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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题19 根据二次函数的图象确定相应方程的根
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·湖北恩施·九年级期末）二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程有两个异号的实数根．
【详解】
解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，
∴关于x的一元二次方程有两个异号的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数的图像与x轴有交点的横坐标即为关一元二次方程的根是解答本题的关键．
2．（2022·河北唐山·二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc＞0；乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a+c＞0；丁：当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．乙、丙、丁
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象可得对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断即可．
【详解】
由图象可知，a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，
故甲错误；
根据图象判断，y=-2时，对应的x的值有两个，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，
故乙正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
∴，即2a=-b，
令x=-1，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c，
由图象可知当x=-1时，y>0，
∴3a+c>0，
故丙正确；
由图象可知，当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值，没有最小值，
故丁错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象性质和特征，能够利用二次函数图象判断系数的正负是解题的关键．
3．（2022·天津·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，ax2＋bx＋c≥4；③若点（-2，m）,（3，n）在抛物线上，则m
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
①利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；
②利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；
③由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则根据二次函数的增减性可对③进行判断；
④根据抛物线的对称性，可对④进行判断；
【详解】
解：①当a＞0，顶点为（2，4）时，因为开口向上，与x轴没有交点，
所以Δ＜0，故①错误；
②当a＞0时，因为顶点坐标（2，4），开口向上，y有最小值，最小值为4，则y≥4，
∴ax2+bx+c≥4；故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点（﹣2，m）与（6，m）是对称点，
当a＞0时，x＞2时，y随x的增大而增大，
当a＜0时，x＞2时，y随x的增大而减小，
而点（6，m），（3，n）在抛物线上，所以m与n的大小不能确定，
故③错误；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一根为﹣1，
由对称性可得：另一根为5．
所以④正确；
其中正确的是：②④；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点等，掌握二次函数的性质是解题关键．
4．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图像与坐标轴的交点即可求解
【详解】
解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，根据函数图象可知，点在轴正半轴，
所以方程ax2+bx+c＝0的解是0和一个正根
故选D
【点睛】
本题考查了根据函数图象确定一元二次方程根的情况，数形结合是解题的关键．
5．（2022·山东枣庄·九年级期末）根据以下表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2＋bx＋c －1 －0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】
【分析】
判断出内，二次函数的增减性，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：在内，随的增大而增大，
时，；当时，，
在时，存在一个使得，
即方程的一个解的范围是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
6．（2022·山东济南·九年级期末）抛物线的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
【详解】
解：如图，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况有关．
7．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；
x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
8．（2022·天津·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断得出答案．
【详解】
解：抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，
抛物线的对称轴是x=1即=1，则b=-2a，故2a+b=0，故②正确；
∵x==1，即b=-2a，
而x=4时，y=0，即16a+4b+c=0，
∴8a+c=0，c=-8a，
∴a+c=a-8a=-7a，
∵a＜0，
∴-7a＞0，即a+c＞0，
所以③正确；
∵当x=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c，
∴点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故正④确；
∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴直线y=4与抛物线只有一个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=4有相等的实数根，故⑤错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（2022·四川泸州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
关于x的方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】
