(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题20 实际问题与二次函数：图形问题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【详解】
解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）．
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
设AC=x，BC=12-x，根据题意表示出四边形的面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：设AC=x，BC=12-x，
则四边形ABCD的面积的面积为：
．
所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象，根据题意用含x的代数式表示出四边形ABCD的面积是解此题的基础，掌握二次函数的图象是解此题的关键．
3．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是延长线上的一点，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，设BE的长为x，AE的长为y，矩形AEGF的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，分别表示出y与x，S与x之间的关系式，即可判断．
【详解】
正方形ABCD的边长是4
设BE的长为x，AE的长为y，
BE＝DF=x
，
即 ，故y与x是一次函数关系；
矩形AEGF的面积为 ，故S与x是二次函数关系；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用及二次函数的应用，理清题目中的数量关系，并能够列出解析式是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级单元测试）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
5．（2022·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1），
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
6．（2022·山东济宁·二模）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二次函数的图象及性质求最值即可．
【详解】
解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2
由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15
解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5
∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；
故选C．
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
7．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE ED DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论错误的是（ ）
A．AB=4 cm B．当时，△BPQ的面积是定值
C．当时， D．当秒时，
【答案】C
【解析】
【分析】
先由图2中的函数图象得到当t＝5时，点Q到达点C，即BC＝5cm，然后由5＜t＜7时，y＝10可知△BPQ的面积是定值10cm2、BE＋ED＝7cm、当t＝7时点P到达点D，从而求得线段AB的长，然后设DE＝x（cm），则EB＝7 x（cm），AE＝5 x（cm），再由勾股定理列出方程求得x的值，得到BE、ED的长，当0＜t≤5时，过点P作PH⊥BC于点H，然后证明△PBH∽△BEA，利用相似三角形的性质表示出△PBQ的底边BQ上的高PH的长，进而得到y与t的关系式，最后求得当t＝秒时PQ的长，进而计算BQ与PQ的比值．
【详解】
解：由函数图象得，当t＝5时，点Q到达点C，5＜t＜7时，y＝10cm2，当t＝7时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意；
∴BC＝5cm，5＜t＜7时，S△PBQ＝BQ AB＝×5×AB＝10，BE＋ED＝7cm，
∴AB＝4cm，故选项A正确，不符合题意；
设DE＝x（cm），则EB＝7 x（cm），AE＝5 x（cm），
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋（5 x）2＝（7 x）2，
解得：x＝2，
∴BE＝5cm，ED＝2cm，AE＝3cm，
∴当0＜t≤5时，点P在线段BE上，则BP＝BQ＝t（cm），
如图①，过点P作PH⊥BC于点H，则∠PHB＝90°，
∴∠PBH＋∠BPH＝90°，
∵∠PBH＋∠ABE＝90°，
∴∠BPH＝∠ABE，
∵∠PHB＝∠BAE＝90°，
∴△PBH∽△BEA，
∴，即，
∴PH＝（cm），
∴y＝BQ PH＝×t×＝，故选项C错误，符合题意；
∵BE＋ED＝7cm，
∴当t＝秒时，点P在线段CD上，如图②，
此时，BQ＝BC＝5cm，PQ＝BE＋ED＋CD ＝7＋4 ＝，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的图象、列二次函数关系式、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，解题的关键是结合几何图形和函数图象得到有用信息．
8．（2022·全国·九年级专题练习）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】
解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积
当时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；
方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积平方米>8平方米，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
9．（2022·江西赣州·一模）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系（ ）．
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．其它函数
【答案】B
【解析】
【分析】
先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x，AF=DE=（6-x），再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=6．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
∠AEF=∠DHE=90° ∠DEH，
在△AEF与△DHE中，
∵，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x，AF=DE=（6-x），
∴S=EF2=AE2+AF2=x2+（6-x）2=2x2-12x+36，
即S与x之间是二次函数关系；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，难度适中，证明△AEF≌△DHE是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．
【详解】
∵，
∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B点的横坐标为：2+1=3，
代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标，
∴当x=3时，，
∴B点纵坐标为14，
∵D点的纵坐标为6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
则杯子的高度为12，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
11．（2022·河南南阳·一模）如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BC，AB上，记PM=x，PN=y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出AM=PM，利用矩形的性质得出y=﹣x+m，最后利用S=S△ABC－S矩形PMBN得出结论．
【详解】
设AB=m（m为常数）．在△AMP中，∠A=45°，AM⊥PM，
∴△AMP为等腰直角三角形，
∴AM=PM，
又∵在矩形PMBN中，PN=BM，
∴x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m，即y=﹣x+m，
∴y与x成一次函数关系，
∴S=S△ABC－S矩形PMBN=m2-xy=m2-x（﹣x+m）=x 2-mx+，
∴S与x成二次函数关系．
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y与x之间的函数关系式．
12．（2022·河北邢台·九年级期末）如图，抛物线与Rt△AOB的直角边AB相交于点，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由P点坐标求得二次函数解析式，再由旋转的性质求得点C的横坐标，便可解答；
【详解】
解：∵点在抛物线上，∴，a=1，
∴抛物线解析式为，
∵AB⊥y轴， P点纵坐标为2，∴OB=2，
由旋转的性质可得BO=DO=2，∠ABO=∠CDO=90°，
∵OB绕点O逆时针旋转90°后与x轴重合，
∴CD⊥x轴，∴C点横坐标为-2，代入抛物线得：C点纵坐标为4，
∴C（-2，4），
故选： B．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式，旋转的性质，掌握点绕原点旋转90°的特征是解题关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．（2022·全国·九年级课时练习）为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方形，改建的绿地是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且，当的长为________________m时，绿地的面积最大.
