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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题21 实际问题与二次函数：图形运动问题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点Q的位置，分点Q在AD上和点Q在弧BD上两种情况讨论，分别写出y和x的函数解析式，即可确定函数图象．
【详解】
解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
∴y= x x=x2，
该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；
当1＜x＜2时，即P在OB之间时，
y随x的增大而增大，只是增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，数形结合是本题解题关键．
2．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
【详解】
解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝ 2x 4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4 4x）＝32 8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
3．（2022·河南·郑州外国语中学一模）如图，中，．，点D是射线AB上的动点（点D不与点A、B重合），点E在线段AC的延长线上，且．连接DE、BE，在AB的下方过点D作DF平行且等于BE．设．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证得四边形DEBF为平行四边形，可得S四边形DEBF=2S△BED，然后分两种情况讨论：当02时，点D在AB的延长线上，即可求解．
【详解】
解：DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴S四边形DEBF=2S△BED，
当0又∵∠BAC=90°，
∴，，
∴，
当x>2时，点D在AB的延长线上，此时，
∴，
∴，
综上所述，y与x的函数关系为：
，
∴在02上函数是一段递增的开口向上的抛物线．
故选：B
【点睛】
本题考查了动点问题函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，求出函数的表达式是解题的关键．
4．（2022·湖北咸宁·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为4，，动点E从A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—B—C—D移动，动点F从点A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—D移动，F点到达终点D点后停下来不动，另一个动点继续向终点D点移动，直至终点D才停下来，设点E移动的时间为x（单位：s），的面积记为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分当E在AB边上、在BC边上和在CD边上时，三种情况讨论，即可得出答案．
【详解】
解：当E在AB边上时，0＜x＜2，AE=AF=2x，
在Rt△AEF中，此时
y=AE×AF×sin60°=，是一段开口向上的抛物线；
当E在BC边上时，2≤x≤4，
此时△AEF的面积不变，为菱形面积的一半，
y=×4×4×sin60°=，是一条线段；
当E在CD边上时，4＜x≤6，DE=12-2x，
此时y=DE×AD×sin60°=，也是一条线段；
综上，只有C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角函数及动态问题中线段长度的求法是解题的关键．
5．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，当点在之间时，即，，
当点在上方时，即，，根据图象的开口方向的类项即可判断．
【详解】
解：当点在之间时，即，
，则，
，
图象是开口向下，对称为：的抛物线，
当点在上方时，即，
，则，
，
图象是开口向上的抛物线，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是求出函数的解析式．
6．（2022·河南师大附中九年级期末）如图，已知点A、B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点P沿C→A→B→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求当点P在C→A路线上运动时；当A→B路线上运动时；当点P在B→O路线上运动时，S关于t的函数的解析式，即可求解．
【详解】
解：当点P在C→A路线上运动时，设点P运动速度为 ，
∴ ，
∵a、OA为常数，
∴S是关于t的一次函数，图象为自左向右上升的线段；
当A→B路线上运动时，
，保持不变，
∴本段图象为平行于x轴的线段；
当点P在B→O路线上运动时，
随着t的增大，点P从点B运动至点O，OM的长在减小，△OPM的高PM也随之减小到0，
即的图象为开口向下的抛物线的一部分．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，明确题意，得到每一段的函数解析式是解题的关键．
7．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】
当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=；
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
8．（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；
方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．
【详解】
方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC+∠EPH＝90°，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠EPH＝∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
，
∴△EPH≌△PDC（AAS），
∵BP＝x，AB＝BC＝2，
∴PC＝EH＝2﹣x，
∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，
∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
由题意知：，
∴，
由折叠的性质可得：，
当点P与AB中点重合时，则有，
当点P在AB中点的左侧时，即，
∴与重叠部分的面积为；
当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：
由折叠性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．
10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段作匀速运动，同时点E从点B出发，沿射线以每秒个单位的速度作匀速运动，当点D与点B重合时两点停止运动，连接．设点D运动的时间为x秒，的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，根据题意得：，则，先根据△BDQ是等腰直角三角形，可得，再证明△BEP∽△QDP，可得，从而得到，再根据，即可求解．
【详解】
解：如图，设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，
根据题意得：，则，
∵，
∴∠ABC=45°，，
∴△BDQ是等腰直角三角形，
∴，
∵BF⊥BC，
∴BF∥DQ，
∴△BEP∽△QDP，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴该函数图象为位于y轴以及右侧的抛物线的一段．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数图象的动点问题，二次函数的图象，根据题意得到函数解析式是解题的关键．
11．（2022·浙江·诸暨市大唐镇初级中学九年级开学考试）如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边△ABC的边长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象可得，当x=2时，y=1，利用含30度角的直角三角形的性质得出∠BPD=30°，再由等边三角形的性质即可得出结果．
【详解】
解：根据函数图象可得，
当x=2时，y=1，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°，
∵，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∴BC=2PB=4，
∴等边三角形的边长为4，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查等边三角形的性质及与二次函数图象的结合，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．（2022·河南南阳·三模）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【详解】
解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°，
∴BP＝5 x，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP QE＝×(5 x)×=（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°，
∴BP＝x 5，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP QE＝×（x 5）×=（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确的求出函数解析式是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，
当时，有最大值为，
解得，即，
根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，
抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．
14．（2022·辽宁辽宁·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴ACEF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．
15．（2022·辽宁本溪·三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线CB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移运动时间为x，当点C1与点B重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论：当时利用平移的性质，构造相似三角形即可求出y值，可解决C、D；当时，利用三角形相似面积比是相似比的平方，可表示出y的函数解析式，利用函数图像的性质，即可解决A、B．
【详解】
解：如图：
在中，，，
∴，，
∵BD是AC边上的中线，
∴，
∵△BCD沿射线CB方向平移得到△B1C1D1，速度为每秒个单位长度，
∴，，
当时，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是边上的中线，
∴，
即，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，函数图像是开口向上抛物线．
可判断A正确，B错误．
A、图像是开口向上的抛物线的一部分，故选项正确，符合题意；
B、当时，图像是一条线段故选项错误，不符合题意；
C、当时，，故选项错误，不符合题意；
D、当时，，故选项错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形相似比、三角形面积比是相似比的平方、平移的性质等知识，灵活运用相似三角形的性质和准确的分析图像是解决本题的关键．
16．（2022·湖北湖北·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先证明，可推导CF＝AD＝4，然后可得，由勾股定理计算；当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中借助三角函数可得，然后可计算△AMN的面积，由函数解析式可知当点M在AB上时，函数图像是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，在Rt△FMN和Rt△FBA中借助三角函数可得，然后可计算△AMN的面积，由函数解析式可知当点M在BF上时，函数图像是开口向下的抛物线的一部分；根据上述两部分函数图像的特点，确定最终函数图像即可．
【详解】
解：如图，
