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绝密★启用前
专题25 中心对称的性质
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东东营·模拟预测）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．点与点是对称点 B．
C． D．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，与关于成中心对称，不一定成立的结论是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
7．（2022·广东·模拟预测）两张全等的矩形（非正方形）纸片按如图呈中心对称方式放置在一个大正方形内，记重叠部分为①，不重叠部分为②和③；若已知正方形面积，且图形①和图形③相似，则下列可求的是（ ）
A．矩形的面积 B．矩形的周长 C．图形①的面积 D．图形②的面积
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2
10．（2022·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·九年级课时练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
12．（2022·浙江·金华市第九中学九年级阶段练习）如图，六边形是中心对称图形．点，在面积为8的正方形的对角线上．若，点，关于对称，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．（2022·云南昭通·九年级期末）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距_____公里．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．
17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3， ，则图中阴影部分的面积是__________________．
18．（2022·山西临汾·九年级期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_____．
19．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O．若点P，Q分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，则的长为______．
20．（2022·陕西铜川·一模）如图，菱形的边，垂足为点E，点H是菱形的对称中心，若，则菱形的边长为___________．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为_________．
22．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝______时，四边形ABCD为正方形
三、解答题
23．（2022·甘肃定西·九年级期末）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（4，4），作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并分别写出A1、B1、C1的坐标．
24．（2022·广西桂林·一模）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
(1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
(2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
25．（2022·全国·九年级专题练习）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到的△AB1C1；若连接CC1，则△ACC1是怎样的三角形？
(2)画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△AB1C1关于点O成中心对称；
(3)指出如何平移△AB1C1，使得△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，画出；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2．
28．（2022·宁夏石嘴山·九年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．
(1)画出关于原点O的中心对称图形．
(2)将绕点A1逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点C2的坐标．
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中画出关于原点的中心对称图形；
(2)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
30．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．
(1)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′；
(2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′′B′′C′′；
(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为 ．
试卷第1页，共3页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题25 中心对称的性质
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质判断即可．
【详解】
解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴，，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即，
∴C正确，
故选A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的性质：对应点的连线被对称中心平分，成中心对称图形的两个图形是全等形，解题的关键是熟练掌握其性质．
2．（2022·山东东营·模拟预测）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．点与点是对称点 B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可判断．
【详解】
解：点与点是对称点，A正确；
对应点的连线被对称中心平分，B正确；
成中心对称图形的两个图形对应边互相平行或在同一直线上，D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【详解】
解：如图对称中心是PQ的中点，
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，与关于成中心对称，不一定成立的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可判断．
【详解】
解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确；
和不是对应角，D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】
解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系定理，可知即可求解．
【详解】
解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
7．（2022·广东·模拟预测）两张全等的矩形（非正方形）纸片按如图呈中心对称方式放置在一个大正方形内，记重叠部分为①，不重叠部分为②和③；若已知正方形面积，且图形①和图形③相似，则下列可求的是（ ）