∵y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是没有实数根，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了方程ax2+bx+c=0的根的情况，关键是看函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点．
10．（2022·黑龙江鹤岗·九年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线与x轴的交点的横坐标，即令y=0所对应的一元二次方程的根．
【详解】
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1．
故选B．
【点睛】
考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的关系．
11．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
下列结论正确的是（ ）
①ab＞0；②a+b+c＜0；③若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．
【详解】
解：由表格可知，
该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故①正确；
由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=-3＜0，故②正确；
∵点（-7，y1）到对称轴x=-1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误，
∵图象经过（-3，-3）和（1，-3）两个点，
∴方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数的图像经过与两点，关于的方程（）有两个整数根，其中一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数的图像关于对称轴对称的性质可以得到关于的方程（）的另一个整数根，从而可以解答本题．
【详解】
解：二次函数的图像经过与两点，
∵当时，的两个根为和
∴函数的对称轴是直线，
又∵关于的方程（）有两个根，其中一个根是3，
∴方程（）的另一个根为．
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图像关于对称轴对称的性质解答．
13．（2022·天津南开·模拟预测）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线开口向下，可得a＜0，再根据题意得到抛物线的对称轴为直线，从而得到b＜0，再由当x=0时，y=c＞0，可得①正确；根据当x=-2时，y＜0，即，可得②正确；再由当x=-1时，y＞0，可得，再得到，可得③正确；根据方程有两个不相等的实数根，可得函数与直线有两个交点，可得④正确，即可求解．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴b＜0，
如图，
当x=0时，y=c＞0，
∴，故①正确；
当x=-2时，y＜0，即，故②正确；
当x=-1时，y＞0，即，
∵a＜0，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴函数与直线有两个交点，即
∵抛物线过点，
∴，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴抛物线的顶点的纵坐标，
∵a＜0，
∴，故④正确，
∴正确的有4个．
故选：A
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y>0，下方的点对应的y<0．
14．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．
【详解】
解：根据题意知：
∵点，，
故对于二次函数与线段有公共点时，
即当x=4时，，
即，
当时，解得，
当时，解得，
∴的解集为或；
故选：B．
【点睛】
此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．
15．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数的部分图象如图，图象过点（-2，0）对称轴为直线x=1，下列结论：①<0；②=0；③>0；④当y>0时，的取值范围是；⑤> 3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，判断b与0的关系，即可得出abc与0的关系；
②根据对称轴为直线x=1，即可判断2a+b=0；
③根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断b2-4ac＞0；
④根据抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0）得出抛物线与x轴另外一个交点坐标为（4，0），即可得出y>0时，x的取值范围；
⑤把x=-3代入y=ax2+bx+c得出y=9a-3b+c，根据图象可知，当x=-3时，，得出9a-3b+c＜0，即可得出答案．
【详解】
解：①由图象可得c＞0，，
∵x==1，
∴，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b=-2a，即2a+b=0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故③正确；
④∵抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴当y>0时，x的取值范围是 2⑤∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
即9a+c＜3b，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．（2022·四川省渠县中学一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数且a≠0）的图象经过点（1，0）、（－2，y1）、（－1，y2），且y1＜0＜y2．以下结论：①abc＞0；②a＋3b＋2c＞0；③在－2＜x＜－1中存在一个实数x0，使得x0＝－；④对于自变量x的任意－个取值，都有．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，画出图二次函数图象，可得a<0，b<0，c>0，则①正确；再由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），可得c=-a-b，从而得到a+3b+2c=b-a，再由x=-1时，y2>0，可得b-a【详解】
解：根据题意，画出图二次函数图象，如图：
∵a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∴a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a，
又∵x=-1时，y2>0，
∴a-b+c>0，
∴b-a∵c>0，
∴b-a可以是正数，
∴a+3b+2c≤0，故②错误；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
令y=0，则ax2＋bx -a-b=0，
∴该方程的一个根为1，
设该方程的另一个根为x1，
∴，
∴，
∵-2∴在－2＜x＜－1中存在一个实数x0，使得x0＝－，故③正确；
∵a<0，b<0，
∴，
∵函数，
∴函数有最小值，
