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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题30 弧、弦、圆心角
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，过点O做OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意在“同圆或等圆”中才适用，这是此类问题的易错点．
2．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
【答案】B
【解析】
【分析】
回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项．
【详解】
∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
3．（2022·甘肃武威·九年级期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A. 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故A错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故B错误；
C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故C错误；
D. 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，故D正确；
故选D.
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理及其推论，中心对称图形等知识，熟练掌握有关性质是解答关键.
4．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、如图，四边形ABCD，ABCD，∠A=∠C，
∵ABCD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质等知识，难度不大．
5．（2022·上海金山·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角
C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、平行四边形是中心对称图形，故原命题是假命题，不合题意；
B、互为补角的两个角不一定是锐角，例如100°和80°，故原命题是假命题，不合题意；
C、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原命题是假命题，不合题意；
D、等腰梯形的对角线相等，故原命题是真命题，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，判断命题的真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6．（2022·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】
如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】
本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
7．（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解．
【详解】
解：如图，
∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，
∴∠DOC＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠DOC＝40°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
8．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D．
【详解】
解：连接AB、BC，OB，
∵点B、C将弧AD三等分，
∴，
∴，故A选项正确；
∵，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2CD，故B选项错误；
∵，
∴，故C选项正确；
∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴，
∴，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．
9．（2022·甘肃平凉·一模）如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，OB，先根据圆心角定理可得∠AOC=∠BOC，再根据等腰三角形的三线合一可得OC⊥AB，AD=BD=AB=4，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理求得OD，即可求解．
【详解】
解：如图，连接OA，OB，
∵C是的中点，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一），
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆心角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握圆心角定理是解题关键．
10．（2022·山东烟台·九年级期末）如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由弧、弧与弧相等，得，即可求．
又因为OE和OA都是半径，长度相等，等边对等角，得=，根据三角形内角和180就能求出度数．
【详解】
解：∵弧、弧与弧相等，
∴，
∴，
又∵OE=OA，
∴=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆心角和弧的关系、等边对等角和三角形内角和，解题关键是熟知在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
11．（2022·陕西西安·九年级期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果．
【详解】
解：如图,连接OD、OC．
，
∠AOD=∠DOC=∠COB，；
∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
OA=OD，
△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，
AD=OD=OA=2cm；
，
AD=CD=BC=OA=2cm；
四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm;
故选：B．
【点睛】
本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．
12．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【详解】
解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】
解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
14．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【解析】
【分析】
过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出，再求出，进而可求出∠BOC．
【详解】
解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
，，
∵∠A＝50°，
∴，
∴
，
∴∠BOC＝
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂径定理求出，，求出，求出，求出的长，再求出长，即可求出答案．
【详解】
解：连接，如图：
，过圆心，
，，
为弧的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
【详解】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．（2022·安徽·合肥市第四十二中学三模）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由得出再利用∠DAB＝30°通过解直角三角形AOE求出OE的长即可得到CE的长．
【详解】
解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(负值舍去)
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键．
18．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，已知⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB，根据勾股定理计算BM=，利用垂径定理，AB=2BM计算即可．
【详解】
连接OB，
∵直径，，
∴BM=
=
=，
根据垂径定理，得
AB=2BM=，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键．
19．（2022·河南驻马店·二模）如图，已知是的外接圆，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用AO=BO，得出∠OAB的角度，从而推导出∠AOB的角度；在利用元周角和圆心角的关系得出∠ACB的大小
【详解】
∵OA=OB=r，∠ABO=30°
∴∠OAB=30°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=60°
故选：A
【点睛】
（1）圆周角是圆心角的一半，注意前提条件是在同弧或等弧的条件下；
（2）利用圆的半径相等，易在圆中构造等腰三角形
20．（2022·广东·九年级专题练习）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】
解：
取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在中，
是等边三角形
在中，
．
【点睛】
本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
21．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】
【分析】
连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AB、BC，
∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．
22．（2022·山东临沂·二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
【详解】
解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，
∵360÷100=3.6，
∴至少需要4台．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
23．（2022·湖北黄石·九年级期末）如图，AB，CD是的直径，弦，所对的圆心角为40°，则的度数为______．
【答案】70°
【解析】
【分析】
连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE，根据平行线的性质即可得到∠AOC的度数．
【详解】
解：连接OE，如图，
∵弧CE所对的圆心角度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=(180°-40°)÷2=70°，
∵CE//AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系，平行线的性质，求出∠COE=40°是解题的关键．
24．（2022·河南·一模）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】
解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．
【详解】
解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，
，
为等腰三角形，
又点是的中点，根据等腰三角形三线合一，
为的角平分线，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
26．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
27．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数=______．
【答案】55°##55度
【解析】
【分析】
连接OC，根据C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，得出∠OCB的度数，然后证明OC和OB相等，即可使用等边对等角求出∠ABC的度数．
【详解】
连接OC，
∵C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，
∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°，
∵AB是圆的直径，O是圆心，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB=55°，
故答案为55°．
【点睛】
本题考查了与圆有关的性质、等腰三角形相关的性质，正确作出辅助线并使用该性质进行证明是解决本题的关键．
28．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
【详解】
解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．
三、解答题
29．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证．