∵E是CD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
在△ADE与△FCE中，
，
∴，
∴CF＝AD＝4，
∴，
∴，
当点M在AB上时，
在Rt△AMN和Rt△AFB中，
，
∴，
∴△AMN的面积，
∴当点M在AB上时，函数图像是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；
当点M在BF上时，如图，
，，
在Rt△FMN和Rt△FBA中，
，
∴，
∴△AMN的面积，
∴当点M在BF上时，函数图像是开口向下的抛物线的一部分；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用、二次函数的实际应用等知识，正确分两种情况讨论，并熟练掌握二次函数的图像特征是解题关键．
17．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出与的长，以及、运动到终点所用的时间，将整个运动过程分为两段，分别计算与时的表达式，进而分析其函数图象．
【详解】
解：是的中点，
，
在中，，
同理，．
．
①当时，点在上，点在上，，（如图①所示），
由三角形高相同可得：
，
函数的图象是一条开口向上的抛物线，故排除AC；
②当时，点与点重合，点在上，（如图2所示），
，
函数的图象是一条直线，排除B．
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据动点和的位置不同确定三角形面积的表达式不同，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，以及函数关系式的建立．
18．（2022·辽宁锦州·一模）如图，在中，，，，，点B，C，D，E在同一直线上（点C和点D重合），从点C出发沿射线方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动．设运动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件列出特殊部分的表达式即可对应找出图像．
【详解】
解：当点D由C运动到B时，此时，DC=x，则DC边上的高为，面积表达式为：，图像开口向上，
当点D运动过点B，点E不到点C时，此时，设DF与AB交于点M，EF与AC交于点N则，ED=5-x ，则高为，（如图）
此时面积表达式为：，图像开口向下，
当点E运动到点C时，此时 ，根据知点F恰好在边AB上，则面积表达式为：，
当点E运动过点C时，此时，由题意勾股定理求得，根据题意求得，则，则面积表达式为： ，面积逐渐减小，
故选：A．
【点睛】
此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
19．（2022·河南周口·二模）如图，中，，点为边上一个不与、重合的一个动点，过点作与点，作的中线，当点从点出发匀速运动到点时，设的面积为，，与的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C．19 D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可知当，此时，动点D运动到点C，此时，求出，，利用，求出，进一步求出AB，再利用即可求出结果．
【详解】
解：由题意可知：
当，此时，动点D运动到点C，此时，
设，∵，∴，
∵，∴，即：，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查动点问题、勾股定理、正切值、二次函数，解题的关键是结合函数图象找出AB，DE的长．
20．（2022·安徽滁州·二模）如图，在中，，，，点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，直到两点都到达点即停止运动．设点，运动的时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，可分为三种情况分别讨论：①当点P在AB边，点Q没有到点C处；②当点P在AB边，点Q到达点C处；③当点Q在点C，点P在BC边．
【详解】
∵，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，，
∴，△APQ的高，
当点Q到达点C时，即当时，点P在AB边上，
∴分三种情况讨论：
①当点P在AB边，点Q没有到点C处，即时，
；
②当点P在AB边，点Q到达点C处，即时，
∵，
∴△APQ的高，
；
③当点Q在点C，点P在BC边，即时，
∵，，，
∴，，
，
综上根据函数解析式可得图象，
故选D．
【点睛】
本题主要考查动点运动，三角形面积以及函数的图象．分情况进行讨论是解答本题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
21．（2022·江苏泰州·二模）如图①，等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且∠CPD=60°，PD交AC于点D，设AP =x，AD=y，如图②是y关于x的函数图象，则图象顶点的坐标为________．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】
根据题意得：AB=4，根据等边三角形的性质和∠CPD=60°，可得PB=4-x，∠BCP=∠B，可证得△DAP∽PBC，从而得到y关于x的函数为，即可求解．
【详解】
解： 根据题意得：AB=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，BC=AB=4，
∵AP =x，AD=y，
∴PB=4-x，
∵∠CPD=60°，
∴∠CPD=∠B，
∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠B+∠BCP，
∴∠BCP=∠B，
∴△DAP∽PBC，
∴，即，
∴y关于x的函数为，
∴图象顶点的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
22．（2022·全国·九年级课时练习）已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k＋2）x＋k2﹣2的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法求出顶点坐标，推出顶点在直线y＝－4x＋2上运动，由此即可解决问题.
【详解】
解：∵,
∴抛物线的顶点坐标为,
∴抛物线的顶点在直线y＝－4x＋2上,
∴顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积＝×2×＝.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，关键点是配方法求出顶点坐标和求出顶点所在的直线解析式，知识点的应用要熟练.
