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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题11 实际问题与一元二次方程：与图形有关的问题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（）
A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864
C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864
2．（2022·山西晋中·一模）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·贵州·织金县第六中学一模）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
4．（2022·广西·南宁三中一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西·罗城仫佬族自治县教育局教研室二模）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（ ）
A．3米 B．3.2米 C．4米 D．4.2米
7．（2022·河南洛阳·二模）如图，中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川南充·三模）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽之和为60步，问长比宽多多少步．若设长为步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·湖北·枣阳市教学研究室一模）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·浙江嘉兴·一模）图，一块长方形绿地长90米，宽60米．在绿地中开辟两条道路，使得的，开辟道路后剩余绿地面积为5046平方米，则b的值为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
11．（2022·浙江杭州·二模）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）=30 B．（10+x）（9+x）=60
C．（10-x）（9-x）=30 D．（10-x）（9-x）=60
12．（2022·广东广州·一模）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·福建·湖里实验中学模拟预测）我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高几何？”大意是说：已长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为（ ）
A．96寸 B．86寸 C．62寸 D．28寸
14．（2022·河南南阳·三模）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ）
A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm
16．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为10，则BF的长为（ ）
A．10 B． C．4 D．3
17．（2022·浙江金华·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连接图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若大正方形的边长为，，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．1 D．
18．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
19．（2022·贵州毕节·模拟预测）如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成.若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
20．（2022·山西临汾·二模）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·安徽·模拟预测）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（ ）
A．cm B．1cm C．cm D．2cm
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
22．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步．
23．（2022·山东济南·一模）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为______________．
24．（2022·山东济南·一模）如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是__m．
25．（2022·安徽·芜湖市第二十九中学一模）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
26．（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）已知与中，，，，且点、、在同一直线上，连接，则的面积为______．
27．（2022·天津北辰·二模）如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转90°得到，的延长线交于点，若，，则______．
28．（2022·湖南永州·一模）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
三、解答题
29．（2022·陕西·西安市曲江第一中学三模）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？
30．（2022·江苏南京·模拟预测）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
31．（2022·山东济宁·一模）为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1．5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．
(1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
(2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆．若此时花画的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．
32．（2022·广东·中山市黄圃镇中学一模）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
33．（2022·陕西宝鸡·一模）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 （填“图1”或“图2”）．
（2）已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积．
（3）已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
34．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校一模）如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？
试卷第1页，共3页
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绝密★启用前
专题11 实际问题与一元二次方程：与图形有关的问题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（）
A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864
C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864
【答案】A
【解析】
【分析】
由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可；
【详解】
解：由题意得：x（x-12）=864，
故选： A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键．
2．（2022·山西晋中·一模）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】
解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】
考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
3．（2022·贵州·织金县第六中学一模）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【解析】
【分析】
设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
4．（2022·广西·南宁三中一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【详解】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32 2x)(20 x)=570，
故选：A
5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设剪掉的正方形的边长为xcm，根据底面积为900cm2列方程求出x，然后计算盒子的容积即可．
【详解】
解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
则盒子的容积是，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，能够找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
6．（2022·广西·罗城仫佬族自治县教育局教研室二模）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（ ）
A．3米 B．3.2米 C．4米 D．4.2米
【答案】C
【解析】
【分析】
设中央边长为x米，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积 小正方形的面积，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：设中央边长为x米，
依题意，得：（x＋3.2＋3.2）2 x2＝144×0.82，
解得：x＝4.