【详解】
证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
【点睛】
本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．
30．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据可得，，，根据半径相等，由等边对等角可得，等量代换可得，根据圆心角与弧长的关系可得，即可证明D为的中点．
【详解】
，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等边对等角，弧与圆心角的关系，掌握圆的相关知识是解题的关键．
31．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴ ．
∴∠ABP＝∠BPC（ ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
【答案】(1)见解析
(2)，同弧或等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】
（1）根据所给作法进行尺规作图即可得；
（2）根据圆周角定理进行解答即可得．
（1）解：如图，直线PC即为所求作．
（2）证明：连接PB．∵BC＝AP，∴，∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所对的圆周角相等），∴直线PC∥直线l．故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【点睛】
本题考查了尺规作图，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．
32．（2022·安徽·定远县育才学校九年级期中）如图，在ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【答案】（1）40°；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，先利用互余计算出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，从而得到的度数；
（2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】
解：（1）如图，连接，
，∠A＝25°，
，
，
，
，
，
的度数为40°；
（2）如图，作，则，
∵∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，
∴在中，，
，
，
在中，，
．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，垂径定理以及勾股定理的应用，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
33．（2022·浙江金华·二模）如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
【答案】（1）65°；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180° 50°) =65°；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵ AF BC= AC AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
连结OC，OD，OP交EF于G，由P是的中点，可得，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是、的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
【详解】
证明：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是的中点，
∴，
∴AP=BP，
∵C、D是、的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC==OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点睛】
本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．
35．（2022·山东淄博·模拟预测）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：直线及直线外一点P.
求作：直线，使.
作法：如图，
①在直线上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线于两点；
②连接，以B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线.
所以直线就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接，
∵，
∴__________.
∴（______________）（填推理的依据）.
∴（_____________）（填推理的依据）.
【答案】（1）补全的图形如图所示见解析；（2），等弧所对的圆周角相等内错角相等，两直线平行.
【解析】
【分析】
根据要求作图即可；
根据圆的有关性质和平行线的判定求解可得．
【详解】
解：如图所示：
证明：连接PB、QB．
，
．
等弧所对圆周角相等．
内错角相等，两直线平行．
故答案为，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．
36．（2022·全国·九年级）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.
【详解】
延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.
37．（2022·宁夏固原·九年级期末）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
【答案】见解析
【解析】
【详解】
试题分析：∵AD=BC，
∴．
∴．
∴．
∴AB=CD
考点: 圆心角、弧、弦的关系
38．（2022·广西百色·九年级期末）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理可得，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠CBO，等量代换即可得证；
（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解．
(1)
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
(2)
∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键．
39．（2022·江苏·九年级）如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵，
∴，即，
∴BM＝CM．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
40．（2022·安徽·宿州市第十一中学模拟预测）如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接．
(1)填空：_________；（填“>”“=”或“<”）
(2)求图中的面积．
【答案】(1)<
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三等分可知DC=DB，根据三角形的三边关系即可求出结果；
（2）由条件可知四边形OBDC为菱形，据此即可求出三角形面积．
(1)
解：∵点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，
∴，
∴DC=DB，
∵在中，，
∴，
故答案是：＜；
(2)
如图所示，连接OC、OD，
由（1）得：，
∵OC=OD=OB=2，
∴与均为等边三角形且全等，
∴四边形OBDC为菱形，
∴，
∴的面积为：．
【点睛】
本题主要考查的是圆中等分性质的应用，掌握圆的性质以及结合菱形的性质进行求解是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题30 弧、弦、圆心角
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
3．（2022·甘肃武威·九年级期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
4．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
5．（2022·上海金山·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角
C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等
6．（2022·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
9．（2022·甘肃平凉·一模）如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·山东烟台·九年级期末）如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·陕西西安·九年级期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
12．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
14．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A． B． C．4 D．3
17．（2022·安徽·合肥市第四十二中学三模）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
18．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，已知⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
19．（2022·河南驻马店·二模）如图，已知是的外接圆，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·广东·九年级专题练习）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
21．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
22．（2022·山东临沂·二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．
23．（2022·湖北黄石·九年级期末）如图，AB，CD是的直径，弦，所对的圆心角为40°，则的度数为______．
24．（2022·河南·一模）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．
26．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
27．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数=______．
28．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
三、解答题
29．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
30．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
31．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴ ．
∴∠ABP＝∠BPC（ ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
32．（2022·安徽·定远县育才学校九年级期中）如图，在ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
33．（2022·浙江金华·二模）如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
35．（2022·山东淄博·模拟预测）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：直线及直线外一点P.
求作：直线，使.
作法：如图，
①在直线上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线于两点；
②连接，以B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线.
所以直线就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接，
∵，
∴__________.
∴（______________）（填推理的依据）.
∴（_____________）（填推理的依据）.
36．（2022·全国·九年级）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
37．（2022·宁夏固原·九年级期末）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
38．（2022·广西百色·九年级期末）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
39．（2022·江苏·九年级）如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM．
40．（2022·安徽·宿州市第十一中学模拟预测）如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接．
(1)填空：_________；（填“>”“=”或“<”）
(2)求图中的面积．
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