23．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】
解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A(0，-1)，
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x1=0，x2=2，
∴B(2，-1)，
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S=×2×2=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．
【详解】
解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，动点P从A点出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，同时，动点Q从A点出发，沿AD向点D运动，P，Q两点同时到达点D，设点P的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象如图2，当△APQ与△CBE全等时，DP的长为 __________________cm．
【答案】##
【解析】
【分析】
首先根据图2中的信息推断出点P的速度是点Q的三倍，然后结合△APQ的面积公式求出正方形的边长以及BE、CE的长度等，从而确定出P、Q两点的具体速度，最后根据点P的不同位置进行分类讨论求解即可．
【详解】
解：由图2 可知，从出发到停止，共用时3s，
此过程中，Q点走了AD，P点走了AB+BC+CD，
∵四边形ABCD为正方形，AB+BC+CD=3AD，
∴相同时间内P点走过的路程是Q点走过路程的3倍，
∴点P的速度是点Q的三倍，
当点P到C点时，，
∵点P的速度是点Q的三倍，
∴，
∴，
解得CD＝3（﹣3舍去），
∴正方形的边长为3cm，BE＝1.5cm，
∴cm，
∴点P的速度是3cm/s，点Q的速度是1cm/s，
设t秒时△APQ与△CBE全等，
若点P在AB上，则AP＝3AQ，但BC＝2BE，不满足题意，
若点P在BC上，则∠AQP＝90°，
∴BC＝QP，AQ＝BE，
∴，此时点P为BC的中点，
∴cm，
当P在CD上时，△APQ不可能是直角三角形，
故答案为：．
【点睛】
本题考查动点问题与函数图象，掌握正方形的基本性质，理解函数图象中的基本信息，熟练运用分了讨论的思想是解题关键．
26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，mm， mm，动点从点开始沿边向以1mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，那么经过_______________________秒，四边形的面积最小．
【答案】4
【解析】
【分析】
设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：设移动时间为秒，四边形的面积为，
由题意得：，，
，
，
，
，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
即经过4秒，四边形的面积最小，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键．
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(，)，进而即可得到答案．
【详解】
解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，
∴，
∵，
∴，
设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，
∴C(0，3a2)，
∵P为的中点，
∴P(，)，
∴，即：，
故答案是：．
【点睛】
本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
三、解答题
28．（2022·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】（1）①2；②一次函数；（2）①；②，面积最大为
【解析】
【分析】
（1）①根据运动速度，以及、的长度，即可求解；②求得与的关系式，即可求解；
（2）①求得线段、的长度，即可求得S的表达式；②根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）①运动停止时，分别到达终点点和B点，
故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
（2）①由题意可得：，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，取得最大值，最大值为
【点睛】
此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．
29．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为ts，
（1）BP=_________cm；BQ=_________cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）12-2t，4t；（2）当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出即可；
（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：AP=2tcm，BQ=4tcm，
所以BP=（12-2t）cm，
故答案为：12-2t，4t；
（2）△PBQ的面积S=×BP×BQ
=×（12-2t）×4t
=-4t2+24t=32，
解得：t=2或4，
即当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）由题意得：S=-4t2+24t
=-4（t-3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
【答案】（1）；（2）8，24.5；（3）当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，据此可得出y、x的函数关系式；
（2）可将x的值，代入（1）的函数关系式中，即可求得y的值；
（3）将正方形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得x的值．（其实此时AB与DC重合，也就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长10m，因此x=5）
【详解】
解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，
所以y=×2x×2x=2x2；
（2）在y=2x2中，
当x=2时，y=8；
当x=3.5时，y=24.5；
（3）在y=2x2中，
因为当y=50时，2x2=50，
所以x2=25，
解得x=5s（负值舍去）．
即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质以及函数关系式等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，求出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
31．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
【详解】
解：设运动时间为，
点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，
，，，，
的面积正方形的面积的面积的面积的面积，
即：
【点睛】
此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积．
32．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级阶段练习）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，图象的对称轴为直线.连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求的长度；
（2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）当为何值时，与相似．
【答案】（1）；（2）点的坐标为，即；（3）当或－2时，与相似．
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴求出b，得到抛物线解析式，令，求出 ，，故可求出AB的长；
（2）先求出直线关系式为，设点的坐标为，得到点的坐标为，表示出DE，根据表示为关于m的二次函数，故可求解；
（3）连，分时，，和当时，根据二次函数的性质及等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵对称轴，
∴，
∴
当时，，解得，，
即，，
∴.
（2）经过点和的直线关系式为，
∴点的坐标为.
在抛物线上的点的坐标为，
∴，
∴
，
当时，的最大值是，
∴点的坐标为，即，
（3）连，
情况一：如图，当时，，
当时，，解得，，
∴点的横坐标为－2，即点的横坐标为－2，
∴
情况二：∵点和，
∴，即.