【答案】5
【解析】
【分析】
设的长为x，得到，，根据面积公式列出二次函数即可求解.
【详解】
设的长为x，则，，
∴，
∵矩形绿地的面积为：，
即矩形绿地的面积为，
∴当时，矩形绿地的面积最大.
故答案为：5.
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数进行求解.
14．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．
【详解】
解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：．
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长．
15．（2022·内蒙古通辽·一模）如图，用10 m长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形场地，墙的最大长度为4 m，则场地的最大面积为_____m2．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据题意设矩形的长为，场地面积为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求得最大值即可．
【详解】
解：设矩形的长为，场地面积为，根据题意得，
，开口向下，在时，随的增大而增大，
时，取得最大值，最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的的应用，实际问题中，注意自变量的取值范围是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，当平行于墙面的边长为______m时，菜园的面积最大．
【答案】15
【解析】
【分析】
设平行于墙面的边长为xm，则垂直于墙的边长为，则，由此求解即可．
【详解】
解：设平行于墙面的边长为xm，则垂直于墙的边长为，
∴，
∴当时，S有最大值，
∴当平行于墙面的边长为15m时，菜园的面积最大．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出面积与平行于墙的边长之间的关系．
17．（2022·上海市娄山中学九年级期中）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，列出y关于x的函数解析式即可；
【详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴BE⊥DE，
∴BE=DE，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
【解析】
【分析】
设围栏的宽为x米，则长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】
解：设围栏的宽为x米，则长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
三、解答题
19．（2022·浙江宁波·八年级期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
【答案】(1)（36-3x）
(2)8
(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米
【解析】
【分析】
（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案．
(1)
∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
(2)
根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
(3)
设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
20．（2022·全国·九年级）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【解析】
【分析】
（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此时BE的长为2米．
【点睛】
本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
21．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．
(1)BC的长为 米（用含x的式子表示）；
(2)求这个花园的面积最大值．
【答案】(1)（40-2x）
(2)200平方米
【解析】
【分析】
（1）由AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米可得答案；
（2）根据矩形的面积公式得出y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，再利用二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米，
所以BC的长为（40-2x）米，
故答案为：（40-2x）；
(2)
解：设这个花园的面积为y 平方米，由题意得：
y=x（40-2x）
=-2x2+40x
=-2（x-10）2+200，
∵-2＜0，
∴当x=10时，y取得最大值，最大值为200，
答：这个花园的面积最大值为200平方米．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
22．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)150
【解析】
【分析】
（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．
（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都符合题意，答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：，∵，且，∴当时，S有最大值，即为；故答案为：150．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
23．（2022·全国·九年级）已知抛物线C2：的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出点P的坐标，再令y＝0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可．
【详解】
解：由题意可知，点P的坐标为（﹣2，﹣5），
令y＝0，则（x+2）2﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣5，
∴点B的坐标为（1，0），
∵点P、M关于点B对称，
∴点M的坐标为（4，5），
∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3，
∴抛物线C3的k值为，
∴抛物线C3的解析式为y（x﹣4）2+5．
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称和平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质和中心对称的概念是解决本题的关键．
24．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．
(1)当k＝10时，求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；
(3)若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7），求b的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据B、D两点的坐标可得a和b的值；
（2）把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，可得x＝4.5，再把x＝4.5代入y（x﹣7）2中可得y的值，进而可得答案；
（3）根据抛物线BEF最远经过点C，最近经过点D可得b的范围
(1)
解：根据题意得：点B（0，6），
当k＝10时，抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+10，
把B（0，6）代入解析式为6＝4b+10，
解得b＝﹣1，
把D（1，6）代入抛物线DC的表达式y＝a（x﹣7）2，
6＝36a，解得a，
∴a，b＝﹣1；
(2)
解：把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，
解得x＝4.5或﹣0.5（舍去），
把x＝4.5代入y（x﹣7）2中，
y，
∴他距DC的竖直距离为3.75（m）；
(3)
解：在y＝a（x﹣7）2中，当x＝7时，y＝0，
∴C（7，0）．
把B、C的坐标代入y＝b（x﹣2）2+k可得：
，
解得b，
把B、D的坐标代入y＝b（x﹣2）2+k可得：
，
解得b＝0，
∴b的取值范围是b＜0．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的解析式是解题关键．
25．（2022·山东青岛·九年级期末）2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB=xm．（AB≤AD）
(1)若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
(2)已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意建立一元二次方程，解方程求解即可；
（2）AB=xm,根据题意求得矩形面积与的函数关系式，根据二次函数的性质求得最大值即可．
(1)
解：设AB=xm，则，依题意，
解得
AB≤AD
即
解得
(2)
设矩形的面积为，设AB=xm，依题意，
解得
当时，
即能围成的矩形的最大面积是
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
26．（2022·全国·九年级专题练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
【答案】(1)y＝﹣2x2＋18x
(2)m2
【解析】
【分析】
（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据矩形的面积公式求解即可；
（2）根据顶点坐标公式计算即可求解
(1)
设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，