∴对于自变量x的任意－个取值，都有，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知抛物线与x轴必定有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】
解：∵抛物线的的顶点坐标为（1，5）
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴抛物线与x轴必定有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，正确理解抛物线与x轴必定有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
18．（2022·湖南省汉寿县教育研究室一模）如图，二次函数的图象与轴相交于两点，．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与轴有两个点，可得，故①正确；再由二次函数的图象与轴相交于两点，．可得抛物线对称轴为直线，可得，故②正确；再由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得，，可得，故③错误；然后根据抛物线的对称轴为直线，且开口向上，可得当x=-1时，函数值最小，最小值为，可得，故④正确；即可求解．
【详解】
解：∵二次函数的图象与轴有两个点，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与轴相交于两点，．
∴抛物线对称轴为直线，即，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∴当x=-1时，函数值最小，最小值为，
∵当x=m时，，
∴，即，
∵，
∴，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
19．（2022·全国·九年级课时练习）下表中列出的是二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数y的几组对应值．
x … 0 1 3 …
y … 6 …
有下列结论：①；②当时，y的取值范围是；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线经过点（0， 4），（3， 4）可得抛物线对称轴为直线x＝，由抛物线经过点（ 2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线经过点（0， 4），（3， 4），（1， 6），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
，
解得，
抛物线解析式为，
故①正确；
②由
顶点为，
当取得最小值，最小值为，
，开口向上，
根据离对称轴越远的点的函数越大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
当时，y的取值范围是；
故②不正确；
，
，
故③正确；
，
，
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，
故④正确；
故正确的有①③④，共3个，
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
20．（2022·四川·成都市棕北中学二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．ac＞0 B．b+2a＝0 C．9a﹣3b+c＜0 D．b2﹣4ac＜0
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝-1计算2a+b与0的关系；再由与x轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：A.抛物线开口向上，a＞0，抛物线交y轴的负半轴，故c＜0，则，故A选项不正确，不符合题意．
B.抛物线对称轴是直线x＝﹣1，则，则 ，故，则B选项不正确，不符合题意．
C.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），对称轴是直线x＝﹣1，则另一个交点坐标为，则当时，，故C选项正确，符合题意
D、抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，故D错误，不符合题意．
故选C
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．
21．（2022·江苏宿迁·九年级期末）抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴可得抛物线解析式，将x2+bx+3﹣t＝0转化为抛物线y＝x2+bx+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点的问题，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），
将x2+bx+3﹣t＝0整理为x2﹣2x+3＝t，
∴当t＝2时，抛物线顶点落在直线y＝2上，满足题意，
把（﹣1，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
把（3，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
∴2≤t＜6满足题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图像与系数的关系．
22．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-2有一个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∵a-b+c＞0
∴a-b+c= a+2a+c=3a+c＞0，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴由图像可得，抛物线与直线y=n-2有两个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-2有两个实数根，所以④错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，根据图像求方程的根的情况，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可判断，即可判断①正确；令，解得，根据图得，，即可求出a的范围，即可判断②错误；由代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知⑤错误．
【详解】
二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，
，
，
，故①正确；
令，
解得，
由图得，，
解得，故②正确；
，
可化为，即，
，
若成立，则，故③错误；
当时，随的增大而减小，
，
，
对称轴为直线，
时与时所对应的值相等，
，故④错误；
（，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标，
则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，
根据抛物线的对称性可知，
当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4，
当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2，
故⑤错误；
综上，正确的个数为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像和性质作出判断即可．