A．矩形的面积 B．矩形的周长 C．图形①的面积 D．图形②的面积
【答案】B
【解析】
【分析】
设正方形的边长为c，矩形的长、宽分别为a、b，得到，进而求解．
【详解】
解：设正方形的边长为c，矩形的长、宽分别为a、b，
则，
化简后得到，
，
，
，
即矩形的周长为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称，矩形的性质，正方形的性质，相似多边形的性质．理解相关知识是解答关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题．
【详解】
解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点，
四边形ABCD是矩形，
同理可得
故选：D．
【点睛】
本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中，可得，推出四边形EFGH是矩形即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点，
∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC
∴AM=EG=FH
∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中
∴,
∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O,
∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°，
∴∠EOH=60°∠GEF =30°
∴,
∴四边形EFGH的周长为
故选：C
【点睛】
本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
10．（2022·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为，AC是正方形的对角线，
∴BD=，
∵直线EF经过正方形的中心O，
∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，
∴OM=BM=1，
∵EF⊥BG，
∴，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，
∴MH=BH=，AH=，
由勾股定理可得MA=，
∵AG≥AM-MG=，
当A，M，G三点共线时，AG最小=，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
11．（2022·全国·九年级课时练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】
解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键．
12．（2022·浙江·金华市第九中学九年级阶段练习）如图，六边形是中心对称图形．点，在面积为8的正方形的对角线上．若，点，关于对称，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连AC交BD于O，过M作MK⊥BC于K，连结ME交BA于L，FN交CD于R，由正方形面积为8，可求AD=2，BD=,M、E关于AB对称，可得EB=MB=1，可证△BEA≌△BMC（SAS），由三角函数BK=MK=，KC =，由勾股定理MC=，可证四边形AGCH为矩形，再证△MOC∽△ACG，可求，即可．
【详解】
解：连AC交BD于O，过M作MK⊥BC于K，连结ME交BA于L，FN交CD于R，
∵正方形面积为8，
∴AD2=8，AD=2，
∵BD为正方形对角线，
∴BD=,
∵M、E关于AB对称，
∴EL=LM，EB=MB=1，∠EBA=∠MBA=45°=∠MBC，
在△BEA和△BMC中，
，
∴△BEA≌△BMC（SAS），
∴AE=MC，∠EAB=∠MCB，
∵BM=1，
∴BK=MK=1×cos45°=，
∴KC=BC-BK=2-=，
∴MC=，
∵六边形是中心对称图形．
∴△AND≌△CMB，△AEB≌△CFD，
∴△AND≌△CMB≌△AEB≌△CFD，
设CG交AB于W，
∵∠GAW=∠BCW，∠AWG=∠CWB，
∴∠AGW=∠CBW=90°，
∴同理可证AH⊥CF，∠AHC=90°，
∵∠BCM=∠DCF，
∴∠GCH=∠DCH+∠GCD=∠BCG+∠GCD=∠BCD=90°，
∴∠AGC=∠GCH=∠AHC=90°，
∴四边形AGCH为矩形，
∵AC⊥BD，
∴∠MOC=∠AGC=90°，
∵∠MCO=∠ACG，
∴△MOC∽△AGC，
∴即，
∴，，
∴S矩形AGCH=AG·GC=，
故选择B．
【点睛】
本题考查正方形性质，中心对称图形性质，轴对称性质，三角形全等判定与性质，锐角三角函数应用，勾股定理应用，三角形相似判定与性质，矩形判定与性质，掌握正方形性质，中心对称图形性质，轴对称性质，三角形全等判定与性质，锐角三角函数应用，勾股定理应用，三角形相似判定与性质，矩形判定与性质．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．（2022·云南昭通·九年级期末）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距_____公里．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案．
【详解】
解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，
∴小明、小辉两家到学校距离相等，
∵小明家距学校3公里，
∴他们两家相距：6公里．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据已知得出小明、小辉两家到学校距离相等是解决问题的关键．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________
【答案】180°##180度
【解析】
【分析】
如果一个图形绕一点O旋转180°后能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于点O中心对称，点O叫做对称中心．根据两个图形成中心对称的定义即可得到结果．
【详解】
根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°
故答案为：180°
【点睛】
本题考查了两个图形成中心对称的含义，掌握此含义是关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝1，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．
【答案】12.
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】
解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=4，OD=3，
∴AB=3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=4×3=12．
故答案为12．
【点睛】
本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3， ，则图中阴影部分的面积是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先求得平行四边形的面积，根据平行四边形是中心对称图形，阴影部分面积为平行四边形面积的一半即可求得阴影部分面积．
【详解】
如图，过点作于点，
依题意，
，
，
，
，
根据平行四边形是中心对称图形，
图中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理，理解中心对称图形的性质是解题的关键．
18．（2022·山西临汾·九年级期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的性质可得，再利用勾股定理即可得.
【详解】
与关于点C成中心对称
故答案为：.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键.
