022·全国·九年级课时练习）已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】
A.若，则，故本选项不符合题意；
B.若，则，故本选项不符合题意；
C.若，则，故本选项不符合题意；
D.若，则，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的性质判定即可．
【详解】
抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；
综上分析可知，正确的个数为2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
17．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【详解】
解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，
∴抛物线经过第三，四象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
18．（2022·全国·九年级）函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案．
【详解】
解：由的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
19．（2022·内蒙古·包头市第二十九中学三模）下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所成的四边形为菱形．
B．平行四边形对角线互相平分．
C．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．
D．若，则．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用菱形的判定方法、平行四边形的性质、二次函数的性质及二次根式的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所成的四边形为菱形，正确，是真命题，不符合题意；
B、平行四边形对角线互相平分，正确，是真命题，不符合题意；
C、二次函数y=x2+1，当x＜0时，y随x的增大而减小，故错误，是假命题，符合题意；
D、若，则a≥0，正确，是真命题，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法、平行四边形的性质、二次函数的性质及二次根式的知识．
20．（2022·全国·九年级）如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ）
A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．图形上任意一点到原点的最大距离是1
C．图形的周长大于
D．图形所围成区域的面积大于2且小于
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断．
【详解】
解：如图所示，
A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意；
B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意；
C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意；
D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级课时练习）已知：，且点都在函数的图像上，那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可．
【详解】
∵点都在函数的图像上，
∴，，，
∵，
∴-4a＞0，-4a+4＞0，4a＜0，4a+4=4（a+1）＞0，
∴＞0，＜0，
∴，，
∴，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键．
22．（2022·全国·九年级课时练习）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】
解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．
23．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．
【详解】
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．
24．（2022·全国·九年级课时练习）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．
25．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案．
【详解】
解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
【点睛】
此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
26．（2022·江苏宿迁·九年级期末）二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．
【答案】向上
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向．
【详解】
解：二次函数y=（m2+1）x2-1中，k=m2+1＞0，
∴该函数图象开口向上，
故答案为：向上．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．（2022·上海普陀·二模）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．
【详解】
解：图像在轴右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
28．（2022·全国·九年级课时练习）写出一个开口向上，顶点在y轴的负半轴上的抛物线的解析式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＞0，与y轴负半轴由交点c<0，然后写出即可．
【详解】
解：开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴，
∴抛物线的表达式可以是：y＝x2﹣1．
故答案为y＝x2﹣1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与y轴的交点得到解析式．
29．（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数，则其图像的开口向______．（填“上”或“下”）
【答案】上
【解析】
【分析】
根据二次项系数得出抛物线的开口方向．
【详解】
，
∵，
∴该二次函数的图像开口向上，
故答案为上．
【点睛】
此题考查二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
30．（2022·全国·九年级）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可设该抛物线解析式为，再利用待定系数法即可求解．
【详解】
根据题意可设该抛物线解析式为，
将点(2，8)代入，即得，
解得：，
故该抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的图象和性质以及利用待定系数法求函数解析式．掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
31．（2022·河南南阳·九年级期末）已知点在二次函数的图象上，则的值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
把点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
【详解】
解：∵点P(a，)在二次函数y=2x2的图象上，
∴=2a2，即a2=，
解得a=±．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
32．（2022·河南驻马店·模拟预测）请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________．
【答案】y＝x2＋1
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【详解】
解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1）．
∴函数解析式可为y=x2+ 1．
故答案为：y=x2+ 1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
33．（2022·全国·九年级课时练习）若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大小关系）
【答案】＞
【解析】
【分析】
抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定．
【详解】
解：∵二次函数的解析式为y=-x2+20，
∴该抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，-1＞-2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
34．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数的图象开口向下，则m的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答．
【详解】
根据题意得：
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．
35．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
由A点坐标为（0，1）结合两个函数解析式求出点C的坐标，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后根据DE∥AC然后利用y2求出点E的坐标，用点E的横坐标减去点D得横坐标即可解答．
【详解】
解：∵,AC//x轴
∴点A、C的纵坐标相同
∴，解得x=2，
∴点C（2，1），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同为2，
∴y1=22=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4，
∴，解得:x=4，
∴点E的坐标为（4，4），
∴DE=4-2=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出相关点的坐标成为是解答本题的关键．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
抛物线开口向上，因此a大于0，a越大抛物线开口越小，a越小抛物线开口越大，因此抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值，由此可解．
【详解】
解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，
∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，找到a取最大值和最小值时与正方形的交点是解题的关键．
三、解答题
37．（2022·全国·九年级课时练习）已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．
【详解】
解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．
38．（2022·全国·九年级课时练习）请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同．
【答案】如与，与（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】
【分析】
根据二次函数对称轴和开口方向的决定因素写出即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴符合的形式，
∵开口方向相同，
∴的符号相同，
∴如与，与（答案不唯一，符合题意即可）．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，掌握二次函数系数与图象之间的关系是解题关键．
39．（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
(1)