【详解】
解：根据图像知，当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为，
，
，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知是关于的方程的一个根，
故选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图像上，
当时，，
故D选项结论不正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
25．（2022·全国·九年级）若a、b（）是关于x的一元二次方程的两个根，m、n（）是关于x的方程的两根，则a、b、m、n的大小关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，画出函数y＝（x a）（x b）的图象，根据函数图象求解即可．
【详解】
解：依题意，画出函数y＝（x a）（x b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），
即：a、b（）是关于x的一元二次方程的两个根，
方程1 （x a）（x b）＝0转化为（x a）（x b）＝1，
方程的两根是抛物线y＝（x a）（x b）与直线y＝1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；
在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
26．（2022·辽宁辽阳·一模）如图，二次函数（a≠0）图像的一部分与x轴相交于点(1，0)，对称轴为直线x＝-1，则有下列结论：①abc>0；②；③若关于x的一元二次方程（a≠0）的一根是3，则另一根是-5；④（m为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数对称轴为x=-1，则有，则可以得到a和b的关系，同时可根据图像得出函数图像开口向上，则有a>0，且与y轴交于负半轴，那么c<0，由此可得到a>o，b>0，c<0，进而判断①中是否正确；②可通过b=2a及当x=1时，y=a+b+c=0代入②中式子得出：式子左边为2a>0，即可判断；③由方程与函数的关系：方程的根即为函数图像的交点的横坐标，我们可根据画图来确定方程的根，同时根据函数图像的对称性可知方程的根所对的横坐标也关于x=-1对称，那么当其中一个根为3时，另一个根为-5即为题干所得；④通过对不等式左右两边同时加上c，进而由二次函数的最值进行判断．
【详解】
由题易得a>0，c<0，对称轴，则有b=2a>0
所以，①错误．
当x=1时，y=a+b+c=0
∴
∴
即②正确．
∵（a≠0）的两个根在图像上也关于x=-1对称
∴当方程其中一个根为3时，另外一个根为-5
即③正确．
∵a>0
∴当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大
∴当x=-1时，y有最小值为a-b+c
∴对于任意实数m有
∴
则④正确．
故选：C
【点睛】
本题是一个多结论的二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数与方程，二次函数图像与系数的关系，二次函数最值等知识点，解题的关键在于通过题干及图像分析出系数的大小关系．③主要运用二次函数的对称性；④解题的关键在于赋值代入．
27．（2022·全国·九年级专题练习）一元二次方程根的情况是（ ）
A．有一个正根，一个负根 B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12 D．有两个正根，且有一根大于12
【答案】D
【解析】
【分析】
将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．
【详解】
解：如图，
由题意二次函数y=，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y=，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0）
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．
28．（2022·天津河西·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①；
②抛物线经过点；
③方程有两个不相等的实数根；
④．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴及与y轴的交点坐标，可判断①错误；根据抛物线的对称性可以判断②错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断③正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断④正确，故可得解．
【详解】
∵对称轴在 y 轴左侧
∴ ＜0
∴ a、b同号，即ab＞0
∵ y=ax2+bx+c 经过点 (0,3)
∴c=3＞0
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线 y=ax2+bx+c （ a ，b ， c 为常数， a≠0 ）经过点 (1,0) ，其对称轴在 y 轴左侧，故抛物线不能经过点 (,0) ，因此②错误；
抛物线 y=ax2+bx+c （ a ，b ， c 为常数， a≠0 ）经过点 (1,0) ， (0,3) ，其对称轴在 y 轴左侧，可知抛物线开口向下，即a＜0，与直线y=2有两个交点，因此方程ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根，故③正确；
∵对称轴在 y 轴左侧，
∴ ＜0
∵a＜0
∴b＜0
∵ y=ax2+bx+c 经过点 (1,0)
∴a＋b+c=0
∵ y=ax2+bx+c 经过点 (0,3)
∴c=3
∴a＋b=-3
∴b=-a-3，a=-b-3
∴-3故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
29．（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
【答案】①②
【解析】
【分析】
①对x赋值为-1即为a-b+c，通过图像观察x=-1时的函数值对应点的位置即可判断；
②通过对称轴和函数图像与x轴的一个交点判断另一个交点的大致位置即为m的范围；
③要使存在实数x，使得，因为a<0，则方程应有两个不相等的实数根，即△>0， 由对称轴x=-2可得b=4a，列式计算后判断△即可；
④根据当x=2时y>0，当x=3时y<0， b=4a，列不等式计算求出a的解集即可．
【详解】
①当x=-1时，，
通过函数图像可知，此时函数图像在x轴上方，即a-b+c>0，
故①错误；
②通过函数图像可知，对称轴为x=-2，函数图像与x轴的一个交点n的范围为2根据对称性，另一交点（m，0）与点（n，0）关于x=-2对称，
∵2-（-2）=4，3-（-2）=5，
∴-2-5即：-7③令y=
若存在实数x使函数值大于0，则方程有两个不相等的实数根，
∵
由函数图像可知，，即b=4a
∴，方程有两个相等的实数根，
即函数开口向下且与x轴只有一个交点，
∴不存在实数x，使得，故③错误；
④x=0时，y=c=
∴
由图像可知，当x=2时y>0，当x=3时y<0，
∴
由对称轴x=-2得，
∴b=4a
∴
解得
∴④错误
综上所述，结论正确的有①②，
故答案为：①②
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图像性质及通过函数图像求参数的关系是解题的关键．
30．（2022·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线是常数且，下列四个结论：