故选：C
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2022·河南洛阳·二模）如图，中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和图形，利用勾股定理可以得到、、、的长，利用弧长公式求出的长，再求出和的长即可解决问题．
【详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
，
的长，
∴阴影部分的周长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查弧长的计算、勾股定理、含30度角的直角三角形、角平分线的定义、一元二次方程等知识．利用数形结合的思想解答是解决本题的关键．
8．（2022·四川南充·三模）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽之和为60步，问长比宽多多少步．若设长为步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设长为步，宽为步，长比宽多步，根据矩形的面积列出方程即可．
【详解】
解：设长为步，宽为步，
根据题意的：；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，弄懂题意并画图分析得到宽与长是关键．
9．（2022·湖北·枣阳市教学研究室一模）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设道路的宽为xm，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的长为，宽为，根据长×宽=77m2，列出方程即可．
【详解】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(12 x)(8 x)=77，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，且得出长为，宽为，是解题的关键．
10．（2022·浙江嘉兴·一模）图，一块长方形绿地长90米，宽60米．在绿地中开辟两条道路，使得的，开辟道路后剩余绿地面积为5046平方米，则b的值为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据比例设设，根据题意列方程得：90×60-60×3x-90×2x+2x·3x=5046，整理得，解方程即可．
【详解】
解：∵，设，
根据题意列方程得：90×60-60×3x-90×2x+2x·3x=5046，
整理得，
因式分解得，
解得(舍去)，
∴b=3x＝3米．
故选择C．
【点睛】
本题考查了长方形的面积，一元二次方程的面积问题应用题，掌握一元二次方程的面积问题应用题的方法与步骤是解题关键．
11．（2022·浙江杭州·二模）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）=30 B．（10+x）（9+x）=60
C．（10-x）（9-x）=30 D．（10-x）（9-x）=60
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用直角三角形面积求法列出方程即可．
【详解】
解：由题意可得：（10﹣x）（9﹣x）＝10×9（1﹣）
即（10-x）（9-x）=60，
故答案为：D
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，难度不大．
12．（2022·广东广州·一模）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据矩形的面积公式结合题意中的面积，可列方程．
【详解】
解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据题意得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找准相等关系，列出方程．
13．（2022·福建·湖里实验中学模拟预测）我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高几何？”大意是说：已长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为（ ）
A．96寸 B．86寸 C．62寸 D．28寸
【答案】A
【解析】
【分析】
设长方形门的宽是x尺，则高为（x+6.8）尺，根据题意得，解得，，（舍），所以门的宽是2.8尺，则门的高为9.6尺，换算单位即可得．
【详解】
解：设长方形门的宽是x尺，则高为（x+6.8）尺，
解得，，（舍），
∴门的宽是2.8尺，
则门的高为（尺），
（寸），
即门的高为96寸，
故选A．
【点睛】
本题考查了用方程解决实际问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，找出等量关系，掌握这些知识点．
14．（2022·河南南阳·三模）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】
设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15．（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ）
A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm
【答案】A
【解析】
【分析】
设AB=xcm，BC=ycm，由题意可得AB+BC=14，，列方程组求出AB、BC的长，再用勾股定理求出AC的长．
【详解】
解：设AB=xcm，BC=ycm，
由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm），
∴AB+BC=14，
即x+y=14①，
当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2），
∴，
即②，
由①②列方程组，
解得或（根据图形，舍去）
所以，
∴（cm），
故选：A
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为10，则BF的长为（ ）
A．10 B． C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△ABF≌△DAE得BF=AF，AF=DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AM，
∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE=1，
设BF=AE=x，则EF=x-1，
∵四边形ABED的面积为10，
∴EF BF+AF BF×2＝10，即x(x 1)+ x×2＝10，
解得：x=-5（舍）或x=4，
∴BF=4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．
17．（2022·浙江金华·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连接图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若大正方形的边长为，，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图2，由题意可设，，则可以用表示出，又由于大正方形的边长为，可得，与构成方程组，可求出，从而得到的值，然后在中，利用勾股定理列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】
解：如图2，设，，
∴，
∴，
∵大正方形的边长为，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：，（舍去），
在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴小正方形的边长为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，正方形的面积，二元一次方程组，一元二次方程等知识．设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
18．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解析】
【分析】
设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2022·贵州毕节·模拟预测）如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成.若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【答案】D
【解析】
【分析】
根据a+1=b和勾股定理建立方程，再解出a即可．
【详解】
解：由图可得：b=a+1，
由勾股定理得：，
即，
解得，
∴b=3
，
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理和一元二次方程在几何题中的应用，掌握这些知识点是关键．
20．（2022·山西临汾·二模）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图中曲桥分布，列出方程即可；
【详解】
解：如图，
将曲桥移至同一水平上可得，
故选：C
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
21．（2022·安徽·模拟预测）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（ ）
A．cm B．1cm C．cm D．2cm
【答案】D
【解析】
【分析】
设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x)cm，宽为(6-x)cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x)cm，宽为cm，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】
本题考查长方体的展开图，一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
22．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步．
【答案】6
【解析】
【分析】
设长为x步，则宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得出答案．
【详解】
解：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
23．（2022·山东济南·一模）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为______________．
【答案】（35-2x）（20-x）=660
【解析】
【分析】
若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解
【详解】
解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．
故答案为：（35-2x）（20-x）=660．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2022·山东济南·一模）如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是__m．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据栅栏的总长度是18m，AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【详解】
解：设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m．
根据题意可得，x（18﹣2x）＝36．
解得x1＝6（舍去），x2＝3．
∴AB的长为3m．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，正确建立一元二次方程，并运用适当的方法求解是解题关键．
25．（2022·安徽·芜湖市第二十九中学一模）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
【答案】1.25
【解析】
【分析】
设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，求出未知数.