根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；
(2)
二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），
∵a＝﹣2＜0，
∴二次函数图象开口向下，
且当x＝﹣＝时，y取得最大值，
最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；
【点睛】
本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出是解题的关键．
27．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
【答案】
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式．
【详解】
解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC=a，则AC=4a，
∵∠BAD=90°，∠AED=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠ACB=∠DEA=90°，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE=BC=a，DE=AC=4a，
∴EC=AC-AE=4a-a=3a，
在Rt△DEC中，，
∴x=5a，即a= ，
又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴ ，
即y与x之间的函数关系式是 ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的实际应用等，求出BC与x的数量关系是解题的关键．
28．（2022·福建南平·九年级期末）如图，空地上有一段旧墙的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为100米．
(1)矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙的长；
(2)请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】(1)利用旧墙的长为10米
(2)当时，
【解析】
【分析】
（1）设AD=x米，则，根据矩形菜园面积为450平方米列方程，解之求出x的值，由MN=20，且x≤MN可确定最终符合题意的x的值，从而得出答案；
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米，依题意得出S与x的关系式，利用二次函数的性质求解可得答案．
（1）设米，则米依题意得， 解得∵，且∴舍去∴利用旧墙的长为10米．
（2）设米，矩形的面积为S平方米依题意得： ∴当时，S随x的增大而增大 当时，即墙AD的长为20米时，矩形菜园的面积最大，最大面积为800平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
29．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）．
(1)求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；
(2)当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．
【答案】(1)（0＜x＜8）
(2)当x=4时，阴影部分面积最大值为32cm2．
【解析】
【分析】
（1）由AE=BF=CG=DH=x（cm）得出BE=CF=DG=AH=（8-x）（cm），然后根据三角形面积求解．
（2）将二次函数的解析式化为顶点式再求解．
(1)
解：由正方形的性质可得：cm，
∵AE=BF=CG=DH=x cm，
∴BE=CF=DG=AH=（8-x）cm，
∴（0＜x＜8），
(2)
，
∵a=-2＜0，
∴当x=4时，y有最大值为32，
故当x=4时，阴影部分面积最大值为32cm2．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握正方形的性质，掌握二次函数求函数最值的方法．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题20 实际问题与二次函数：图形问题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）．
A．12 B．18 C．20 D．24
3．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是延长线上的一点，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，设BE的长为x，AE的长为y，矩形AEGF的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
4．（2022·全国·九年级单元测试）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·山东济宁·二模）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE ED DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论错误的是（ ）
A．AB=4 cm B．当时，△BPQ的面积是定值
C．当时， D．当秒时，
8．（2022·全国·九年级专题练习）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
9．（2022·江西赣州·一模）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系（ ）．
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．其它函数
10．（2022·全国·九年级课时练习）小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
11．（2022·河南南阳·一模）如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BC，AB上，记PM=x，PN=y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
12．（2022·河北邢台·九年级期末）如图，抛物线与Rt△AOB的直角边AB相交于点，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．（2022·全国·九年级课时练习）为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方形，改建的绿地是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且，当的长为________________m时，绿地的面积最大.
14．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
15．（2022·内蒙古通辽·一模）如图，用10 m长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形场地，墙的最大长度为4 m，则场地的最大面积为_____m2．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，当平行于墙面的边长为______m时，菜园的面积最大．
17．（2022·上海市娄山中学九年级期中）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域）
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
三、解答题
19．（2022·浙江宁波·八年级期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
20．（2022·全国·九年级）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
21．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．
(1)BC的长为 米（用含x的式子表示）；
(2)求这个花园的面积最大值．
22．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
23．（2022·全国·九年级）已知抛物线C2：的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．
24．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．
(1)当k＝10时，求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；
(3)若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7），求b的取值范围．
25．（2022·山东青岛·九年级期末）2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB=xm．（AB≤AD）
(1)若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
(2)已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？
26．（2022·全国·九年级专题练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
27．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
28．（2022·福建南平·九年级期末）如图，空地上有一段旧墙的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为100米．
(1)矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙的长；
(2)请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园的面积最大，并求面积的最大值．
29．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）．
(1)求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；
(2)当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