①若抛物线经过点，则抛物线对称轴为；
②若，则方程一定有两个不等的实数根；
③若，则抛物线与轴一定有两个不同的公共点；
④点，在抛物线上，若，则当时，
其中正确的是______（填写序号）
【答案】②③
【解析】
【分析】
由可得抛物线过点，再由抛物线经过可得抛物线对称轴，从而判断①，由抛物线开口方向及经过定点可得抛物线与直线有两个交点，从而判断②，由，抛物线经过可得抛物线与轴有两个交点即可判断③，由可得抛物线开口向上，，从而可得抛物线与轴两个交点在直线的右侧，从而判断④．
【详解】
解：，
抛物线经过，
若抛物线经过点，
抛物线对称轴为直线，①错误．
，
抛物线开口向上，
抛物线与直线一定有个交点，即一定有两个不等的实数根，②正确．
抛物线与轴交点在轴下方，
抛物线经过在轴上方，
抛物线与轴一定有两个交点，③正确．
∵，
∴当时，；
抛物线对称轴位于点的右侧或与经过点点，
当时，，
抛物线对称轴位于点的左侧，
抛物线对称轴与点位置不确定，
对称轴位置不确定，跟对称轴的位置关系不确定，
和的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
31．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先联立两个函数的解析式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，然后根据和均为整数可求出和的值，由此即可得．
【详解】
解：联立，
整理得：，
抛物线与直线的两个不同交点分别为，，
和是一元二次方程的两个不相等的根．
由根与系数的关系可知，，，
则，即，
和均为整数，
和均为整数，
不妨设，
则，
解得，
所以，即，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了抛物线与一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的联系是解题关键．
32．（2022·湖北武汉·二模）物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为x＝m，且a+b+c＝0．下列四个结论：①c＜0；②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；③不等式am2﹣a3≥ab﹣bm一定成立；④若P（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，且当x1＜x2＜2时，y1＜y2，则c≤3a．其中正确的是 _____（填写序号）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据题意可得抛物线过点（1，0），可得①错误；再求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，可得②正确；然后根据题意可得当x=m时，二次函数有最大值，为，可得③正确；再由抛物线对称轴为x＝m，a＜0，当x1＜x2＜2时，y1＜y2，可得，然后根据a+b+c＝0．可得，可得④正确；即可求解．
【详解】
解：当x=1时，，
∵ a+b+c＝0，
∴抛物线过点（1，0），
如图，
此时c＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点（1，0），对称轴为x＝m，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
令y=0，则ax2+bx+c＝0，
∴方程的两根为，故②正确；
当x=a时，y=a3+ab+c，
∵抛物线对称轴为x＝m，a＜0，
∴当x=m时，二次函数有最大值，为，
∴，
∴am2﹣a3≥ab﹣bm，故③正确；
∵抛物线对称轴为x＝m，a＜0，当x1＜x2＜2时，y1＜y2，
∴，
∴，
∵a+b+c＝0，
∴，
∴，即，故④正确；
∴正确的有②③④．
故答案为：②③④
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题
33．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（ 2， 2），当时，二次函数的最值是 2，求k的取值范围；
(4)当a= 1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
【答案】(1)4a
(2)0
(3) 6≤k≤0
(4) 4≤c＜5
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，即可求解；
（2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2 4ac=0，进而得到c=4a，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线的顶点是（ 2， 2），再由当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，可得，即可求解；
（4）根据题意可得关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解．
(1)
解：由题意得：抛物线的，解得b=4a，
故答案为：4a；
(2)
解∶∵抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ=b2 4ac=0，
∴16a2 4ac=0，
∵a≠0，
∴4a c=0，即c=4a，
∴c b=4a 4a=0；
(3)
解：∵抛物线过点（ 2， 2），且对称轴为直线x= 2，
∴抛物线的顶点是（ 2， 2），
∵当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，
∴，解得： 6≤k≤0；
(4)
解：当a= 1时，b= 4，
∴抛物线y= x2 4x+c，
∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，
c=x2+4x，
可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2 4与直线y=c在 3＜x＜1的范围内有交点，
当x= 2时，y=4 8= 4，x=1时，y=1+4=5，
如图所示，由图象得：c的取值范围： 4≤c＜5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
34．（2022·全国·九年级专题练习）在y关于x的函数中，对于实数a，b（b＞a），当a≤x≤b时，函数y有最大值ymax，满足ymax＝2（b﹣a），则称函数为“倍增函数”．
(1)当a＝1，b＝3时，判断下列函数是否为“倍增函数”？如果是，请在对应_____内画“√”，如果不是，请在对应_____内画“×”；
①y＝2x ；
②y＝﹣2x+2 ；
③ ．
(2)当b＝2a+1时，反比例函数为“倍增函数”，求实数a的值；
(3)已知二次函数y＝x2﹣bx+a2+2a﹣1是“倍增函数”，且y有最大值4，求实数a的值．
【答案】(1)①×；②×；③√
(2)；
(3)a的值为或1
【解析】
【分析】
（1）①当x＝3时函数y＝2x有最大值6；②当x＝1时函数y＝﹣2x+2有最大值0；③当x＝3时函数有最大值4；再依据“倍增函数”的定义进行判断；
（2）由题意可得，分两种情况讨论：当a＞0时，当x＝a时函数有最大值8，即2a+2＝8，可求a＝3；当a＜0时，当x＝b时函数有最大值，则=2a+2，此时a无解；
（3）由题意可得b﹣a＝2，分两种情况讨论：a≤0，当x＝a时，函数有最大值为a2﹣ba+a2+2a﹣1＝4，解得a（舍）或a；a≥0，当x＝b时，函数有最大值为a2+2a﹣1＝4，解得a1或a（舍）．