【详解】
设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为
，解一元二次方程，由，可得.
【点睛】
本题综合考查一元二次方程的列法和求解，这类实际应用的题目，关键是要结合题意和图示，列对方程.
26．（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）已知与中，，，，且点、、在同一直线上，连接，则的面积为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意证明可得，根据，即，可得是直角三角形，根据勾股定理求得，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：设交于点，如图，
，，，
，，
，
，
，
即，
是直角三角形，
，
即，
解得或（舍去），
，
的面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，证明是直角三角形是解题的关键．
27．（2022·天津北辰·二模）如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转90°得到，的延长线交于点，若，，则______．
【答案】17
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得∠EAF=90°，AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，BE=DF，则AEHF是正方形，设EH=x，在Rt△AEB中由勾股定理建立方程求得x，即可解答．
【详解】
解：由旋转的性质可得：∠EAF=90°，∠AEB=∠AFD=90°，
∴四边形AEHF是矩形，
由旋转的性质可得：AE=AF，
∴矩形AEHF是正方形，
设EH=x，则AE=HF=x，BE=7+x，
ABCD为正方形，则AB=BC=13，
Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，
∴169=x2+（7+x）2，
（x-5）（x+12）=0，
x=5或x=-12，
x＞0，则x=5，
∴BE=12，
由旋转的性质可得：BE=DF，
∴DH=DF+FH=17，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用，掌握旋转的性质是解题关键．
28．（2022·湖南永州·一模）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
【答案】2
【解析】
【分析】
设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
29．（2022·陕西·西安市曲江第一中学三模）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？
【答案】2m．
【解析】
【分析】
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米，
由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60．
解得x＝2或x＝18（舍去）．
答：道路的宽应设计为2m．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
30．（2022·江苏南京·模拟预测）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【解析】
【分析】
设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【详解】
解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
31．（2022·山东济宁·一模）为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1．5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．
(1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
(2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆．若此时花画的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．
【答案】(1)该绿化项目原计划每天完成2000平方米
(2)花圃的长为6米，宽为12米．
【解析】
【分析】
（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，再用4天完成了该项绿化工程，进而得出方程求出答案；
（2）设花圃的宽AB为x米，它的面积为72米2，进而列出方程求出答案即可．
(1)
解：设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：＝4，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
(2)
解：设花圃的宽AB为x米，则BC＝28+2﹣3x＝30﹣3x，
根据题意，得（30﹣3x）x＝72，
解得：x1＝4，x2＝6．
∵当x＝4时，30﹣3x＝18＞16，
∴不符合题意，舍去．
∴宽为6米，长为12米．
答：花圃的长为6米，宽为12米．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确找到等量关系，列出方程是解题关键．
32．（2022·广东·中山市黄圃镇中学一模）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
【答案】（1）隔离区的长和宽分别为4米，2.5米；（2）有，平方米
【解析】
【分析】
（1）设隔离区边米，则边米，根据题意列出一元二次方程，解方程求解，根据的值确定的范围，进而求得长和宽；
（2）设隔离区面积为S平方米，列出关于的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】
（1）设隔离区边米，则边米，
由已知得，
∴，，
解得：（舍），，
∴米．
答：隔离区的长和宽分别为4米，2.5米．
（2）设隔离区面积为S平方米，
，
∴当时，．
答：隔离区面积最大为平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键．
33．（2022·陕西宝鸡·一模）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 （填“图1”或“图2”）．
（2）已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积．
（3）已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
【答案】（1）图2；（2）63cm2；（3）小正方形的边长为2cm．
【解析】
【分析】
（1）根据长方形展开图的特征，判断即可．
（2）根据长方形的面积公式求解即可．
（3）设剪去的小正方形的边长为x cm，构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，做成的纸盒的底面积=（12-3）（10-3）=63（cm2）；
（3）设剪去的小正方形的边长为x cm，则有（12-2x）（10-2x）=242，
解得x=2或9（9舍弃），
∴小正方形的边长为2cm．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，认识立体图形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
34．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校一模）如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？
【答案】长和宽分别为14米和10米.
【解析】
【分析】
首先设这个仓库的长为米， 则宽表示为，再根据面积为 140 平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可 ．
【详解】
解： 设这个仓库的长为米， 由题意得：
，
解得：，，
这堵墙的长为 18 米，
不合题意舍去，
，
宽为：（米．
答： 这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米 ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用， 关键是正确理解题意， 正确表示出长方形的长和宽 ．
试卷第1页，共3页
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