如图，当时，
，，
即为等腰直角三角形，
过点作，即点为等腰的中线，
∴，
，
∴，即，
解得，（舍去）
综述所述，当或－2时，与相似．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角形的面积公式及相似三角形的判定定理．
33．（2022·广东·九年级专题练习）如图，Rt△ABO的直角边OB在x轴上，OB＝2，AB＝1，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点．
（1）求点A，C的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
【答案】（1）A(﹣2，1)，C(1，2)；（2）y＝--x+；（3）(4，﹣12)或(﹣1，3)
【解析】
【分析】
（1）根据线段OB、AB的长度易得点A的坐标，根据旋转的性质求得C点的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）由直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分且OA＝OC，知AQ＝CQ，即点Q为AC的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，联立方程可得点P坐标．
【详解】
解：（1）∵OB＝2，AB＝1，
∴A（﹣2，1），
将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，
∴C（1，2），
（2）∵抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点，
∴，解得
∴二次函数的解析式为y＝﹣﹣x+；
（3）设OP与AC交于点Q，
∵OP将△AOC的周长分成相等的两部分，又OA＝OC，OQ＝OQ，
∴AQ＝CQ，即Q为AC的中点，
∴Q（﹣，）．
设直线OP的解析式为y＝kx，把Q（﹣，）代入y＝kx，得＝﹣k，
∴k＝﹣3．
∴直线OP的解析式为y＝﹣3x．
由，得，，
∴P1（4，﹣12），P2（﹣1，3）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键．
34．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点E在边AD上，点P从点C出发沿CB运动到点B停止，点Q从点A出发，沿折线AE→EC运动，它们同时出发，运动速度都是1cm/s，点P运动到点B时同时停止，设点P运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点E时，S＝24（cm2）．
(1)填空：AE＝ ，CE＝ ；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)4；10
(2)S=
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积可得t=4，所以AE=t=4cm，再利用勾股定理可得CE的长；
（2）分两种情况当0≤t≤4时和当4＜t≤12时，再根据三角形面积公式可得S与t的关系式．
(1)
解：由题意得，×6×（12-t）=24，解得t=4，
∴AE=PC=t=4cm，DE=AD-AE=8cm，
∴CE==10（cm），
故答案为：4，10；
(2)
解：分两种情况：
如图1，
当0≤t≤4时，过点Q作QF⊥BC于点F，
矩形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，
∴QF=6，
∵BC=12，PC=t，
∴BP=12-t，
∴S=BP×QF=（12-t）×6=-3t+36；
如图2，
当4＜t≤12时，过点Q作QM⊥BC于点M，
∴∠QMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠D=90°，
∴∠DEC=∠QCM，∠D=∠QMC，
∴△QMC∽△CDE，
∴，
∵CQ=14-t，CD=6，DE=8，
∴QM=（14-t），
∴S=BP×QM=×（12-t）×（14-t）=t2-t+．
综上，S=．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握三角形的面积和相似三角形的性质与判定是解题关键．
35．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．点D是线段AC上的一点，点E在射线CB上且∠CDE＝∠B．
(1)求BC的长；
(2)若AD＝x，△CDE的面积与△ABC重合部分的面积是y，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理可以直接求得BC的长；
（2）当点E在线段BC上时，△CDE的面积与△ABC重合部分的面积是△CDE的面积，根据得到即可求出△CDE的面积，当点E在CB的延长线上时，根据相似三角形的性质求出高OF关于的表达式，即可求得，从而得到，最终得到函数的解析式．
(1)
解：∵∠C＝90°
∴ ,
∴；
(2)
解：当点E在线段BC上时，