(1)
∵a＝1，b＝3，
∴ymax＝2（b﹣a）＝4，
①当1≤x≤3时，对y＝2x，当x＝3时函数有最大值6，
∴y＝2x不是“倍增函数”；
②当1≤x≤3时，对y＝﹣2x+2，当x＝1时函数有最大值0，
∴y＝﹣2x+2不是“倍增函数”；
③当1≤x≤3时，对，当x＝3时函数有最大值4=2(3-1)，
∴ 是“倍增函数”；
故答案为：×，×，√；
(2)
∵b＝2a+1，
∴ ，
∵反比例函数为“倍增函数”，
∴当a≤x≤b时，函数y有最大值2a+2，
当a＞0时，对函数，当x＝a时函数有最大值8，
∴2a+2＝8，
∴a＝3；
当a＜0时，对函数，当x＝b时函数有最大值，
∴=2a+2，
∴，
∵ ，
∴a无解；
综上所述：a＝3；
(3)
∵ ，y有最大值4，
∴b﹣a＝2，
∵二次函数y＝x2﹣bx+a2+2a﹣1是“倍增函数”，
当，即a≤0，
当x＝a时，函数有最大值为a2﹣ba+a2+2a﹣1，
∴a2﹣ba+a2+2a﹣1＝4，∴a2＝5，
解得a（舍）或a，
当，即a≥0，
当x＝b时，函数有最大值为，
∴a2+2a﹣1＝4，
解得a1或a1（舍）；
综上所述：a的值为或1．
【点睛】
本题考查函数的新定义，理解定义，能将所求的问题转化为反比例函数与二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
35．（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）已知：二次函数：，一次函数：．
(1)求二次函数顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)当时，点为：上一个动点，将点向右平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围；
(3)若与交于，两点，且，两点在对称轴两侧，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)a=-1或0＜a＜3；
(3)
【解析】
【分析】
（1）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得点Q（a+2，a），联立可得，再由二次函数与x轴交于点（0，0），（2，0），可得当0＜a＜3时，线段与抛物线只有一个公共点，当a=-1时，线段与抛物线只有一个公共点，即可求解；
（3）由与交于，两点，可得，从而得到，再由，两点在对称轴两侧，可得，从而得到，即可求解．
(1)
解：∵，
∴二次函数顶点坐标为；
(2)
解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵点为：上一个动点，
∴a=b，
∴点Q（a+2，a），
∵线段与抛物线只有一个公共点，
联立，得：，
解得：，
当y=0时，，解得：x=0或2，
∴二次函数与x轴交于点（0，0），（2，0），
当a=0时，a+2=2，则点P（0，0），Q（2，0），此时线段与抛物线交于点P、Q，
∴当0＜a＜3时，线段与抛物线只有一个公共点，
∵当a+2=1时，a=-1，点Q（1，-1），此时点Q为与抛物线顶点，
∴当a=-1时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上所述，的取值范围a=-1或0＜a＜3；
(3)
解：联立，得：，
解得：，
∵与交于，两点，
∴，
解得：，
∵抛物线的对称轴为直线，且，两点在对称轴两侧，
∴，解得：，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
36．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴交于，，根据图象回答下列问题：
(1)写出方程的根；
(2)若方程有实数根，写出实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标可得答案；
（2）方程有实数根，则抛物线与直线有交点，结合抛物线的顶点坐标为可得答案．
(1)
解：∵方程的根是二次函数的图象与轴交点的横坐标，
∴方程的根为，；
(2)
解：∵方程有实数根，
∴抛物线与直线有交点，
由函数图象可知．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，要熟记以下内容：（1）一元二次方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）方程的解是抛物线与直线交点的横坐标．
37．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）求y的取值范围．
【答案】（1）﹣5和1；（2）﹣5＜x＜1；（3）y≤9
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的图像与轴的交点，即可求解；
（2）根据二次函数的图像，即可求解；
（3）求得二次函数的解析式，根据二次函数的性质求得最大值，即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5和1；
（2）如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：；
（3）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：，
∵抛物线过点C（0，5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵，
∴当时，
，
∴y的取值范围为：．
【点睛】
此题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
38．（2022·全国·九年级专题练习）（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象．
（2）观察图象，回答下列问题：
①直接写出方程x2﹣2x﹣3＝0的根是 ．
②当x 时y时随的增大而增大．
③当y＞0时x的取值范围是 ．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；③或．
【解析】
【分析】
（1）利用五点作图法求出二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标以及关于对称轴对称的点的坐标，然后用平滑的曲线连起来即可；
（2）①根据图像得到二次函数与x轴的交点坐标，即可求出方程x2﹣2x﹣3＝0的根；
②根据图像可判断出当时，y时随的增大而增大；
③根据图像得到二次函数与x轴的交点坐标，由x轴上方的图像可求出当y＞0时x的取值范围．
【详解】
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点坐标为（1，-4），对称轴为，
当x＝0时，y＝-3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴点（0，-3）关于对称轴对称的点的坐标为（2，-3），
当时，，解得：，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0），
如图所示，用平滑的曲线将点（1，-4），（0，-3），（2，-3），（3，0）和（-1，0）连起来．
（2）①由图像可得，二次函数与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0），
∴方程x2﹣2x﹣3＝0的根是，
故答案为：；
②由图像可得，二次函数的对称轴为，
∴当时，y时随的增大而增大，
故答案为：；
③由图像可得，二次函数与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0），