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
(2)
解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】
本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
40．（2022·全国·九年级课时练习）已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）先根据面积求得点的纵坐标，再代入直线的解析式可得其横坐标，然后将点的坐标代入二次函数即可得．
【详解】
解：（1）设直线的解析式为，
将点代入得，解得，
故直线的表达式为；
（2）如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
，
，
∵的面积为，
∴，
解得，
将点代入得：，
解得，
则，
将点代入得：，
解得，
故的值为．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
41．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；
（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【答案】（1）x=-1；（2）=；（3）<．
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x==-1；
（2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；
（3）利用作差法，将表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可．
【详解】
解：（1）由题意得：对称轴x==-1；
（2）∵0＜a＜3，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴x=-1，
∴，
∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：=
（3）由题意得：
=
=
=
=
∵0＜a＜3，x1＜x2
∴<0，
即：<．
【点睛】
本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．
42．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线过点和点．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．
【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线过点和点，
，解得
∴这个函数得关系式为：．
（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，
∴当时，函数随的增大而增大．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
43．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)
【解析】
【分析】
(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
(1)
把代入得：，
∴抛物线解析式为；
(2)
设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．
44．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
【答案】(1)，
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．
(1)
把点A（-4，8）代入，得：
∴；
把点A（-4，8）代入，得：
∴；
(2)
如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=-x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，
∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y=×22=2，
∴点D在抛物线y=x2上．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
45．（2022·全国·九年级课时练习）根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线．
【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1
【解析】
【分析】
（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；
（2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
【详解】
解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；
(2)由题意得，3a-2＜0，解得；
(3)由题意得，，解得，；
(4)由题意得，，
解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，
∴a＝1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值.
46．（2022·全国·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【解析】
【分析】
（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．
（2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【详解】
解：（1）列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题14 二次函数的图象
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·九年级）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y=x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
5．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A．向上，轴 B．向上，轴
C．向下，轴 D．向下，轴
6．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y=-2x2+1的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
9．（2022·福建莆田·九年级期末）下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河南信阳·九年级期末）已知抛物线上的两点和，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y＝x24x1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（2，5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
13．（2022·全国·九年级课时练习）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·全国·九年级课时练习）若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·九年级课时练习）已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
16．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
18．（2022·全国·九年级）函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·内蒙古·包头市第二十九中学三模）下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所成的四边形为菱形．
B．平行四边形对角线互相平分．
C．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．
D．若，则．
20．（2022·全国·九年级）如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ）
A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．图形上任意一点到原点的最大距离是1
C．图形的周长大于
D．图形所围成区域的面积大于2且小于
21．（2022·全国·九年级课时练习）已知：，且点都在函数的图像上，那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·九年级课时练习）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
24．（2022·全国·九年级课时练习）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
26．（2022·江苏宿迁·九年级期末）二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．
27．（2022·上海普陀·二模）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
28．（2022·全国·九年级课时练习）写出一个开口向上，顶点在y轴的负半轴上的抛物线的解析式：______．
29．（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数，则其图像的开口向______．（填“上”或“下”）
30．（2022·全国·九年级）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
31．（2022·河南南阳·九年级期末）已知点在二次函数的图象上，则的值等于_______．
32．（2022·河南驻马店·模拟预测）请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________．
33．（2022·全国·九年级课时练习）若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大小关系）
34．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数的图象开口向下，则m的值为___．
35．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
三、解答题
37．（2022·全国·九年级课时练习）已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
38．（2022·全国·九年级课时练习）请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同．
39．（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
40．（2022·全国·九年级课时练习）已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
41．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；
（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．
42．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线过点和点．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．
43．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
44．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
45．（2022·全国·九年级课时练习）根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线．
46．（2022·全国·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
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