19．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O．若点P，Q分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形是中心对称图形，由点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O．则，根据题意作出图形，设，，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】
矩形是中心对称图形，点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O，
，
如图，连接，则四边形是平行四边形，
若点P，Q分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，
过矩形的对称中心O，
，
又四边形是平行四边形，
则，
，
设，，，
，
即，
解得．
∴BP=1.2．
故答案为：1.2．
【点睛】
本题考查了矩形，平行四边形的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．
20．（2022·陕西铜川·一模）如图，菱形的边，垂足为点E，点H是菱形的对称中心，若，则菱形的边长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC，BD交于点H．证明△AEH∽△HED，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，连接AC，BD交于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AH=HC，AC⊥BD，
∴∠EAH=∠FCH，
∵∠AHE=∠CHF，
∴△AEH≌△CFH（ASA），
∴AE=CF=，HE=HF，
∵HE⊥AD，
∴∠AEH=∠DEH=90°，
∵∠AHE+∠HAE=90°，∠HAE+∠HDE=90°，
∴∠AHE=∠HDE，
∴△AEH∽△HED，
∴，
∵EF=DE，EH=HF，
∴，
∴EH=，
∴DE=1，
∴AD=AE+DE．
故答案为：．
【点睛】
本题考查中心对称，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到,把已知和的面积分别为3和13代入计算即可得到答案．
【详解】
解:由平行四边形和三角形的面积公式易得，
由平行四边形的性质可得，
∴，
∴，
∴,
故答案为10．
【点睛】
本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题关键．
22．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝______时，四边形ABCD为正方形
【答案】或
【解析】
【分析】
根据坐标求得的长，根据题意可知当PA＝PB＝时，四边形ABCD是正方形，由此构建方程即可解决问题；
【详解】
解：∵A(－4，0)、B(0，3)
∴
∴AB＝5，
四边形ABCD为正方形, 线段CD与AB关于点P中心对称，
是四边形ABCD对角线的交点，
，
PA＝PB＝时，四边形ABCD是正方形，
∴
解得a＝或
∴当a＝或时，四边形ABCD为正方形．
故答案为：或
【点睛】
本题考查了中心对称的性质，正方形的性质，解一元二次方程，理解是正方形对角线的交点是解题的关键．
三、解答题
23．（2022·甘肃定西·九年级期末）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（4，4），作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并分别写出A1、B1、C1的坐标．
【答案】图见解析，A1（-4，-4），B1（-1，-1），C1（-3，-1）．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，进而写出A1、B1、C1的坐标．
【详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求；
A1（-4，-4），B1（-1，-1），C1（-3，-1）．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换，解此题的关键是能正确作出旋转后的图形．
24．（2022·广西桂林·一模）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
(1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
(2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可；
（2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可；
(1)
解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；
(2)
解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示；
【点睛】
本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型．
25．（2022·全国·九年级专题练习）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到的△AB1C1；若连接CC1，则△ACC1是怎样的三角形？
(2)画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△AB1C1关于点O成中心对称；
(3)指出如何平移△AB1C1，使得△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
【答案】(1)图见解析，等腰直角三角形
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得AC=AC1，∠CAC1=90°，即可求解；
（2）根据题意，画出图形，即可求解；
（3）根据题意得：点C2与点A重合时，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形，再由点A先向右平移5个单位，再向下平移6个单位与点C2重合，即可求解．
（1）解：根据题意得：AC=AC1，∠CAC1=90°，∴△ACC1是等腰直角三角形．
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）解：根据题意得：点C2与点A重合时，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形，∵点A先向右平移5个单位，再向下平移6个单位与点C2重合，∴先将△AB1C1向右平移5个单位，然后再向下平移6个单位，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转，图形的平移，画中心对称图形，熟练掌握图形的旋转，图形的平移的性质是解题的关键．
26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)；
【解析】
【分析】
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心.
(1)
解：如图，
点，，的坐标分别是，，，
将向左平移6个单位长度后，点，，的对应点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
(2)
如图，
点，，关于点的对称点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
(3)
如图，若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，画出；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据C点的平移方式依次得到A点和B点的对应点的位置，顺次相连即可；
（2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可．
(1)
如图，△A1B1C1即为所求．
(2)
如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平移作图与中心对称图形的作图方法．
28．（2022·宁夏石嘴山·九年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．
(1)画出关于原点O的中心对称图形．
(2)将绕点A1逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点C2的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点C2的坐标为（2，1）．
【解析】
【分析】
（1）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形；
（2）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形及对应点的坐标．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；点C2的坐标为（2，1）．
【点睛】
此题考查中心对称的性质及旋转的性质，熟记各性质是正确解题的关键．
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中画出关于原点的中心对称图形；
(2)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
【答案】(1)答案见解析
(2)、、
【解析】
【分析】
（1）分别画出、、关于原点的对称点、、，连接即可；
（2）分别以、、为平行四边形的对角线即可求出点的坐标．
(1)
解：如图所示，
(2)
解：如图所示，
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
故所求的点的坐标为、、．
【点睛】
本题主要考查中心对称变换的作图和平行四边形，熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
30．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．
(1)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′；
(2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′′B′′C′′；
(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（6，－2）
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
(1)
如图所示，△A′B′C′就是求作的图形；
(2)
如图所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；
(3)
如图所示，点D′坐标为（6，－2）；
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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