∴当y＞0时x的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】
此题考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质以及二次函数与一元二次方程的关系．
39．（2022·河南信阳·九年级期末）某班数学兴趣小组最近热衷于探索函数的图象和性质，对于函数，已知当自变量的时候，函数值为；当自变量x的值取1的时候，函数值为3．
他们的探索过程如下，请补充完整：
(1) ； ；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质： ．
(3)若方程有且只有两个解，则p的取值范围为： ．
【答案】(1)2，
(2)图见解析，当时，随的增大而减小（答案不唯一）
(3)或
【解析】
【分析】
（1）将代入函数的解析式可得，再将代入计算即可得的值；
（2）先利用描点法画出函数图象，根据函数图象，写出当时，函数的增减性即可得；
（3）先分别求出当时，或；当时，，再将方程有且只有两个解转化为函数与直线有且只有两个交点，然后结合函数图象即可得出答案．
（1）解：由题意，将代入得：，将代入得：，即，将代入得：，解得，故答案为：2，．
（2）解：利用描点法画出函数图象如下：
由函数图象可知，这个函数的一条性质是当时，随的增大而减小，故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）．
（3）解：由（1）可知，函数的解析式为，当时，，解得或，当时，，因为方程有且只有两个解，所以函数与直线有且只有两个交点，结合函数图象可知，的取值范围为或，故答案为：或．
【点睛】
本题考查了函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．
40．（2022·广西·南宁二中三模）小明同学学习二次函数后，对函数进行了研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图像，请根据函数图像回答下列问题：
(1)观察研究：
①方程的解为_________；
②关于x的方程有四个实数根时，a的取值范围是_________；
(2)综合应用：
当函数的图像与直线有三个交点时，求出b的值；
(3)延伸思考：
将函数的图像经过怎样的平移可得到函数的图像？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）①由函数图象及方程可得当y=-3时，自变量x的值，则可看作直线y=-3与函数的图象交点问题，进而问题可求解；②由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
(1)
解：①由题意及图象可看作直线y=-3与函数的图象交点问题，如图所示：
∴方程的解为；
故答案为；
②由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得关于x的方程有四个实数根时，a的取值范围是
故答案为；
(2)
如图，当时，与相切时，有3个交点，
即，
，
令，
即，
解得，
当过时，则时，有3个交点，
当函数的图像与直线有三个交点时
(3)
由题意得：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：
∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的平移，根据函数图象判断根的情况，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
41．（2022·全国·九年级专题练习）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． ……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC（或AD或CD）
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
(1)
解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC（或AD或CD）；
(2)
解：a>0时，抛物线开口向上．
当△=b2 4ac<0时，有4ac b2>0﹒
∵a>0，
∴顶点纵坐标﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
(3)
解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【点睛】
本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题19 根据二次函数的图象确定相应方程的根
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·湖北恩施·九年级期末）二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根
2．（2022·河北唐山·二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc＞0；乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a+c＞0；丁：当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．乙、丙、丁
3．（2022·天津·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，ax2＋bx＋c≥4；③若点（-2，m）,（3，n）在抛物线上，则mA．①② B．①④ C．②③ D．②④
4．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
5．（2022·山东枣庄·九年级期末）根据以下表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2＋bx＋c －1 －0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
6．（2022·山东济南·九年级期末）抛物线的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
7．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
8．（2022·天津·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．（2022·四川泸州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的实数根 D．没有实数根
10．（2022·黑龙江鹤岗·九年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
下列结论正确的是（ ）
①ab＞0；②a+b+c＜0；③若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数的图像经过与两点，关于的方程（）有两个整数根，其中一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·天津南开·模拟预测）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6
15．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数的部分图象如图，图象过点（-2，0）对称轴为直线x=1，下列结论：①<0；②=0；③>0；④当y>0时，的取值范围是；⑤> 3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