∵∠C＝90°，∠CDE＝∠B，
∴,
∴,
∴，
∵
∴，
∴
∴，
如下图所示，当E点于B点重合，即BC=CE=6时，
即，
得，
∴当时，；
当时，点E在CB的延长线上，如下图所示，
设AB交DE于点O，过点O作，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
6h=8n 即3h=4n
6x+6n=8h
解方程组得：，
∴，
,
∴ ．
【点睛】
本题考查直角三角形、相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例建立等式，得到相应边长关于的表达式，从而求得三角形的面积，最终得到函数的解析式．
36．（2022·吉林四平·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，OA＝AB，线段OA的长是方程的根，过点B作轴，垂足为E，．动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB方向向终点B运动．过点M作x轴的垂线．垂足为D、以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与重叠部分的面积为S，点M的运动时间为秒．
(1)求点B的坐标；
(2)当点F恰好落在OB上时，求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）通过解一元二次方程得出OA的长，根据求出BE、AE的长，进而求出点B的坐标；（2）由题意得出，，证出△BFM∽△BOA，得出，代入即可求得答案；（3）根据点F落在△OAB内部和外部两种情况时，t的不同取值范围求出对应的函数关系式即可．
(1)
由，解得或 1，
∵OA是方程的根，∴，∴，
在Rt△ABE中，，，
∴，，
∴，
∴；
(2)
如图1，当点F落在OB上时，，，，
∵，
∴△BFM∽△BOA，
∴，
∴，∴；
(3)
如图2中，
当时，重叠部分是四边形ACFM，．
如图3中，
当时，重叠部分是五边形ACHGM，
∵AM=t，AB=5，∴，
∵GM∥OA，∴△BGM∽△BOA，
∵OA=AB，∴GM=BM=5-t，
∴，
∵OE=8，BE=4，∴，
∵FG∥OE，∴∠FGH=∠BOE，
又∵∠F=∠BEO=90°，
∴△FGH∽△EOB，
∵，
∴，
∴．
综上所述：．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的解法，正方形的性质，相似三角形的判定和性质及函数关系式，对于t的不同取值范围对应的函数关系式进行分类讨论是解题的关键．
37．（2022·辽宁大连·二模）如图，在中，，，．CD平分，过点D作，垂足为G，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CB运动，同时，点Q从点C出发，沿CD－DB运动，点Q在CD段以每秒的速度运动，在DB段以每秒1cm的速度运动，当点P与点B重合时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），与重叠部分图形面积为．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求点Q到达D点时，点B和点Q的距离；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)cm
(2)5cm
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出AB的长度；
（2）利用可得，再证△CDG是等腰直角三角形，即可求出DG，在Rt△GDB中，即可求得BD；
（3）第一种情况：时，此时Q点在线段CD上，先证，∠QPC=∠DGC=90°，则，第二种情况：时，此时Q点在线段BD上，过Q作QM⊥BC于M点，根据，得到，即可表示出，则，问题得解．
(1)
在Rt△ACB中，（cm），
即AB的长为cm；
(2)
∵DG⊥BC，
∴∠DGB=∠ACB=90°=∠DGC，
∴，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴DG=GC=，
∴BG=BC-GC=BC-GD，
∴由得：，
解得：DG=3，
∴DG=GC=3，，BG=BC-CG=7-3=4，
∴在Rt△GDB中，（cm），
即B点距离Q点距离为BD=5cm；
(3)
在（2）中已经求得，BD=5，
∵点Q在CD段以每秒cm的速度运动，
∴Q点由C至D所需时间为：（s），
∵P点的速度为1cm/s，
∴P点到达B点所需时间为（s），
分类讨论：
第一种情况：时，此时Q点在线段CD上，
∴PC=t，CQ=，
∴，
∴，
∴∠QPC=∠DGC=90°，
∵∠DCB=45°，
∴∠CQP=∠DCB=45°，即PC=QP=t，
∵△CPQ与△DCB重叠部分就是△CPQ，
∴，
第二种情况：时，此时Q点在线段BD上，
过Q作QM⊥BC于M点，如图，
∴PC=t，DQ=t-3，
∴BQ=BD-DQ=5-t+3=8-t，
∵QM⊥BC，DG⊥BC，
∴，
∴，即，
∵△CPQ与△DCB重叠部分就是△CPQ，
∴，
综上：.