16．（2022·四川省渠县中学一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数且a≠0）的图象经过点（1，0）、（－2，y1）、（－1，y2），且y1＜0＜y2．以下结论：①abc＞0；②a＋3b＋2c＞0；③在－2＜x＜－1中存在一个实数x0，使得x0＝－；④对于自变量x的任意－个取值，都有．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
18．（2022·湖南省汉寿县教育研究室一模）如图，二次函数的图象与轴相交于两点，．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（2022·全国·九年级课时练习）下表中列出的是二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数y的几组对应值．
x … 0 1 3 …
y … 6 …
有下列结论：①；②当时，y的取值范围是；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
20．（2022·四川·成都市棕北中学二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．ac＞0 B．b+2a＝0 C．9a﹣3b+c＜0 D．b2﹣4ac＜0
21．（2022·江苏宿迁·九年级期末）抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
25．（2022·全国·九年级）若a、b（）是关于x的一元二次方程的两个根，m、n（）是关于x的方程的两根，则a、b、m、n的大小关系是( )
A． B．
C． D．
26．（2022·辽宁辽阳·一模）如图，二次函数（a≠0）图像的一部分与x轴相交于点(1，0)，对称轴为直线x＝-1，则有下列结论：①abc>0；②；③若关于x的一元二次方程（a≠0）的一根是3，则另一根是-5；④（m为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2022·全国·九年级专题练习）一元二次方程根的情况是（ ）
A．有一个正根，一个负根 B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12 D．有两个正根，且有一根大于12
28．（2022·天津河西·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①；
②抛物线经过点；
③方程有两个不相等的实数根；
④．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
29．（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
30．（2022·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线是常数且，下列四个结论：
①若抛物线经过点，则抛物线对称轴为；
②若，则方程一定有两个不等的实数根；
③若，则抛物线与轴一定有两个不同的公共点；
④点，在抛物线上，若，则当时，
其中正确的是______（填写序号）
31．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为_________．
32．（2022·湖北武汉·二模）物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为x＝m，且a+b+c＝0．下列四个结论：①c＜0；②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；③不等式am2﹣a3≥ab﹣bm一定成立；④若P（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，且当x1＜x2＜2时，y1＜y2，则c≤3a．其中正确的是 _____（填写序号）．
三、解答题
33．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（ 2， 2），当时，二次函数的最值是 2，求k的取值范围；
(4)当a= 1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
34．（2022·全国·九年级专题练习）在y关于x的函数中，对于实数a，b（b＞a），当a≤x≤b时，函数y有最大值ymax，满足ymax＝2（b﹣a），则称函数为“倍增函数”．
(1)当a＝1，b＝3时，判断下列函数是否为“倍增函数”？如果是，请在对应_____内画“√”，如果不是，请在对应_____内画“×”；
①y＝2x ；
②y＝﹣2x+2 ；
③ ．
(2)当b＝2a+1时，反比例函数为“倍增函数”，求实数a的值；
(3)已知二次函数y＝x2﹣bx+a2+2a﹣1是“倍增函数”，且y有最大值4，求实数a的值．
35．（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）已知：二次函数：，一次函数：．
(1)求二次函数顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)当时，点为：上一个动点，将点向右平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围；
(3)若与交于，两点，且，两点在对称轴两侧，请直接写出的取值范围．
36．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴交于，，根据图象回答下列问题：
(1)写出方程的根；
(2)若方程有实数根，写出实数的取值范围．
37．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）求y的取值范围．
38．（2022·全国·九年级专题练习）（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象．
（2）观察图象，回答下列问题：
①直接写出方程x2﹣2x﹣3＝0的根是 ．
②当x 时y时随的增大而增大．
③当y＞0时x的取值范围是 ．
39．（2022·河南信阳·九年级期末）某班数学兴趣小组最近热衷于探索函数的图象和性质，对于函数，已知当自变量的时候，函数值为；当自变量x的值取1的时候，函数值为3．
他们的探索过程如下，请补充完整：
(1) ； ；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质： ．
(3)若方程有且只有两个解，则p的取值范围为： ．
40．（2022·广西·南宁二中三模）小明同学学习二次函数后，对函数进行了研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图像，请根据函数图像回答下列问题：
(1)观察研究：
①方程的解为_________；
②关于x的方程有四个实数根时，a的取值范围是_________；
(2)综合应用：
当函数的图像与直线有三个交点时，求出b的值；
(3)延伸思考：
将函数的图像经过怎样的平移可得到函数的图像？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围．
41．（2022·全国·九年级专题练习）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． ……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
试卷第1页，共3页
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