【点睛】
本题考查了二次函数在几何问题中的应用、相似三角形的判定与性质、平行的判定与性质、勾股定理等知识，明确Q点在BD上时，PQ不垂直于BC是解答本题的关键．
38．（2022·广东·珠海容闳学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发以cm/s的速度向终点D运动．过点P作PE⊥BC于E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）．
(1)求CD的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．
【答案】(1)CD=2cm；
(2)S与t的关系式为S=-2t2+4t，S的最大值是2．
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长；
（2）延长DF交BC于点G，先求出DG和CG的长，再证明△CPE∽△CDG，根据相似三角形的对应边成比例求出用含t的代数式表示PE和CE的式子，再求出S关于t的函数解析式．
(1)
解： Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，
∴AB==4（cm），
∵点D是AB中点，
∴CD=AB=2cm；
(2)
解：如图，延长DF交BC于点G，
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC，
∵四边形PDFE是平行四边形，
∴PE∥DG，
∴DG∥AC，
∴△BDG∽△BAC，
∴，
∴DG=AC=2，BG=BC=4，
∴CG=8-4=4，
∵△CPE∽△CDG，
∴，
∴PE=×t=t，CE=×t=2t，
∴S=t（4-2t）=-2t2+4t=-2（t-1）2+2，
∴S与t的关系式为S=-2t2+4t，S的最大值是2．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质得到二次函数关系式是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题21 实际问题与二次函数：图形运动问题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·郑州外国语中学一模）如图，中，．，点D是射线AB上的动点（点D不与点A、B重合），点E在线段AC的延长线上，且．连接DE、BE，在AB的下方过点D作DF平行且等于BE．设．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北咸宁·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为4，，动点E从A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—B—C—D移动，动点F从点A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—D移动，F点到达终点D点后停下来不动，另一个动点继续向终点D点移动，直至终点D才停下来，设点E移动的时间为x（单位：s），的面积记为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南师大附中九年级期末）如图，已知点A、B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点P沿C→A→B→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段作匀速运动，同时点E从点B出发，沿射线以每秒个单位的速度作匀速运动，当点D与点B重合时两点停止运动，连接．设点D运动的时间为x秒，的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江·诸暨市大唐镇初级中学九年级开学考试）如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边△ABC的边长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
12．（2022·河南南阳·三模）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·辽宁辽宁·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·辽宁本溪·三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线CB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移运动时间为x，当点C1与点B重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·湖北湖北·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图像是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·辽宁锦州·一模）如图，在中，，，，，点B，C，D，E在同一直线上（点C和点D重合），从点C出发沿射线方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动．设运动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·河南周口·二模）如图，中，，点为边上一个不与、重合的一个动点，过点作与点，作的中线，当点从点出发匀速运动到点时，设的面积为，，与的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C．19 D．18
20．（2022·安徽滁州·二模）如图，在中，，，，点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，直到两点都到达点即停止运动．设点，运动的时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
21．（2022·江苏泰州·二模）如图①，等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且∠CPD=60°，PD交AC于点D，设AP =x，AD=y，如图②是y关于x的函数图象，则图象顶点的坐标为________．
22．（2022·全国·九年级课时练习）已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k＋2）x＋k2﹣2的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是_____．
23．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是_____．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，动点P从A点出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，同时，动点Q从A点出发，沿AD向点D运动，P，Q两点同时到达点D，设点P的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象如图2，当△APQ与△CBE全等时，DP的长为 __________________cm．
26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，mm， mm，动点从点开始沿边向以1mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，那么经过_______________________秒，四边形的面积最小．
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：________．
三、解答题
28．（2022·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
29．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为ts，
（1）BP=_________cm；BQ=_________cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
31．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
32．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级阶段练习）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，图象的对称轴为直线.连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求的长度；
（2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）当为何值时，与相似．
33．（2022·广东·九年级专题练习）如图，Rt△ABO的直角边OB在x轴上，OB＝2，AB＝1，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点．
（1）求点A，C的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
34．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点E在边AD上，点P从点C出发沿CB运动到点B停止，点Q从点A出发，沿折线AE→EC运动，它们同时出发，运动速度都是1cm/s，点P运动到点B时同时停止，设点P运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点E时，S＝24（cm2）．
(1)填空：AE＝ ，CE＝ ；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
35．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．点D是线段AC上的一点，点E在射线CB上且∠CDE＝∠B．
(1)求BC的长；
(2)若AD＝x，△CDE的面积与△ABC重合部分的面积是y，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
36．（2022·吉林四平·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，OA＝AB，线段OA的长是方程的根，过点B作轴，垂足为E，．动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB方向向终点B运动．过点M作x轴的垂线．垂足为D、以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与重叠部分的面积为S，点M的运动时间为秒．
(1)求点B的坐标；
(2)当点F恰好落在OB上时，求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
37．（2022·辽宁大连·二模）如图，在中，，，．CD平分，过点D作，垂足为G，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CB运动，同时，点Q从点C出发，沿CD－DB运动，点Q在CD段以每秒的速度运动，在DB段以每秒1cm的速度运动，当点P与点B重合时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），与重叠部分图形面积为．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求点Q到达D点时，点B和点Q的距离；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
38．（2022·广东·珠海容闳学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发以cm/s的速度向终点D运动．过点P作PE⊥BC于E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）．
(1)求CD的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．
试卷第1页，共3页
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